৯.৬ ঘূর্ণনের জন্য নিউটনের সূত্রের অসম্যাবস্থা প্রয়োগ (Nonequilibrium Applications of Newton’s Laws for Rotation)

এবার জিনিসটা শুধু স্থির থাকবে না-ঘুরবেও!

আগের অংশে মই আর বিমগুলোকে স্থির রেখেছিলাম। কিন্তু ধরো, তুমি পার্কে মেরি-গো-রাউন্ডে (merry-go-round) বসে আছো। বন্ধু এসে একপাশে ধাক্কা দিল। সেটি ঘুরতে শুরু করল। এখানে আর টর্কের যোগফল শূন্য নয়।

যখন স্থির অক্ষের চারপাশে মোট বাহ্যিক টর্কবিস্তারিত জানতে দেখো:১০.২ কণা-ব্যবস্থা শূন্য নয়, তখন বস্তুতে কৌণিক ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর দেখা দিতে পারে। এটাই আমাদের নতুন অঙ্কের মূল কথা:

সরলরেখায় যেমন $F=ma$, ঘূর্ণনে তেমন $\tau=I\alpha$। শুধু খেয়াল রাখবে-টর্কের যে উপাংশটি নির্বাচিত অক্ষ বরাবর, সেটিই ওই অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন ত্বরণ তৈরি করে।

উদাহরণ ৯.৯: বাবা মেরি-গো-রাউন্ড ঠেলছেন

পার্কের গোল প্ল্যাটফর্মটির ব্যাসার্ধ $R=1.50\ \mathrm m$। এক ব্যক্তি তার প্রান্তে $F=115\ \mathrm N$ বল দিয়ে ঠেলছেন। বলটি অনুভূমিকের সঙ্গে নিচের দিকে $32^\circ$ কোণ করে। আবার বলের অনুভূমিক উপাংশ স্পর্শকের সঙ্গে ভেতরের দিকে $15^\circ$ কোণ করেছে (মূল বইয়ের চিত্র ৯-২৫)।

প্রথমে টর্কবিস্তারিত জানতে দেখো:৯.১ টর্ক বের করি। প্ল্যাটফর্মটিকে ঘোরাতে সাহায্য করে কেবল সমতলের মধ্যে স্পর্শক বরাবর বলের উপাংশ।

অনুভূমিক উপাংশ,

এর স্পর্শকীয় উপাংশ,

অতএব ঘূর্ণন অক্ষ বরাবর টর্কের মান,

বলটির নিচের দিকে উপাংশ প্ল্যাটফর্মকে কাত করার চেষ্টা করতে পারে, কিন্তু বেয়ারিং সেই প্রভাব ঠেকিয়ে রাখে; নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশের ঘূর্ণন বাড়ায় না।

এবার কৌণিক ত্বরণ বের করি।

ধরো, প্ল্যাটফর্মটা $0.40\ \mathrm{cm}$ পুরু স্টিলের সমসত্ত্ব চাকতি। স্টিলের ঘনত্ব $7.9\ \mathrm{g/cm^3}$। এর আয়তন,

তাই প্ল্যাটফর্মের ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা প্রায় $223\ \mathrm{kg}$। সমসত্ত্ব চাকতি হিসেবে,

এতে $25\ \mathrm{kg}$ ভরের একটি শিশু অক্ষ থেকে $1.0\ \mathrm m$ দূরে বসে আছে। তাকে বিন্দু-কণা ধরলে,

মোট জড়তাবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের প্রথম গতিসূত্র ও জড়তা $I=251+25=276\ \mathrm{kg\,m^2}$। কাজেই,

বাচ্চাটি বাইরে দূরে বসলে $I$ বেড়ে যাবে, তাই একই টর্কে কৌণিক ত্বরণ কমবে।

উদাহরণ ৯.১০: ঝুলন্ত ব্লক একটা চাকতি ঘোরাচ্ছে

একটি পুলি আছে, যাকে সমসত্ত্ব চাকতি ধরা যায়। পুলির ভর $M=2.5\ \mathrm{kg}$, ব্যাসার্ধ $R=0.20\ \mathrm m$। তার উপর ভরহীন দড়ি প্যাঁচানো; দড়ির প্রান্তে $m=1.2\ \mathrm{kg}$ ভরের ব্লক ঝুলছে। পুলির অক্ষ ঘর্ষণহীন, দড়ি পুলির ধার থেকে পিছলায় না। ব্লক ছেড়ে দিলে তার ত্বরণ, দড়ির টান এবং পুলির কৌণিক ত্বরণ কত? (মূল বইয়ের চিত্র ৯-২৬)।

একসঙ্গে দুটো বস্তু থাকায় দুটো সূত্রই লাগবে।

প্রথম ধাপ: ঝুলন্ত ব্লকের বল। নিচের দিক ধনাত্মক ধরলে ওজনবিস্তারিত জানতে দেখো:ওজন, ভর ও ওজনহীনতা $mg$ নিচে, দড়ির টান $T$ উপরে।

দ্বিতীয় ধাপ: পুলির টর্ক। দড়ির টানের কারণে টর্ক $TR$; পুলির ওজন ও অক্ষের প্রতিক্রিয়ার ক্রিয়ারেখা কেন্দ্র দিয়ে যায়, তাই কেন্দ্রের সাপেক্ষে তাদের টর্ক শূন্য।

পুলি সমসত্ত্ব চাকতি, তাই $I=\frac12MR^2$। দড়ি না পিছলালে ব্লকের রৈখিক ত্বরণ আর পুলির ধার বরাবর স্পর্শকীয় ত্বরণ সমান,

তাই টর্কের সমীকরণে বসিয়ে,

তৃতীয় ধাপ: দুটো সমীকরণ একসঙ্গে সমাধান।

সংখ্যা বসালে,

তারপর,

এবং,

এখানে $a<g$-কারণ ব্লকের মহাকর্ষীয় টানের কিছুটা পুলির ঘূর্ণন ত্বরণ তৈরি করতেও ব্যয় হচ্ছে। দড়ির টানও ব্লকের ওজন $mg\approx11.8\ \mathrm N$-এর চেয়ে কম।

আরেকটা মজার পর্যবেক্ষণ: পুলি যদি ভরহীন হতো ($M=0$), সূত্র দিত $a=g$ আর $T=0$। তখন ব্লক মুক্তপতনবিস্তারিত জানতে দেখো:মুক্তভাবে পতনশীল বস্তু করত, দড়ি শুধু তার পেছনে চলত।

বেয়ারিং কেন এত গুরুত্বপূর্ণ?

মনেকরো, একটা চাকা শুধু $z$-অক্ষের চারপাশে ঘুরতে পারবে বলে আটকে রেখেছো। তুমি তির্যক বল দিলে টর্কের $x$, $y$, $z$ তিনটি উপাংশই হতে পারে। কিন্তু চাকা $x$ বা $y$-অক্ষের চারপাশে কাত হতে পারবে না-সেই দিকের টর্ক বেয়ারিংয়ের প্রতিক্রিয়া টর্কে বাতিল হবে (মূল বইয়ের চিত্র ৯-২৭)।

তাই বেছে নেওয়া $z$-অক্ষ বরাবর টর্কের সমীকরণ ব্যবহার করার সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড আমরা সব বলের শুধু $z$-উপাংশের টর্ক নিই। অন্য উপাংশগুলো অদৃশ্য নয়, তবে অক্ষের বাধ্যবাধকতা তাদের সামলে রাখে।

মনে রেখো

একটি ঘূর্ণায়মান ব্যবস্থা আর ঝুলন্ত ব্লক একসঙ্গে থাকলে সাধারণত তিনটি সম্পর্ক লিখবে: $\sum F=ma$, $\sum\tau=I\alpha$, আর পিছলানো না থাকলে $a=\alpha R$। সঠিক মুক্ত-বস্তু চিত্র ও চিহ্ন বেছে নিলে অঙ্কটা অনেক সহজ।