২.৬: মুক্তভাবে পতনশীল বস্তু

Freely Falling Bodies

মনেকরো, কাটুশ একটা উঁচু ভবনের ছাদে দাঁড়িয়ে আছে। তার এক হাতে একটা ভারী লোহার বল, অন্য হাতে একটা ছোট পাথর। এবার একই উচ্চতা থেকে দুটো একসঙ্গে ছেড়ে দিল। কোনটা আগে মাটিতে পড়বে?

প্রথমে মনে হতে পারে, লোহার বলটা ভারী বলে আগে পড়বে। কিন্তু ব্যাপারটা আসলে এত সোজা নয়। যদি বাতাসের বাধাবিস্তারিত জানতে দেখো:বাতাসের বাধা ও প্রক্ষেপণের গতি উপেক্ষা করা যায়, তাহলে দুটো বস্তু একই ত্বরণে নিচে পড়বে।

পৃথিবীর কাছাকাছি কোনো বস্তু শুধু মহাকর্ষের প্রভাবে চললে সেই গতিকে আমরা বলি মুক্তপতন (Free Fall)। আর মুক্তপতনের সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড যে ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর কাজ করে, তাকে বলে মুক্তপতনের ত্বরণ বা Gravitational Acceleration। সাধারণত $g$ প্রতীক দিয়ে বোঝাই।

পৃথিবীর পৃষ্ঠের কাছে এর মান প্রায়,

অর্থাৎ বাতাসের বাধা উপেক্ষা করলে প্রতি সেকেন্ডে বস্তুর নিচের দিকে বেগের উপাংশ প্রায় $9.8\,\mathrm{m/s}$ করে বদলায়।

মুক্তপতন

কোনো বস্তুর ওপর মহাকর্ষ ছাড়া অন্য বলের প্রভাব উপেক্ষণীয় হলে তার গতিকে মুক্তপতন বলা হয়। পৃথিবীর পৃষ্ঠের কাছাকাছি ছোট উচ্চতার ব্যবধানে এই ত্বরণকে প্রায় ধ্রুবক ধরা যায়।

ওপরে ছুড়লেও ত্বরণ নিচের দিকে কেন?

এবার কাটুশ বলটা নিচে না ফেলে সোজা ওপরের দিকে ছুড়ে দিল। বলটা কিছুক্ষণ ওপরে উঠবে, তারপর থামবে, আবার নিচে নেমে আসবে। এবার প্রশ্ন-ওপরে ওঠার সময় ত্বরণ কোন দিকে?

অনেকে ভাবতে পারে, বল ওপরের দিকে উঠছে বলে ত্বরণও ওপরে। কিন্তু না। বল যতক্ষণ মহাকর্ষের প্রভাবে আছে, ত্বরণ নিচের দিকেই। ওপরের দিকে ওঠার সময় ত্বরণ তার বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর কমায়, আর নিচে নামার সময় একই ত্বরণ নিচের দিকের বেগের মান বাড়ায়।

আমরা এবার ওপরকে $+y$ ধরবো। তাহলে মহাকর্ষজ ত্বরণের উপাংশ হবে,

আগের পরিচ্ছেদের সমত্বরণের দুটি সমীকরণে $a_y=-g$ বসিয়ে পাই,

এবং,

এখানে $g$ নিজে ধনাত্মক মান; মাইনাস চিহ্ন দিয়ে বোঝানো হচ্ছে যে আমরা ওপরের দিককে ধনাত্মক ধরেছি, অথচ ত্বরণ নিচের দিকে।

সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ কথা

কোনো বল সর্বোচ্চ উচ্চতায় গিয়ে এক মুহূর্তের জন্য থামলে $v_y=0$ হয়, কিন্তু $a_y=0$ হয় না। তখনও $a_y=-g$।

উদাহরণ ২-৯: শুধু ছেড়ে দেওয়া একটা বস্তু

একটা পাথরকে স্থির অবস্থা থেকে ছেড়ে দেওয়া হলো। শুরুর জায়গাটাকেই $y_0=0$ ধরলাম। তাহলে শুরুর বেগ $v_{0y}=0$। ফলে,

আর,

এবার প্রতি সেকেন্ডে অবস্থান আর বেগ কত হয় দেখো।

দেখছো, প্রথম সেকেন্ডে পাথর $4.9\,\mathrm{m}$ নেমেছে। কিন্তু দ্বিতীয় সেকেন্ড শেষ হতে মোট $19.6\,\mathrm{m}$ নেমে গেছে। অর্থাৎ দ্বিতীয় সেকেন্ডে আলাদাভাবে নেমেছে $19.6-4.9=14.7\,\mathrm{m}$। কারণ নিচে পড়তে পড়তে পাথরটির বেগ বাড়ছে। বইয়ের চিত্র ২-২৪-এ এই মানগুলো তীরচিহ্ন দিয়ে দেখানো হয়েছে।

উদাহরণ ২-১০: বলটা কত ওপরে উঠবে?

এবার মাটি থেকে একটা বল $25.2\,\mathrm{m/s}$ বেগে সোজা ওপরে ছুড়ে দিলে। জানতে চাই, সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছাতে কত সময় লাগবে, কত ওপরে উঠবে, আর কখন বলটা মাটি থেকে $27.0\,\mathrm{m}$ ওপরে থাকবে।

প্রথমে সর্বোচ্চ উচ্চতায় যাওয়ার সময়। ওই মুহূর্তে বেগ শূন্য, অর্থাৎ $v_y=0$। তাই,

এবার সর্বোচ্চ উচ্চতা। মাটিকে $y_0=0$ ধরে,

অর্থাৎ বলটা প্রায় $32.4$ মিটার ওপরে উঠবে।

এখন $27.0$ মিটার উচ্চতার প্রশ্ন। বলটা ওপরে ওঠার সময় একবার, আবার নিচে নামার সময় আরেকবার এই উচ্চতায় থাকবে। সমীকরণে $y=27.0$ বসালে,

অর্থাৎ,

দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করে পাই,

প্রথমবার বলটি ওপরে উঠছে। তখন,

দ্বিতীয়বার নিচে নামছে। তখন,

দেখো, একই উচ্চতায় দুবার বলের বেগের মান সমান, কিন্তু দিক বিপরীত। বাতাসের বাধা না থাকলে ওঠা আর নামার এই গতিতে একটা সুন্দর সামঞ্জস্য থাকে। বইয়ের চিত্র ২-২৫-এ বলের বিভিন্ন অবস্থান, বেগ আর ত্বরণ দেখানো হয়েছে।

একটু ভেবে দেখো

বলটার সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছানোর সময় $2.57$ সেকেন্ড। আর $27$ মিটার উচ্চতায় পৌঁছানোর দুটি সময় $1.52$ এবং $3.62$ সেকেন্ড। কেন সর্বোচ্চ উচ্চতার সময়টি এই দুটির ঠিক মাঝামাঝি? সূত্র ছাড়াও ছবিটা কল্পনা করে উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করো।

উদাহরণ ২-১১: পানির নিচ থেকে রকেট উৎক্ষেপণ

মনেকরো, একটা রকেট পানির পৃষ্ঠ থেকে $125\,\mathrm{m}$ নিচে স্থির অবস্থায় রয়েছে। রকেটটা ইঞ্জিন চালু করে সোজা ওপরে উঠতে শুরু করলো। পানির পৃষ্ঠে পৌঁছাতে সময় লাগলো $2.15\,\mathrm{s}$। পানির ওপর উঠেই ইঞ্জিন বন্ধ হয়ে গেল, কিন্তু আগের বেগের জন্য রকেটটা আরও ওপরে উঠলো। জানতে চাই, পানির পৃষ্ঠের কত ওপরে গিয়ে রকেট থামবে?

এই সমস্যায় একটা গুরুত্বপূর্ণ ব্যাপার আছে। পানির নিচে ইঞ্জিনের বল, পানির উত্থাপন বল, প্রতিরোধ আর মহাকর্ষ মিলে রকেটের একটা ত্বরণ তৈরি করছে। কিন্তু পানির বাইরে ইঞ্জিন বন্ধ হওয়ার পর, বাতাসের বাধা উপেক্ষা করলে শুধু মহাকর্ষ কাজ করবে। তাই পুরো গতিটাকে দুই ভাগে ভাগ করবো।

প্রথম অংশ: পানির নিচে। শুরুর বেগ শূন্য, সরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর $125\,\mathrm{m}$ এবং সময় $2.15\,\mathrm{s}$। সমত্বরণের সমীকরণ থেকে,

অর্থাৎ,

তাহলে পানির পৃষ্ঠে পৌঁছানোর বেগ,

দ্বিতীয় অংশ: পানির বাইরে। এবার এই $116\,\mathrm{m/s}$-কেই নতুন শুরুর বেগ ধরবো। রকেট সর্বোচ্চ উচ্চতায় গেলে বেগ শূন্য হয়ে যাবে। তাই,

অর্থাৎ,

এখন পানির পৃষ্ঠ থেকে রকেটের সর্বোচ্চ উচ্চতা,

উত্তর

রকেটটি পানির পৃষ্ঠের প্রায় ৬৮৭ মিটার ওপরে উঠবে। এই উচ্চতা পানির ওপরের অংশের জন্য; পানির নিচের ১২৫ মিটার এর সাথে যোগ করা হয়নি।

এখানে আরও একটা বিষয় খেয়াল করো। পানির পৃষ্ঠ অতিক্রমের মুহূর্তে রকেটের অবস্থান ও বেগ ধারাবাহিকভাবে চলতে পারে, কিন্তু ত্বরণ হঠাৎ বদলে যায়। এজন্য দুই অংশে আলাদা সমীকরণ ব্যবহার করেছি।

গ্যালিলিও কীভাবে বুঝলেন সব বস্তু একই ত্বরণে পড়ে?

এবার একটা ছোট্ট ইতিহাসের গল্প শোনো। বহু আগে দার্শনিক অ্যারিস্টটল মনে করতেন ভারী বস্তু হালকা বস্তুর চেয়ে দ্রুত পড়ে। এই ধারণা প্রায় দুই হাজার বছর ধরে প্রচলিত ছিল।

তারপর এলেন গ্যালিলিও গ্যালিলেই। তিনি যুক্তি দিলেন, বাতাসের বাধা না থাকলে বিভিন্ন ভরের বস্তু একই মহাকর্ষজ ত্বরণে নিচে পড়ে। আজ আমরা জানি, এই ধারণাই সঠিক।

কিন্তু গ্যালিলিওর সময়ে বায়ুশূন্য জায়গা তৈরি করা বা খুব ছোট সময়ের ব্যবধান নির্ভুলভাবে মাপা সহজ ছিল না। তাই তিনি একটা বুদ্ধি করলেন। ওপর থেকে সোজা বল ছেড়ে দেওয়ার বদলে হেলানো তল (Inclined Planeবিস্তারিত জানতে দেখো:৫.২ টান ও অভিলম্ব বল) দিয়ে বল গড়িয়ে নামালেন। এতে বলের গতি অনেক ধীরে বদলায়, ফলে সময় আর দূরত্ব মাপা তুলনামূলক সহজ হয়।

গ্যালিলিও দেখলেন, সমান সমান সময়ের পরপর অতিক্রান্ত দূরত্বের অনুপাত হতে পারে,

তাহলে মোট দূরত্বের অনুপাত হবে,

অর্থাৎ,

দেখছো? দূরত্ব সময়ের বর্গের সমানুপাতিক।

এই পরীক্ষাগুলো থেকে তিনি বুঝতে পারলেন সমত্বরণের গতিতে এ রকম সম্পর্ক পাওয়া যায় এবং বস্তুটির ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা বদলালেই মুক্তপতনের ত্বরণ বদলাতে হবে এমন নয়।

বইয়ে পিসার হেলানো টাওয়ার থেকে গ্যালিলিওর বস্তু ফেলার বিখ্যাত গল্পটির উল্লেখ আছে। তবে সেটি সত্যিই ঘটেছিল কি না, তা নিয়ে ঐতিহাসিক সন্দেহ রয়েছে।

চাঁদে হাতুড়ি আর পালক

এবার ১৯৭১ সালের একটা ঘটনা। অ্যাপোলো ১৫ অভিযানে মহাকাশচারী ডেভিড স্কট চাঁদের মাটিতে একসঙ্গে একটা হাতুড়ি আর পালক ছেড়ে দিয়েছিলেন। চাঁদে বাতাসের বাধা প্রায় নেই বলে দুটোই প্রায় একই সময়ে মাটিতে পৌঁছেছিল।

পৃথিবীতে একই কাজ করলে পালকটা ধীরে পড়ে, কারণ বাতাসের বাধা পালকের ওপর তুলনামূলক বেশি প্রভাব ফেলে। তাই সাধারণ জীবনে ভারী-হালকা বস্তুর পতন আলাদা মনে হলেও, মহাকর্ষজ ত্বরণ আর বাতাসের বাধা আলাদা করে ভাবতে হবে।

$g$ কীভাবে নির্ভুলভাবে মাপা হয়?

ধরো, তুমি এক মিটার ওপর থেকে একটা বল ফেললে। কত সময়ে মাটিতে পড়ছে সেটা মেপে,

থেকে $g$-এর একটা আনুমানিক মান বের করতে পারো। কিন্তু খুব সূক্ষ্ম মান পাওয়ার জন্য সাধারণ হাতঘড়ি যথেষ্ট নয়।

একটা দোলক দিয়ে পর্যায়কাল মেপেও $g$ নির্ণয় করা যায়। আরও নির্ভুল পদ্ধতিতে বিজ্ঞানীরা বায়ুশূন্য পাত্রে বস্তু ফেলেন এবং লেজার দিয়ে পতনের দূরত্ব, আর Atomic Clockবিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড দিয়ে সময় পরিমাপবিস্তারিত জানতে দেখো:ভৌত রাশি, মানদণ্ড এবং একক করেন। এ ধরনের যন্ত্রকে Gravimeter বলা হয়। বইয়ের চিত্র ২-২৬-এ বহনযোগ্য Rise-and-Fall Gravimeter দেখানো হয়েছে। এই যন্ত্রে বস্তু ওপরে ছুড়ে ওঠা ও নেমে আসা-দুই অবস্থাতেই পরিমাপ করা যায়।

মূল বইয়ে উল্লেখ আছে, অত্যন্ত সূক্ষ্ম যন্ত্র দিয়ে $g$-এর $10^9$ ভাগের এক ভাগের মতো পার্থক্য পর্যন্ত পরিমাপ করার পদ্ধতি তৈরি হয়েছিল। এতে কাছাকাছি দুটি উচ্চতায় মহাকর্ষের খুব ছোট পার্থক্যও ধরা সম্ভব।

এসব সূক্ষ্ম মাপের কী দরকার, ভাবছো? পৃথিবীর ভেতরে শিলা, খনিজ বা তেলের ঘনত্বের পার্থক্যের কারণে মহাকর্ষের মান সামান্য বদলায়। সেটা মেপে ভূতাত্ত্বিক গবেষণা, খনিজ অনুসন্ধান, পৃথিবীর ভূত্বকের পরিবর্তন এমনকি স্যাটেলাইটের গতিপথের হিসাবেও কাজে লাগে।

সবশেষে মনে রেখো

মুক্তপতনে বাতাসের বাধা উপেক্ষা করলে ত্বরণ সবসময় মহাকর্ষের দিকে, কিন্তু বস্তুটি সাময়িকভাবে ওপরের দিকেও চলতে পারে। বেগ কোন দিকে আর ত্বরণ কোন দিকে-দুটি আলাদা করে চিন্তা করলেই এই অধ্যায়ের বেশিরভাগ সমস্যার সমাধান অনেক সহজ হবে।

এই পরিচ্ছেদ দিয়ে একমাত্রিক গতির আলোচনা শেষ। পরের অধ্যায়ে আমরা জানবো, এই গতির কারণ কী-অর্থাৎ বল এবং নিউটনের গতিসূত্র।