১১.৪ পরিবর্তনশীল বলের দ্বারা সম্পাদিত কাজ (Work Done by a Variable Force)

স্প্রিং যত বেশি টানো, তত বেশি জোর লাগে কেন?

তুমি কখনো কলমের ভেতরের ছোট স্প্রিং চাপ দিয়েছো? প্রথমে সহজেই চেপে যায়। কিন্তু যত বেশি চাপ দাও, তত বেশি জোর দিতে হয়।

আগের পাঠে আমরা $W=Fs\cos\phi$ ব্যবহার করেছি। সেখানে বল ধ্রুব ছিল। কিন্তু স্প্রিংয়ে তো বল বাড়ছে বা কমছে! তাহলে কোন $F$ বসাবে-শুরুরটা, শেষেরটা, নাকি মাঝখানেরটা?

এই সমস্যাটা সমাধানের জন্য আমরা একটা চেনা বুদ্ধি ব্যবহার করব: বড় সমস্যাকে অনেক ছোট ছোট অংশে ভাগ করি।

ছোট ছোট সরণে কাজ যোগ করি

ধরো, কোনো বস্তু $x_i$ থেকে $x_f$ পর্যন্ত $x$-অক্ষ বরাবর চলে। তার ওপর বলের $x$-উপাংশ $F_x(x)$ অবস্থানের সঙ্গে বদলায়।

পুরো পথটাকে অনেকগুলো ক্ষুদ্র অংশে ভাগ করো-প্রতিটি অংশের প্রস্থ $\Delta x$। একেকটা অংশ এত ছোট যে সেখানে বলকে মোটামুটি ধ্রুব ধরা যায়। তাহলে $n$-তম অংশে কাজ,

সব অংশ যোগ করলে,

এবার অংশগুলো যত ক্ষুদ্র হবে, ফল তত নির্ভুল হবে। $\Delta x\to0$ হলে যোগফল রূপ নেবে সমাকলনবিস্তারিত জানতে দেখো:৫.৫ সময়নির্ভর বল (ঐচ্ছিক) (integral)-এ:

এটাই সমীকরণ (১১-১৪)। সূত্রটি দেখেই একটা গুরুত্বপূর্ণ বিষয় বোঝা যায়: বল–অবস্থান গ্রাফে বক্ররেখার নিচের চিহ্নযুক্ত ক্ষেত্রফলই কাজ।

• গ্রাফ $x$-অক্ষের উপরে, আর বস্তু $+x$ দিকে গেলে কাজ ধনাত্মক।
• গ্রাফ $x$-অক্ষের নিচে হলে অবদান ঋণাত্মক।
• বল ধ্রুব থাকলে গ্রাফটা আয়তক্ষেত্র, ক্ষেত্রফল $F(x_f-x_i)$-আগের সূত্রটাই ফেরত পাওয়া যায়।

মূল বইয়ের চিত্র ১১-১২-এ প্রথমে মোটা কয়েকটি আয়তক্ষেত্র, পরে সরু অনেকগুলো আয়তক্ষেত্র দিয়ে ক্ষেত্রফল বের করার ধারণা দেখানো হয়েছে।

হুকের সূত্র: স্প্রিং টানলে সে ফিরে আসতে চায়

এবার একটা স্প্রিংয়ের এক মাথা দেয়ালে আটকাও, আর অন্য মাথায় একটা ব্লক লাগাও। স্প্রিংয়ের স্বাভাবিক দৈর্ঘ্যের অবস্থাকে $x=0$ ধরো।

ব্লককে ডানে টেনে স্প্রিং বড় করলে ($x>0$), স্প্রিং ব্লককে বাঁ দিকে টানে। বাঁ দিকে ঠেলে স্প্রিং ছোট করলে ($x<0$), স্প্রিং ব্লককে ডান দিকে ঠেলে। অর্থাৎ সবসময় $x=0$ অবস্থায় ফেরাতে চায়। তাই একে প্রত্যাবর্তী বল (restoring forceবিস্তারিত জানতে দেখো:চিরায়ত বলবিদ্যা) বলি।

স্প্রিংকে তার স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে রাখলে পরীক্ষায় দেখা যায়,

এটাই হুকের সূত্র (Hooke’s law)। $k$ হলো স্প্রিং ধ্রুবক, এককবিস্তারিত জানতে দেখো:ভৌত রাশি, মানদণ্ড এবং একক $\mathrm{N/m}$। $k$ যত বড়, স্প্রিং তত শক্ত। ঋণাত্মক চিহ্ন বলছে, স্প্রিং বল স্থানচ্যুতির বিপরীতে।

স্প্রিংয়ের কাজ বের করি

ধরো, ব্লককে $x_i$ থেকে $x_f$ পর্যন্ত নেওয়া হলো। স্প্রিং বলের করা কাজ,

সমাকলন করলে,

এটাই সমীকরণ (১১-১৬)। বিশেষ করে স্বাভাবিক অবস্থা $x_i=0$ থেকে $x_f=x$ পর্যন্ত টানলে বা চাপলে,

একটা মজার বিষয়: একই দূরত্ব $x$ টেনে প্রসারিত করো বা চেপে সংকুচিত করো-স্প্রিং বলের করা কাজ দুটো ক্ষেত্রেই সমান ঋণাত্মক। কারণ বল সবসময় পরিবর্তনের বিরোধিতা করছে।

আর তুমি যদি খুব ধীরে ধীরে স্প্রিংটাকে টানো, যাতে প্রতিটি মুহূর্তে সাম্যাবস্থা বজায় থাকে, তখন তোমার প্রয়োগ করা বাহ্যিক বলবিস্তারিত জানতে দেখো:৭.২ দুই-কণা ব্যবস্থা $F_\mathrm{ext}=+kx$। ফলে তোমার কাজ,

মনে রেখো: “স্প্রিংয়ের কাজ” আর “স্প্রিংকে টেনে তোমার কাজ”-এক জিনিস নয়, বরং এই ধীরগতির ক্ষেত্রে বিপরীত চিহ্নের।

উদাহরণ ১১-৪: হাতে ধরে স্প্রিংয়ের সঙ্গে ব্লক নামানো

একটি উল্লম্ব স্প্রিংয়ের নিচে $m=6.40\ \mathrm{kg}$ ব্লক যুক্ত করা হলো। প্রথমে হাত দিয়ে ধরে রাখায় স্প্রিং প্রসারিত হয়নি। এবার ব্লকটাকে আস্তে আস্তে নিচে নামানো হলো, যতক্ষণ না হাত ছেড়ে দিলেও স্থির থাকবে। প্রসারণ $d=0.124\ \mathrm m$। মহাকর্ষ, স্প্রিং এবং হাত-প্রত্যেকে কত কাজ করেছে?

ধাপ ১: স্প্রিং ধ্রুবক। শেষের সাম্যাবস্থায়,

ধাপ ২: মহাকর্ষের কাজ। ব্লক নিচে নামে, মহাকর্ষও নিচের দিকে।

ধাপ ৩: স্প্রিংয়ের কাজ। স্প্রিং ব্লককে উপরে টানে, বিপরীত দিকে,

ধাপ ৪: হাতের কাজ। নামানোর পুরো সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর ধ্রুব রাখলে গতিশক্তির পরিবর্তন শূন্য। তাই মোট কাজও শূন্য হতে হবে।

অতএব,

দেখলে? মহাকর্ষ শক্তি দিচ্ছে; স্প্রিং আর হাত মিলিয়ে সেই পরিমাণ কাজের বিরোধিতা করছে। মূল বইতে হাতের বলকে অবস্থানের ফাংশন ধরে সমাকলন করেও একই ফল দেখানো হয়েছে।

নিজে চেষ্টা করো

$k=200\ \mathrm{N/m}$ স্প্রিংকে স্বাভাবিক অবস্থা থেকে $0.10\ \mathrm m$ টানলে স্প্রিং কত কাজ করবে?

স্প্রিংয়ের বিরুদ্ধে তোমার ধীরগতির কাজ হবে $+1.0\ \mathrm J$।

মূল বই: অনুচ্ছেদ ১১-৪; সমীকরণ (১১-১২)–(১১-১৭), চিত্র ১১-১২–১১-১৫ এবং উদাহরণ ১১-৪।