১০.৪ কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ (Conservation of Angular Momentum)

আইস স্কেটার হাত গুটিয়ে নিলে হঠাৎ দ্রুত ঘোরে কেন?

ধরো, টিভিতে ফিগার স্কেটিং দেখছো। একজন স্কেটার বরফের উপর ঘুরতে শুরু করল। দুটো হাত বাইরে ছড়ানো। তারপর এক মুহূর্তে হাত দুটো শরীরের কাছে টেনে আনতেই ঘোরার গতি বেড়ে গেল!

কে তাকে নতুন করে ঠেলা দিল? কেউ তো না। তাহলে কৌণিক দ্রুতিবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর বাড়ল কীভাবে?

এর উত্তর একটা অসাধারণ সংরক্ষণ সূত্রে। এই সূত্রই বোঝাবে লাফ দেওয়া ডুবুরির ঘূর্ণন, ঘুরতে থাকা চাকতি উল্টে দিলে চেয়ারের ঘোরা, এমনকি মরে আসা নক্ষত্রের অবিশ্বাস্য দ্রুত স্পিনও।

কোন শর্তে কৌণিক ভরবেগ অপরিবর্তিত?

আগের অংশে আমরা পেয়েছি,

এখন যদি নির্বাচিত উৎসবিন্দুর সাপেক্ষে মোট বাহ্যিক টর্কবিস্তারিত জানতে দেখো:১০.২ কণা-ব্যবস্থা শূন্য হয়,

তাহলে,

অর্থাৎ,

এটাই কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র, মূল বইয়ের সমীকরণ (১০-১৫)।

খেয়াল করো, ভেক্টর কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষিত মানে শুধু তার মান নয়, তার দিকও অপরিবর্তিত। যদি বাহ্যিক টর্কের শুধু একটি উপাংশ শূন্য হয়, তাহলে কেবল ওই দিকের $L$-উপাংশ সংরক্ষিত থাকতে পারে।

ঘূর্ণন জড়তা বদলালে কী হয়?

স্থির অক্ষ ঘিরে ঘূর্ণনের জন্য,

বাহ্যিক টর্ক না থাকলে,

এটি সমীকরণ (১০-১৭)।

এখন স্কেটারের কাছে ফিরে যাই। হাত ছড়িয়ে থাকলে শরীরের কিছু ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা ঘূর্ণন অক্ষ থেকে দূরে থাকে। ফলে ঘূর্ণন জড়তাবিস্তারিত জানতে দেখো:ঘূর্ণন গতিতে শক্তির সংরক্ষণ $I_i$ বেশি। হাত গুটিয়ে আনলে সেই ভর অক্ষের কাছে আসে, ঘূর্ণন জড়তা কমে $I_f$ হয়।

$L$-এর মান একই রাখতে,

যেহেতু $I_f$ ছোট, $\omega_f$ বড়। তাই স্কেটার দ্রুত ঘোরে। হাত আবার ছড়িয়ে দিলে ঘোরা ধীর হয়। যাদু নয়-ভরবণ্টন বদলানোর ফল!

মূল বইয়ের চিত্র ১০-১২-এ ঘূর্ণায়মান চেয়ারে বসা একজন ব্যক্তি হাতের ভার কাছে এনে একই ঘটনা দেখিয়েছে।

ডুবুরি কেন শরীর গুটিয়ে বেশি পাক খায়?

একজন ডুবুরি স্প্রিংবোর্ড থেকে লাফ দিল। বোর্ড ছাড়ার সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড সে সামান্য কৌণিক ভরবেগ পেল। বাতাসে থাকার সময় ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে মহাকর্ষের টর্কবিস্তারিত জানতে দেখো:৯.১ টর্ক শূন্য-মহাকর্ষের ফলন্ত বল ভরকেন্দ্র দিয়েই কাজ করে। বাতাসের বাধাবিস্তারিত জানতে দেখো:বাতাসের বাধা ও প্রক্ষেপণের গতি উপেক্ষা করলে তার কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষিত।

ডুবুরি যদি শরীর একেবারে সোজা রাখে, তার ঘূর্ণন জড়তা তুলনামূলক বড়; তাই ধীরে ঘুরবে। যদি হাঁটু ভাঁজ করে শরীর গুটিয়ে নেয় (tuck position), $I$ কমে যায়, ফলে কৌণিক দ্রুতি বেড়ে যায়।

মূল বইয়ের চিত্র ১০-১৩-এ দেখানো হয়েছে, একই সময়ের মধ্যে সোজা অবস্থায় প্রায় অর্ধেক পাকের বদলে গুটানো অবস্থায় দেড় পাক দেওয়া সম্ভব। শেষে আবার শরীর সোজা করে কৌণিক দ্রুতি কমিয়ে পানিতে নামতে পারে।

এখানে একটা গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য: আকাশে ভেসে থাকতে ডুবুরি নতুন কৌণিক ভরবেগ তৈরি করছে না; শরীরের আকৃতি বদলে সেই ভরবেগের সঙ্গে যুক্ত কৌণিক বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর বদলাচ্ছে।

সাইকেলের চাকা উল্টে ধরলে চেয়ার ঘুরে যায়!

ধরো, তুমি একটা প্রায় ঘর্ষণহীন ঘূর্ণনশীল চেয়ারে বসে আছো। হাতে দ্রুত ঘুরতে থাকা সাইকেলের চাকা ধরে আছো। এখন চাকাটাকে পুরো উল্টে ধরলে চেয়ার নিজে থেকেই ঘুরতে শুরু করতে পারে।

কেন? চাকাটি উল্টে দিলে তার উল্লম্ব কৌণিক ভরবেগের দিক পাল্টে যায়। ধরা যাক, শুরুতে চাকাটির কৌণিক ভরবেগ $+L_w$ এবং চেয়ার স্থির। মোট,

উল্টে দেওয়ার পরে চাকার কৌণিক ভরবেগ $-L_w$ হলে চেয়ারের $L_s$ হতে হবে এমন যে,

অর্থাৎ,

বইয়ের চিত্র ১০-১৪-এ এই ঘটনাটি দেখানো হয়েছে। তুমি চাকাটিকে ঘোরাতে টর্ক দিয়েছো, আর চাকা তোমার উপর বিপরীত টর্ক দিয়েছে। পুরো ‘তুমি + চেয়ার + চাকা’ ব্যবস্থার জন্য সেটি অভ্যন্তরীণ টর্ক, তাই মোট কৌণিক ভরবেগ বদলায়নি।

দ্রুত ঘূর্ণন দিক স্থির রাখতে সাহায্য করে

একটা ঘূর্ণায়মান ফুটবল, জাইরোস্কোপ বা স্যাটেলাইটের কথা ভাবো। বাহ্যিক টর্ক $\vec L$-এর লম্ব হলে সেটি কৌণিক ভরবেগের দিক পরিবর্তন করতে চায়। ক্ষুদ্র সময়ের জন্য,

একই পার্শ্বিক টর্কে $L$ যত বড় হবে, দিকের পরিবর্তনের কোণ তত ছোট হবে। তাই দ্রুত ঘূর্ণন অনেক ক্ষেত্রে বস্তুর অভিমুখ স্থিতিশীল রাখতে সাহায্য করে। বইয়ের চিত্র ১০-১৫-এ ঘূর্ণনের সাহায্যে স্যাটেলাইটের দিক স্থিতিশীল রাখার উদাহরণ আছে।

তবে চলন্ত সাইকেলের ভারসাম্য শুধু চাকার জাইরোস্কোপিক প্রভাব দিয়ে সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা করা যায় না; স্টিয়ারিংয়ের জ্যামিতি ও অন্যান্য প্রভাবও গুরুত্বপূর্ণ। বইটি এখানে ঘূর্ণন-স্থিতিশীলতার একটি সহজ উপমা ব্যবহার করেছে।

নক্ষত্র সংকুচিত হলে ঘূর্ণন কেন এত বেড়ে যায়?

মনেকরো, বিশাল একটা নক্ষত্র ধীরে ঘুরছে। অনেক সময় পরে নিজস্ব জ্বালানি নিঃশেষ হয়ে সেটি মহাকর্ষের প্রভাবে সংকুচিত হতে শুরু করল। ব্যাসার্ধ অনেক কমে গেলেও ভর প্রায় একই রয়ে গেল-আমাদের সহজ মডেলে বাহ্যিক টর্কও নগণ্য।

কোনো প্রায় গোলীয় বস্তুর জন্য $I$ ব্যাসার্ধের বর্গের সঙ্গে সমানুপাতিক,

তাই,

বইয়ের উদাহরণে শুরুর ব্যাসার্ধ প্রায় $7\times10^5\ \mathrm{km}$, আর সংকুচিত নিউট্রন নক্ষত্রের ব্যাসার্ধ $11\ \mathrm{km}$ ধরা হয়েছে। অনুপাত,

অর্থাৎ একই কৌণিক ভরবেগ ধরে রাখতে ঘূর্ণনের হার কয়েক শত কোটি গুণ বেড়ে যেতে পারে। বইয়ের অনুমান অনুযায়ী মাসে একবার ঘোরার বদলে সেকেন্ডে হাজারেরও বেশি পাক দেওয়া সম্ভব! এ ধরনের দ্রুত ঘূর্ণনশীল নিউট্রন নক্ষত্র থেকে নিয়মিত বিকিরণের পালস পাওয়া গেলে তাদের পালসার (pulsar) বলা হয়। মূল বইয়ের চিত্র ১০-১৬-এ এমন পালসের রেকর্ড দেখানো হয়েছে।

এটি একটি আদর্শায়িত হিসাব: বাস্তব নক্ষত্রের ভর-বিন্যাস, ভর ক্ষয়, চৌম্বক ক্ষেত্র ও কৌণিক ভরবেগ পরিবহন আরও জটিল।

উদাহরণ ১০.৪: মহাকাশচারী দড়ি টেনে ফিরে আসতে চাইলে

ধরো, $M=120\ \mathrm{kg}$ ভরের একজন মহাকাশচারী $180\ \mathrm m$ লম্বা দড়িতে মহাকাশযানের সঙ্গে বাঁধা। ভুল করে সে দড়ির লম্ব দিকে নয়, বরং স্পর্শক বরাবর $v_i=2.5\ \mathrm{m/s}$ বেগ পেল। এখন দড়ি টেনে ধীরে ধীরে জাহাজের কাছে ফিরতে চায়।

মহাকাশযানকে উৎসবিন্দু ধরে, আদর্শভাবে উল্লেখযোগ্য বাহ্যিক টর্ক নেই। তাই,

অর্থাৎ,

যদি রেডিয়াল দিকে ধীরে টানা হয়, প্রয়োজনীয় আনুমানিক কেন্দ্রাভিমুখী টান,

(ক) $r=50\ \mathrm m$ হলে,

(খ) $r=5\ \mathrm m$ হলে,

কল্পনা করো-কাছে আসার সঙ্গে সঙ্গে দড়ির টান অবিশ্বাস্য বেড়ে গেল! বইটির শিক্ষা হলো: শুধুই দড়ি টেনে এমন স্পর্শকীয় গতি সরানো নিরাপদ বা বাস্তবসম্মত নয়। বাস্তব মহাকাশযাত্রায় আপেক্ষিক গতিবিস্তারিত জানতে দেখো:আপেক্ষিক গতি নিয়ন্ত্রণের জন্য অন্য ব্যবস্থা দরকার।

উদাহরণ ১০.৫: তিনটি চাকতি একসঙ্গে ঘুরলে

একটি চাকতি $\omega_i=0.84\ \mathrm{rev/s}$ বেগে ঘুরছে। তার উপর একই ধরনের দুটি স্থির চাকতি একের পর এক রাখা হলো। ঘর্ষণে শেষ পর্যন্ত তিনটি একসঙ্গে ঘুরবে। মোট বাহ্যিক উল্লম্ব টর্ক নেই ধরে কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষিত:

তাই,

এখানে একে অন্যের উপর ঘর্ষণ কাজ করছে, তাই ঘূর্ণনগত গতিশক্তিবিস্তারিত জানতে দেখো:ঘূর্ণন গতিতে শক্তির সংরক্ষণ সংরক্ষিত নয়-কিন্তু সম্পূর্ণ ব্যবস্থার কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষিত। এটি সংঘর্ষবিস্তারিত জানতে দেখো:৬.১ সংঘর্ষ অধ্যায়ের সম্পূর্ণ অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষের ঘূর্ণন-সমতুল্য। মূল বইয়ের চিত্র ১০-১৭-এ চাকতিগুলো দেখানো হয়েছে।

একটু ভেবে দেখো

একজন স্কেটার হাত গুটিয়ে দ্রুত ঘুরছে। তার কৌণিক ভরবেগ কি বেড়েছে? ঘূর্ণনগত গতিশক্তি কি একই আছে? দ্বিতীয় প্রশ্নের উত্তর পেতে ভাবো-হাত গুটিয়ে আনতে স্কেটারকে কি পেশি দিয়ে কাজ করতে হয়?

মনে রেখো

বাহ্যিক টর্ক শূন্য হলে কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষিত, কিন্তু কৌণিক বেগ বা ঘূর্ণনগত গতিশক্তি আলাদা করে সংরক্ষিত হওয়া বাধ্যতামূলক নয়। এ কারণেই হাত গুটিয়ে গতি বাড়ানো সম্ভব।