৬.৫ দুই-বস্তুর সংঘর্ষ

৬.৫ দুই-বস্তুর সংঘর্ষ (Two-Body Collisions)

ক্যারমের গুটি একে অপরকে ধাক্কা দিলে কী ঘটে?

ধরো, ক্যারম বোর্ডে একটা গুটি ছুটে গিয়ে আরেকটা স্থির গুটিকে ধাক্কা দিল। প্রথম গুটিটা হয়তো থেমে গেল, দ্বিতীয়টা চলতে শুরু করল। কখনও আবার প্রথমটা উল্টো দিকে ফিরে আসে। আবার দুই টুকরো কাদামাটি পরস্পর ধাক্কা খেয়ে একসঙ্গে লেগেও যেতে পারে।

এত রকম ফল কেন হয়? আমরা কি সংঘর্ষের পরে তাদের বেগ বের করতে পারি?

হ্যাঁ, যদি ভরবেগ সংরক্ষিত হয় এবং প্রয়োজনীয় অতিরিক্ত তথ্য থাকে। এখানে আমরা সেটাই শিখব।

দুই বস্তুর জন্য সাধারণ সূত্র

সংঘর্ষের আগে দুটি বস্তুর ভর $m_1,m_2$ এবং বেগ $\vec v_{1i},\vec v_{2i}$ । সংঘর্ষের পরে বেগ $\vec v_{1f},\vec v_{2f}$ । মোট বাহ্যিক ঘাত উপেক্ষণীয় হলে,

\boxed{m_1\vec v_{1i}+m_2\vec v_{2i}=m_1\vec v_{1f}+m_2\vec v_{2f}}.

একই কথাকে একটু অন্যভাবে লেখা যায়:

\boxed{\Delta\vec p_1=-\Delta\vec p_2}.

মানে, এক বস্তুর ভরবেগ যতটা বদলায়, অন্যটির ঠিক বিপরীত দিকে ততটা বদলায়। সংঘর্ষে দুজনের দেওয়া ঘাতও সমান ও বিপরীত।

মুখোমুখি সংঘর্ষ: সবকিছু এক রেখায়

যদি দুটি বস্তু শুধু $x$ -অক্ষ বরাবর চলতে পারে, তাহলে ভেক্টর সমীকরণ একটিমাত্র উপাংশে নেমে আসে:

\boxed{m_1v_{1i}+m_2v_{2i}=m_1v_{1f}+m_2v_{2f}}.

এখানে সব বেগ চিহ্নযুক্ত-ডানদিককে ধনাত্মক ধরলে বামদিকের বেগ ঋণাত্মক।

আর যদি সংঘর্ষের পরে দুই বস্তু একসঙ্গে লেগে যায়, তাহলে তাদের শেষ বেগ একই $v_f$ :

\boxed{v_f=\frac{m_1v_{1i}+m_2v_{2i}}{m_1+m_2}}.

এই ধরনের সংঘর্ষকে বলা হয় সম্পূর্ণ অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ (Completely inelastic collision)।

মনে রেখো: ভরবেগ সংরক্ষিত হলেও সংঘর্ষে গতিশক্তি অপরিবর্তিত থাকতেই হবে-এমন নয়। স্থিতিস্থাপক ও অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষের পার্থক্যটা একটু পরে দেখব।

উদাহরণ ৬.৫: একটি গ্লাইডার ধাক্কা খেয়ে ফিরে এল

ঘর্ষণহীন এয়ার ট্র্যাকে $m_1=1.25\,\mathrm{kg}$ ভরের একটি গ্লাইডার $+3.62\,\mathrm{m/s}$ বেগে চলছে। সামনে $m_2=2.30\,\mathrm{kg}$ ভরের আরেকটি স্থির গ্লাইডার। সংঘর্ষের পরে প্রথমটি $-1.07\,\mathrm{m/s}$ বেগে ফিরে এলো। দ্বিতীয়টি কত বেগে যাবে?

ভরবেগ সংরক্ষণ থেকে,

m_1v_{1i}=m_1v_{1f}+m_2v_{2f}.

অতএব,

\begin{aligned} v_{2f}&=\frac{m_1}{m_2}(v_{1i}-v_{1f})\\ &=\frac{1.25}{2.30}[3.62-(-1.07)]\\ &\approx\boxed{+2.55\,\mathrm{m/s}}. \end{aligned}

প্রথম গ্লাইডারের ভরবেগ পরিবর্তন প্রায় $-5.86\,\mathrm{kg\,m/s}$ , দ্বিতীয়টির প্রায় $+5.86\,\mathrm{kg\,m/s}$ । যোগফল শূন্য-সংরক্ষণ সূত্র মিলে গেল।

উদাহরণ ৬.৬: এবার গ্লাইডার দুটি যদি আটকে যায়?

আগের একই দুটি গ্লাইডার যদি ধাক্কার পরে একসঙ্গে লেগে যায়, তাহলে শেষ বেগ কত?

\begin{aligned} v_f&=\frac{m_1v_{1i}+m_2v_{2i}}{m_1+m_2}\\ &=\frac{(1.25)(3.62)+(2.30)(0)}{1.25+2.30}\\ &\approx\boxed{1.27\,\mathrm{m/s}}. \end{aligned}

দেখলে? একই প্রাথমিক অবস্থা, কিন্তু সংঘর্ষের ধরন বদলে যাওয়ায় শেষ বেগও বদলে গেল। ভরবেগ সংরক্ষণ অবশ্য দুই ক্ষেত্রেই মানা হয়েছে।

উদাহরণ ৬.৭: স্পেসশীপ থেকে ছোট যানটি আলাদা হয়ে গেল

মনেকরো, কাটুশের স্পেসশীপ মহাকাশে $8.45\,\mathrm{km/s}$ বেগে চলছে। হঠাৎ সেটি দুটি অংশে আলাদা হলো। মোট ভর $m$ ; ছোট অংশের ভর $m/4$ , বড় অংশের $3m/4$ । মাঝের স্প্রিংয়ের ধাক্কায় ছোট অংশটি সামনে $11.63\,\mathrm{km/s}$ বেগে চলে গেল। বড় অংশের বেগ কত হবে?

স্প্রিংয়ের বল ব্যবস্থার অভ্যন্তরীণ বল; বাইরের বল নগণ্য। তাই,

m(8.45)=\frac m4(11.63)+\frac{3m}{4}v_{2f}.

$m$ কেটে দিলে,

\begin{aligned} v_{2f}&=\frac{8.45-11.63/4}{3/4}\\ &\approx\boxed{7.39\,\mathrm{km/s}}. \end{aligned}

বড় অংশটিও সামনে যাচ্ছে, তবে আগের তুলনায় ধীরে।

এবার এমন একটা স্পেসশীপ থেকে দেখো, যেটি আগের স্পেসশীপের সঙ্গে একই $8.45\,\mathrm{km/s}$ বেগে চলছে। তার কাছে বিভাজনের আগে মূল স্পেসশীপ স্থির মনে হবে। বিচ্ছেদের পরে ছোটটির আপেক্ষিক বেগ,

v'_{1f}=11.63-8.45=+3.18\,\mathrm{km/s},

আর বড়টির,

v'_{2f}=7.39-8.45=-1.06\,\mathrm{km/s}.

এই পর্যবেক্ষকের হিসাবে দুটি অংশ বিপরীত দিকে যাচ্ছে। তবুও মোট ভরবেগ শুরুতে যেমন শূন্য ছিল, শেষেও শূন্য। খুব কাজে লাগবে এই দৃষ্টিভঙ্গি-একটু পরে আবার ফিরে আসব।

দুই মাত্রায় সংঘর্ষ: শুধু একটা সমীকরণ যথেষ্ট নয়

ধরো, একটা হকি পাক সামনে যাচ্ছে; সংঘর্ষের পরে দুটি পাক দুটি আলাদা দিকে ছুটল। তখন শুধু ‘সামনে-পেছনে’ ভরবেগ হিসাব করলে চলবে না। আলাদা করে $x$ ও $y$ -উপাংশ লিখতে হবে:

\begin{aligned} m_1v_{1ix}+m_2v_{2ix}&=m_1v_{1fx}+m_2v_{2fx},\\ m_1v_{1iy}+m_2v_{2iy}&=m_1v_{1fy}+m_2v_{2fy}. \end{aligned}

উদাহরণ ৬.৮: দুটি হকি পাকের তির্যক সংঘর্ষ

একটি পাক $2.48\,\mathrm{m/s}$ বেগে $+x$ দিকে যাচ্ছে। দ্বিতীয় পাকের ভর প্রথমটির $1.5$ গুণ এবং সেটি শুরুতে $1.86\,\mathrm{m/s}$ বেগে $x$ -অক্ষের ওপরে $40^\circ$ কোণে চলছে (বইয়ের চিত্র ৬-১৫)। সংঘর্ষের পরে প্রথম পাক $1.59\,\mathrm{m/s}$ বেগে $x$ -অক্ষের ওপরে $50^\circ$ কোণে যাচ্ছে। দ্বিতীয় পাকের শেষ বেগ ও দিক বের করো।

প্রথমটির ভর $m$ এবং দ্বিতীয়টির $1.5m$ ধরি। $x$ -দিকের ভরবেগ সংরক্ষণ:

m(2.48)+1.5m(1.86\cos40^\circ) =m(1.59\cos50^\circ)+1.5m(v_{2f}\cos\phi).

ভর $m$ কেটে সরল করলে,

\boxed{v_{2f}\cos\phi\approx2.40\,\mathrm{m/s}}.

এবার $y$ -উপাংশ। দ্বিতীয় পাকের প্রাথমিক $y$ -বেগ ধনাত্মক, তাই,

1.5m(1.86\sin40^\circ) =m(1.59\sin50^\circ)+1.5m(v_{2f}\sin\phi).

এখান থেকে,

\boxed{v_{2f}\sin\phi\approx0.38\,\mathrm{m/s}}.

দুটো উপাংশ থেকে,

\begin{aligned} v_{2f}&=\sqrt{2.40^2+0.38^2}\approx\boxed{2.43\,\mathrm{m/s}},\\ \phi&=\tan^{-1}\!\left(\frac{0.38}{2.40}\right)\approx\boxed{9.0^\circ}. \end{aligned}

অর্থাৎ দ্বিতীয় পাকটিও সামনের দিকে যাচ্ছে, তবে মাত্র $9^\circ$ কোণে। এখানে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ব্যাপার হলো প্রতিটি বেগের উপাংশের দিক ও চিহ্ন ঠিক রাখা।

ভরকেন্দ্র প্রসঙ্গ কাঠামো (Center-of-Mass Frame)

স্পেসশীপের আগের উদাহরণে এমন একজন পর্যবেক্ষককে পেয়েছিলাম, যার কাছে শুরুতে মোট ভরবেগ ছিল শূন্য। দুটি বস্তুর জন্য এই বিশেষ প্রসঙ্গ কাঠামোকে বলা হয় ভরকেন্দ্র প্রসঙ্গ কাঠামো (Center-of-mass frame বা CM frame)।

পরীক্ষাগারে স্থির পর্যবেক্ষকের কাঠামোকে সাধারণত Lab frame বলা হয়। দুই কণার প্রাথমিক বেগ $v_{1i}$ , $v_{2i}$ হলে CM frame-টি Lab frame-এর তুলনায় যে বেগে চলে,

\boxed{V_{\mathrm{cm}}=\frac{m_1v_{1i}+m_2v_{2i}}{m_1+m_2}}.

সেই frame থেকে কণাগুলোর বেগ হবে,

v'_{1i}=v_{1i}-V_{\mathrm{cm}},\qquad v'_{2i}=v_{2i}-V_{\mathrm{cm}}.

আর তাদের মোট ভরবেগ,

m_1v'_{1i}+m_2v'_{2i}=0.

যেহেতু ভরবেগ সংরক্ষিত, সংঘর্ষের পরেও,

\boxed{\vec p'_{1f}=-\vec p'_{2f}}.

এখানে দুই বস্তুর ভরবেগের মান সমান, দিক বিপরীত। সংঘর্ষের ধরন যাই হোক, এই সম্পর্ক থাকবে।

সংঘর্ষের বিভিন্ন ধরন

CM frame থেকে দেখলে সংঘর্ষকে সুন্দরভাবে কয়েকটি ভাগে বোঝা যায়:

স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ (Elastic collision): সংঘর্ষের আগে ও পরে প্রত্যেক বস্তুর CM-frame বেগের মান একই, কিন্তু একমাত্রিক মুখোমুখি সংঘর্ষে দিক উল্টে যায়। মোট গতিশক্তিও অপরিবর্তিত থাকে।
আংশিক অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ (Inelastic collision): সংঘর্ষের পরে বস্তুগুলো আলাদা হয়ে যেতে পারে, কিন্তু মোট গতিশক্তির কিছু অংশ অন্যান্য রূপে চলে যায়।
সম্পূর্ণ অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ (Completely inelastic collision): বস্তু দুটি আটকে গিয়ে একই বেগে চলে। CM frame থেকে দেখলে তাদের যৌথ গতি শূন্য।
বিস্ফোরণ বা স্প্রিংয়ের বিচ্ছেদ (Explosive separation): সংঘর্ষ বা বিচ্ছেদে ভেতরের সঞ্চিত শক্তি গতিতে রূপান্তরিত হতে পারে; তখন শেষ গতিশক্তি আগের চেয়ে বেশি হতে পারে।

বইয়ের চিত্র ৬-১৭-এ CM frame-এ এই ভিন্ন ফলগুলোর ভরবেগের তুলনা দেখানো হয়েছে।

স্থিতিস্থাপক, একমাত্রিক সংঘর্ষের সূত্র

এখন ধরো, সংঘর্ষটি সম্পূর্ণ স্থিতিস্থাপক এবং একমাত্রিক। তখন CM frame-এ প্রতিটি বস্তুর বেগ বিপরীত হয়ে যায়:

v'_{1f}=-v'_{1i},\qquad v'_{2f}=-v'_{2i}.

Lab frame-এ ফিরে গেলে পাওয়া যায়,

\boxed{v_{1f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i}+\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_{2i}},

\boxed{v_{2f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{1i}+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_{2i}}.

সতর্কতা: এই দুটি সূত্র শুধু এক মাত্রার স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষে ব্যবহার করবে। যেকোনো অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষের জন্য নয়।

কয়েকটা বিশেষ অবস্থা

১. ভর দুটি সমান ( $m_1=m_2$ ):

\boxed{v_{1f}=v_{2i},\qquad v_{2f}=v_{1i}}.

মানে, তারা যেন একে অপরের বেগ বিনিময় করল! ক্যারমের গুটি বা বিলিয়ার্ড বলের কিছু মুখোমুখি সংঘর্ষে এমনটি দেখা যায়।

২. দ্বিতীয় বস্তু প্রথমে স্থির ( $v_{2i}=0$ ):

\boxed{v_{1f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i},\qquad v_{2f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{1i}}.

৩. স্থির লক্ষ্যবস্তু অনেক বেশি ভারী ( $m_2\gg m_1$ ):

v_{1f}\approx-v_{1i},\qquad v_{2f}\approx0.

ছোট বলটা শক্ত দেয়ালে আঘাত করে প্রায় একই বেগে ফিরে এল-এই ধরনের ঘটনা।

৪. প্রথম বস্তু অনেক বেশি ভারী ( $m_1\gg m_2$ ) এবং দ্বিতীয়টি স্থির:

v_{1f}\approx v_{1i},\qquad v_{2f}\approx2v_{1i}.

অর্থাৎ ভারী বস্তুটির বেগ খুব একটা বদলায় না, কিন্তু হালকা লক্ষ্যবস্তুটি প্রায় তার দ্বিগুণ বেগে চলে যেতে পারে।

উদাহরণ ৬.৯: আলফা কণা ও অক্সিজেন নিউক্লিয়াসের সংঘর্ষ

একটি আলফা কণার ভর $4.0\,\mathrm u$ , প্রাথমিক বেগ $+1.52\times10^7\,\mathrm{m/s}$ । সেটি স্থির একটি অক্সিজেন নিউক্লিয়াসের সঙ্গে মুখোমুখি সংঘর্ষ করল, যার ভর $16.0\,\mathrm u$ । সংঘর্ষের পরে অক্সিজেন নিউক্লিয়াস $+6.08\times10^6\,\mathrm{m/s}$ বেগে চলতে শুরু করল। আলফা কণার শেষ বেগ কত? সংঘর্ষের ধরন কী?

ভরবেগ সংরক্ষণ:

(4.0)(1.52\times10^7)=(4.0)v_{\alpha f}+(16.0)(6.08\times10^6).

সুতরাং,

\boxed{v_{\alpha f}=-9.12\times10^6\,\mathrm{m/s}}.

ঋণাত্মক চিহ্ন মানে আলফা কণাটি ফিরে গেছে।

CM frame-এর বেগ,

V_{\mathrm{cm}}=\frac{(4.0)(1.52\times10^7)}{4.0+16.0} =3.04\times10^6\,\mathrm{m/s}.

আলফা কণার CM-frame প্রাথমিক ও শেষ বেগ:

\begin{aligned} v'_{\alpha i}&=1.52\times10^7-3.04\times10^6=+1.216\times10^7,\\ v'_{\alpha f}&=-9.12\times10^6-3.04\times10^6=-1.216\times10^7 \end{aligned} \quad\mathrm{m/s}.

দেখলে? বেগের মান একই, দিক বিপরীত। তাই বইয়ের শ্রেণিবিভাগ অনুযায়ী এটি স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ।

শেষে একবার গুছিয়ে নিই

সংঘর্ষের অঙ্কে তিনটি কাজ নিয়ম করে করো:

ব্যবস্থা আর ধনাত্মক দিক ঠিক করো। প্রয়োজন হলে ছবিতে সব বেগের তীর আঁকো।
ভরবেগের সংরক্ষণ লেখো। একাধিক দিক থাকলে উপাংশে আলাদা করো।
সংঘর্ষের ধরন দেখো। বস্তু আটকে যাচ্ছে, না স্থিতিস্থাপকভাবে ফিরে আসছে? এই তথ্য ছাড়া অনেক সময় সব অজানা বেগ বের করা যায় না।

একটা সংঘর্ষের প্রতিটি ক্ষণিক বল না জানলেও, শুধু আগে ও পরের ভরবেগ থেকেই কত কিছু বোঝা যায়-এই তো এই অধ্যায়ের সবচেয়ে সুন্দর ব্যাপার!