৮.৫ রৈখিক ও কৌণিক রাশির সম্পর্ক (Relationships Between Linear and Angular Variables)

চাকার কিনারা কেন বেশি দ্রুত চলে?

মনেকরো, একটা ঘূর্ণায়মান চাকায় কাটুশ দুটি জোনাকি বসিয়ে দিল। একটি একেবারে কিনারায়, অন্যটি কেন্দ্র থেকে অর্ধেক দূরত্বে। চাকা পুরো এক পাক দিলে দুজনেই তো একই $360^\circ$ ঘুরবে। তাহলে কি তারা সমান পথ যাবে?

না। বাইরের জোনাকিটির বৃত্ত বড়, তাই একই সময়ে তার বেশি দূরত্ব পাড়ি দিতে হবে। একই কথা তার রৈখিক দ্রুতির ক্ষেত্রেও সত্যি।

কোণ থেকে পথের দৈর্ঘ্য

কোনো বিন্দু ঘূর্ণন অক্ষ থেকে $r$ দূরে থাকলে এবং $\theta$ রেডিয়ান ঘুরলে চাপের দৈর্ঘ্যবিস্তারিত জানতে দেখো:দৈর্ঘ্যের মানদণ্ড-

রৈখিক ও কৌণিক রাশির সবচেয়ে সহজ যোগসূত্র এটি।

কৌণিক বেগ থেকে স্পর্শকীয় দ্রুতি

সময়ের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ নিলে,

বামদিকে স্পর্শক বরাবর দ্রুতিবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর $v_T$ আর ডানদিকে কৌণিক দ্রুতি $\omega$। তাই,

দেখো, একই চাকার সব বিন্দুর $\omega$ সমান, কিন্তু $v_T$ নির্ভর করে $r$-এর ওপর। ব্যাসার্ধ যত বেশি, স্পর্শকীয় দ্রুতি তত বেশি।

ত্বরণ কিন্তু দুই রকম

কোনো বিন্দু বৃত্তে ঘুরলে তার বেগের মান বদলাতে পারে, আবার বেগের দিক তো অনবরত বদলাচ্ছেই। তাই তার রৈখিক ত্বরণকে দুটি উপাংশে ভাঙি।

১. স্পর্শকীয় ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর (Tangential acceleration) - দ্রুতির মান বদলায়।

এখানে $a_T$ ও $\alpha$-কে মান হিসেবে লিখেছি। চিহ্নযুক্ত স্পর্শকীয় উপাংশ নিলে উপযুক্ত দিকসহ একই সম্পর্ক কাজ করে।

২. কেন্দ্রাভিমুখী বা রেডিয়াল ত্বরণ (Radial acceleration) - বেগের দিক বদলায়, আর ত্বরণ থাকে কেন্দ্রের দিকে।

এবার তুমি বুঝতে পারবে কেন সমদ্রুতিতে বৃত্তাকার গতিতেও ত্বরণ থাকে। তখন $a_T=0$, কিন্তু $a_R$ শূন্য নয়। মূল বইয়ের চিত্র ৮-৮-এ দুটি ত্বরণের দিক আলাদা করে দেখানো হয়েছে।

ঘুরতে ঘুরতে চিমনি ভেঙে যায় কেন?

একটা লম্বা চিমনি গোড়ার কাছে ভেঙে কাত হচ্ছে-এমন দৃশ্য কল্পনা করো। চিমনিটা যদি একটানা দৃঢ় বস্তু হিসেবে ঘোরে, তার চূড়ার দূরত্ব $r$ অনেক বড়। ফলে সেখানে প্রয়োজনীয় স্পর্শকীয় ত্বরণ $a_T=\alpha r$-ও অনেক বড় হতে পারে। এমনকি তার নিচের দিকে উপাংশটি $g$-এর চেয়েও বড় হতে পারে।

কিন্তু চিমনির ইট আর মশলার বন্ধন এই বাড়তি ত্বরণ বজায় রাখতে না পারলে ওপরের অংশটি আলাদা হয়ে যেতে পারে। মূল বইয়ের চিত্র ৮-৯-এ এই ধরনের ভাঙনের উদাহরণ রয়েছে।

উদাহরণ ৮.৫: একই শানপাথরে দুটি বিন্দু

আগের শানপাথরটিই নাও। $2.7\ \mathrm{s}$ পরে $\omega=8.6\ \mathrm{rad/s}$ ও $\alpha=3.2\ \mathrm{rad/s^2}$। চাকার ব্যাসার্ধ $0.24\ \mathrm{m}$।

(ক) কিনারার বিন্দু, $r=0.24\ \mathrm m$:

(খ) অর্ধেক দূরের বিন্দু, $r=0.12\ \mathrm m$:

কৌণিক বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর ও ত্বরণ একই থাকলেও ব্যাসার্ধ অর্ধেক হলে তিনটি রৈখিক রাশিই অর্ধেক।

উদাহরণ ৮.৬: পালসারের বিষ্ময়কর ঘূর্ণন

একটা পালসার (pulsar) হলো অত্যন্ত দ্রুত ঘূর্ণায়মান নিউট্রন তারা। মূল বইয়ের উদাহরণে এর এক পাক ঘুরতে সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড লাগে $T=0.033\ \mathrm{s}$ এবং ব্যাসার্ধ $r=15\ \mathrm{km}$। বিষুবরেখার একটি বিন্দুর স্পর্শকীয় দ্রুতি কত?

প্রতি পাকের কোণ $2\pi$ রেডিয়ান। তাই,

এখন,

এটি আলোর গতির প্রায় $1\%$। ছোট্ট ব্যাসার্ধ বলে মোটেই ধীর-এমন নয়; কারণ পালসার এক সেকেন্ডে অসংখ্য পাক ঘুরছে।

সূত্রগুলো একসঙ্গে

মনে রেখো: এই সমীকরণগুলোতে কৌণিক রাশি রেডিয়ান-ভিত্তিক এককে ব্যবহার করবে।