⚛ Science in Minutes

অধ্যায় ১২: শক্তি ২: স্থিতিশক্তি

১২-৬: ত্রিমাত্রিক সংরক্ষণশীল সিস্টেম (ঐচ্ছিক)

Three-Dimensional Conservative Systems

এতক্ষণ কণা শুধু একটি সরলরেখা বরাবর চলছিল। কিন্তু বাস্তবে একটা স্পেসশীপ যেমন ডানে-বামে, উপরে-নিচে, সামনে-পেছনে যেকোনো দিকে যেতে পারে, একটি কণাও ত্রিমাত্রিক স্থানে যেকোনো পথে চলতে পারে। তখন বল এবং সরণ দুটোই ভেক্টর, আর স্থিতিশক্তি xx, yy, zz তিনটি কো-অর্ডিনেটের উপর নির্ভর করতে পারে।

ধরো, একটি কণার আদিঅবস্থান,

r⃗i=xii^+yij^+zik^,\vec r_i=x_i\hat i+y_i\hat j+z_i\hat k,

আর শেষ অবস্থান,

r⃗f=xfi^+yfj^+zfk^.\vec r_f=x_f\hat i+y_f\hat j+z_f\hat k.

একটি সংরক্ষণশীল বল F⃗\vec F কণাটির উপর কাজ করছে (চিত্র ১২-১০)।

চিত্র ১২-১০: ত্রিমাত্রিক পথে কণার গতি

তখন আগের একমাত্রিক সম্পর্কটিকে তিন মাত্রায় লিখতে পারি,

ΔU=U(xf,yf,zf)−U(xi,yi,zi)=−∫if(Fx dx+Fy dy+Fz dz).(12-24)\begin{aligned} \Delta U&=U(x_f,y_f,z_f)-U(x_i,y_i,z_i)\\ &=-\int_i^f(F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz). \tag{12-24} \end{aligned}

একই সম্পর্ক ভেক্টরের ডট-প্রোডাক্ট ব্যবহার করে অনেক সংক্ষেপে লেখা যায়,

ΔU=−∫ifF⃗⋅ds⃗.(12-25)\boxed{\Delta U=-\int_i^f\vec F\cdot d\vec s}. \tag{12-25}

এখানে,

ds⃗=dx i^+dy j^+dz k^.d\vec s=dx\,\hat i+dy\,\hat j+dz\,\hat k.

বলটি সংরক্ষণশীল হলে ii থেকে ff-এ পৌঁছানোর পথ বদলালেও সমাকলনের ফল বদলাবে না।

স্থিতিশক্তি থেকে ত্রিমাত্রিক বল বের করা

একমাত্রায় দেখেছিলে Fx=−dU/dxF_x=-dU/dx। তিন মাত্রায় স্থিতিশক্তি U(x,y,z)U(x,y,z) হলে,

F⃗=−∂U∂xi^−∂U∂yj^−∂U∂zk^.(12-26)\boxed{\vec F=-\frac{\partial U}{\partial x}\hat i -\frac{\partial U}{\partial y}\hat j -\frac{\partial U}{\partial z}\hat k}. \tag{12-26}

এখানে ∂U/∂x\partial U/\partial x-কে partial derivative বলে। মানে, xx-এর সাপেক্ষে ডিফারেনশিয়েট করার সময় yy আর zz-কে ধ্রুব ধরে নিচ্ছি। অন্য দুটির ক্ষেত্রেও একই নিয়ম। ভেক্টর ক্যালকুলাসের ভাষায়,

F⃗=−∇⃗U,\boxed{\vec F=-\vec\nabla U},

অর্থাৎ, সংরক্ষণশীল বল স্থিতিশক্তির ঋণাত্মক গ্রেডিয়েন্ট (Negative Gradient)।

উদাহরণ ১২-১১। দুই মাত্রায় একটি বল কি পথ-নিরপেক্ষ?

একটি কণা xyxy তলে চলছে। তার উপর বল,

F⃗(x,y)=−ky i^−kx j^,\vec F(x,y)=-ky\,\hat i-kx\,\hat j,

যেখানে kk একটি ধনাত্মক ধ্রুবক। কণাটি (0,0)(0,0) থেকে (a,b)(a,b) বিন্দুতে যাচ্ছে। বইয়ের চিত্র ১২-১১-এ তিনটি পথ দেখানো হয়েছে: প্রথমে xx বরাবর তারপর yy বরাবর, প্রথমে yy বরাবর তারপর xx বরাবর, আর সরাসরি সরলরেখা দিয়ে।

চিত্র ১২-১১: উৎস থেকে শেষবিন্দু পর্যন্ত তিনটি পথ

পথ ১: প্রথমে (0,0)(0,0) থেকে (a,0)(a,0) যাওয়ার সময় y=0y=0, তাই Fx=−ky=0F_x=-ky=0। কাজ W1a=0W_{1a}=0। এরপর (a,0)(a,0) থেকে (a,b)(a,b) ওঠার সময় x=ax=a, তাই,

W1b=∫0b(−ka) dy=−kab.W_{1b}=\int_0^b(-ka)\,dy=-kab.

অতএব W1=−kabW_1=-kab।

পথ ২: প্রথমে (0,0)(0,0) থেকে (0,b)(0,b) গেলে x=0x=0, তাই W2a=0W_{2a}=0। এরপর (0,b)(0,b) থেকে (a,b)(a,b) যাওয়ার সময় y=by=b,

W2b=∫0a(−kb) dx=−kab.W_{2b}=\int_0^a(-kb)\,dx=-kab.

সুতরাং W2=−kabW_2=-kab।

পথ ৩: এবার সরাসরি সরলরেখা ধরে যাই। রেখাটির সঙ্গে xx অক্ষের কোণ θ\theta এবং বরাবর দূরত্ব rr ধরলে,

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta, dx=cos⁡θ dr,dy=sin⁡θ dr.dx=\cos\theta\,dr,\quad dy=\sin\theta\,dr.

শেষ বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব d=a2+b2d=\sqrt{a^2+b^2}। ফলে,

W3=∫0d(−ky dx−kx dy)=−2ksin⁡θcos⁡θ∫0dr dr=−kd2sin⁡θcos⁡θ.\begin{aligned} W_3&=\int_0^d(-ky\,dx-kx\,dy)\\ &=-2k\sin\theta\cos\theta\int_0^d r\,dr\\ &=-kd^2\sin\theta\cos\theta. \end{aligned}

sin⁡θ=b/d\sin\theta=b/d আর cos⁡θ=a/d\cos\theta=a/d বসালে W3=−kabW_3=-kab।

তাহলে তিন পথেই একই কাজ পাওয়া গেল,

W1=W2=W3=−kab.W_1=W_2=W_3=-kab.

শুধু তিনটি পথ পরীক্ষা করেই সব পথের জন্য বলটি সংরক্ষণশীল প্রমাণ হয়ে যায় না; তবে এই বলের ক্ষেত্রে সত্যিই একটি স্থিতিশক্তির ফাংশন পাওয়া যায়। U(0,0)=0U(0,0)=0 ধরলে,

U(x,y)=kxy.\boxed{U(x,y)=kxy}.

পরীক্ষা করে দেখো,

−∂U∂x=−ky,−∂U∂y=−kx,-\frac{\partial U}{\partial x}=-ky, \qquad -\frac{\partial U}{\partial y}=-kx,

অর্থাৎ, আগের বলটিই পাওয়া যাচ্ছে। কিন্তু বলটি যদি হয় F⃗=−k1yi^−k2xj^\vec F=-k_1y\hat i-k_2x\hat j, যেখানে k1≠k2k_1\ne k_2, তাহলে সাধারণভাবে পথ অনুযায়ী কাজ আলাদা হবে; তখন বলটি সংরক্ষণশীল নয়।