⚛ Science in Minutes

৭.৫ কণা-ব্যবস্থায় ভরবেগের সংরক্ষণ (Conservation of Momentum in a System of Particles)

কামান থেকে গোলা ছুড়লে কামানটা পেছনে যায় কেন?

মনেকরো, কাটুশ একটা ছোট খেলনা কামান বানিয়েছে। কামানটা মসৃণ মেঝের ওপর রাখা। সে গোলা ছুড়তেই গোলাটা সামনে ছুটে গেল, আর কামানটা গেল পেছনে।

এটা তো আমরা নিউটনের তৃতীয় সূত্র দিয়ে ব্যাখ্যা করতে পারি। কিন্তু পুরো ঘটনার হিসাব করতে আরও সহজ একটা উপায় আছে-ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র।

আগের অধ্যায়ে আমরা দুটি বস্তুর সংঘর্ষে এই সূত্র ব্যবহার করেছি। এবার বুঝবো, দুটি নয়, যত কণাই থাকুক, তাদের নিয়ে গঠিত একটা ব্যবস্থার জন্য একই নিয়ম কাজ করে।

পুরো ব্যবস্থার ভরবেগ কত?

ধরো, ব্যবস্থায় NNটি কণা আছে। nn-তম কণার ভর mnm_n, বেগ v⃗n\vec v_n এবং ভরবেগ p⃗n=mnv⃗n\vec p_n=m_n\vec v_n। মোট ভরবেগ হলো সব কণার ভরবেগের ভেক্টর যোগফল:

P⃗=∑n=1Np⃗n=∑n=1Nmnv⃗n.\vec P=\sum_{n=1}^{N}\vec p_n =\sum_{n=1}^{N}m_n\vec v_n.

কিন্তু আগের অংশে আমরা দেখেছি, ভরকেন্দ্রের বেগ,

v⃗cm=1M∑n=1Nmnv⃗n.\vec v_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M}\sum_{n=1}^{N}m_n\vec v_n.

এখন দুই সমীকরণ তুলনা করো। সঙ্গে সঙ্গেই পাই,

P⃗=Mv⃗cm.\boxed{\vec P=M\vec v_{\mathrm{cm}}}.

এটা খুব শক্তিশালী ফলাফল। পুরো ব্যবস্থার মোট ভরবেগ এমন, যেন তার সব ভর MM ভরকেন্দ্রে আছে এবং সেই বিন্দু v⃗cm\vec v_{\mathrm{cm}} বেগে চলছে।

বাহ্যিক বল আর মোট ভরবেগের সম্পর্ক

মোট ভর MM ধ্রুব হলে,

dP⃗dt=Mdv⃗cmdt=Ma⃗cm.\frac{d\vec P}{dt}=M\frac{d\vec v_{\mathrm{cm}}}{dt}=M\vec a_{\mathrm{cm}}.

আবার আগের অংশের সূত্র,

∑F⃗ext=Ma⃗cm.\sum\vec F_{\mathrm{ext}}=M\vec a_{\mathrm{cm}}.

তাহলে এই দুই সম্পর্ক মিলিয়ে,

∑F⃗ext=dP⃗dt.\boxed{\sum\vec F_{\mathrm{ext}}=\frac{d\vec P}{dt}}.

অর্থাৎ, একটি কণা-ব্যবস্থার মোট ভরবেগ যে হারে বদলায়, সেটাই লব্ধি বাহ্যিক বল।

আর যদি লব্ধি বাহ্যিক বল শূন্য হয়,

dP⃗dt=0⟹P⃗=constant.\frac{d\vec P}{dt}=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\vec P=\text{constant}}.

তাহলে পুরো ব্যবস্থার মোট ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে। লক্ষ্য করো, ব্যবস্থার ভেতরে সংঘর্ষ, ঘর্ষণ কিংবা বিস্ফোরণ ঘটলেও অভ্যন্তরীণ বলগুলো একা মোট ভরবেগ বদলাতে পারে না।

ভরকেন্দ্রের সঙ্গে চললে মোট ভরবেগ শূন্য দেখায় কেন?

ধরো, তুমি এমন একটা পর্যবেক্ষণ কাঠামোতে (reference frame) বসে আছো, যেটা ভরকেন্দ্রের সঙ্গে v⃗cm\vec v_{\mathrm{cm}} বেগে চলছে। তোমার কাছে nn-তম কণার বেগ হবে,

v⃗n′=v⃗n−v⃗cm.\vec v_n'=\vec v_n-\vec v_{\mathrm{cm}}.

তাহলে তোমার মাপা মোট ভরবেগ,

P⃗′=∑n=1Nmnv⃗n′=∑n=1Nmn(v⃗n−v⃗cm)=Mv⃗cm−Mv⃗cm=0.\begin{aligned} \vec P' &=\sum_{n=1}^{N}m_n\vec v_n'\\ &=\sum_{n=1}^{N}m_n(\vec v_n-\vec v_{\mathrm{cm}})\\ &=M\vec v_{\mathrm{cm}}-M\vec v_{\mathrm{cm}}\\ &=\boxed{0}. \end{aligned}

এই জন্যই ভরকেন্দ্রের প্রসঙ্গ কাঠামো (center-of-mass frame) এত সুবিধাজনক। এখানে সব কণার মোট ভরবেগ শূন্য। তবে আলাদা কণাগুলো কিন্তু চলতে পারে।

উদাহরণ ৭.৭: আটটি গুলি কাঠের ব্লকে ঢুকলে ব্লকের বেগ কত?

একটা 12 kg12\,\mathrm{kg} ভরের কাঠের ব্লক ঘর্ষণহীন টেবিলের ওপর স্থির আছে। প্রতিটির ভর 3.8 g3.8\,\mathrm{g} এবং বেগ 1100 m/s1100\,\mathrm{m/s}-এমন আটটি গুলি ব্লকটিতে ঢুকে আটকে গেল। শেষে ব্লকটির বেগ কত?

এখানে ব্লক + আটটি গুলি-সব মিলিয়ে একটি ব্যবস্থা ধরছি। গুলিগুলো প্রথমে ব্লকের দিকে চলছে, আর ব্লক স্থির। অনুভূমিক দিকে লব্ধি বাহ্যিক বল নেই। তাই মোট ভরবেগ সংরক্ষিত থাকবে।

একটা গুলির ভর,

m=3.8 g=3.8×10−3 kg.m=3.8\,\mathrm{g}=3.8\times10^{-3}\,\mathrm{kg}.

আটটি গুলির প্রাথমিক মোট ভরবেগ,

Pi=8mv.P_i=8mv.

শেষে সব গুলি ব্লকে আটকে গেছে, তাই মোট ভর (M+8m)(M+8m) এবং সবার বেগ একই VV:

Pf=(M+8m)V.P_f=(M+8m)V.

ভরবেগের সংরক্ষণ থেকে,

8mv=(M+8m)V.8mv=(M+8m)V.

সুতরাং,

V=8mM+8mv=8(3.8×10−3)12+8(3.8×10−3)(1100)≈2.8 m/s.\begin{aligned} V&=\frac{8m}{M+8m}v\\ &=\frac{8(3.8\times10^{-3})}{12+8(3.8\times10^{-3})}(1100)\\ &\approx\boxed{2.8\,\mathrm{m/s}}. \end{aligned}

কেন গুলিগুলো ব্লকে ঢোকার জটিল বল হিসাব করতে হলো না? কারণ আমরা গুলি আর ব্লককে একই ব্যবস্থার অংশ হিসেবে ধরেছি। তাদের পারস্পরিক বলগুলো তখন অভ্যন্তরীণ।

আরেকটা সূক্ষ্ম ব্যাপার: উল্লম্ব দিকে অভিকর্ষ আর টেবিলের অভিলম্ব বল কাজ করছে। তাই উল্লম্ব ভরবেগ নিয়ে একইভাবে ‘বাহ্যিক বল শূন্য’ বলা যাবে না। এই অঙ্কে আমরা শুধু অনুভূমিক উপাংশের সংরক্ষণ ব্যবহার করেছি।

উদাহরণ ৭.৮: কামানের প্রতিক্ষেপ বেগ

এবার একটা বড় কামান ধরি। কামানের ভর M=1300 kgM=1300\,\mathrm{kg}। এটি m=72 kgm=72\,\mathrm{kg} ভরের একটি গোলা সামনে ছোড়ে। গোলাটির কামানের সাপেক্ষে বেগ v=55 m/sv=55\,\mathrm{m/s}। কামানটি অবাধে পিছিয়ে যেতে পারে।

প্রশ্ন দুটি: কামানটি পৃথিবীর সাপেক্ষে কত বেগে পিছোবে? আর গোলাটির পৃথিবীর সাপেক্ষে বেগ কত?

এখানে একটা ভুল খুব সহজে হয়। 55 m/s55\,\mathrm{m/s} হলো কামানের সাপেক্ষে গোলার বেগ, পৃথিবীর সাপেক্ষে নয়।

পৃথিবীর সাপেক্ষে কামানের বেগ VV, গোলার বেগ vEv_E ধরি। আপেক্ষিক গতির সূত্র থেকে,

vE=v+V.v_E=v+V.

কামান ছোড়ার আগে ব্যবস্থা স্থির, তাই প্রাথমিক ভরবেগ শূন্য। অনুভূমিক দিকে বাহ্যিক লব্ধি বল না থাকায়,

MV+mvE=0.MV+mv_E=0.

এখন vE=v+Vv_E=v+V বসাই:

MV+m(v+V)=0.MV+m(v+V)=0.

সাজালে,

V=−mvM+m.\boxed{V=-\frac{mv}{M+m}}.

সংখ্যা বসিয়ে,

V=−(72)(55)1300+72≈−2.9 m/s.V=-\frac{(72)(55)}{1300+72}\approx\boxed{-2.9\,\mathrm{m/s}}.

অর্থাৎ কামানটি পেছনে প্রায় 2.9 m/s2.9\,\mathrm{m/s} বেগে চলে।

গোলার পৃথিবীর সাপেক্ষে বেগ,

vE=v+V=55−2.9≈52 m/s.v_E=v+V=55-2.9\approx\boxed{52\,\mathrm{m/s}}.

গোলার সামনের ভরবেগ আর কামানের পেছনের ভরবেগ পরস্পরকে বাতিল করে দিয়েছে।

ব্যবস্থার সীমানা বদলালে হিসাবও কেন বদলায়?

একই ঘটনায় যদি শুধু কাঠের ব্লকটিকে ব্যবস্থা ধরো, তাহলে গুলির আঘাত তার জন্য বাহ্যিক বল। কিন্তু ব্লক + গুলি ধরলে সেই বল অভ্যন্তরীণ।

তাই যেকোনো ভরবেগের অঙ্কে প্রথমেই নিজেকে প্রশ্ন করো: ব্যবস্থার মধ্যে কী কী আছে? এরপর কোন দিকের বাহ্যিক বল শূন্য, সেটা নির্ধারণ করো। তাহলেই বোঝা যাবে কোন দিকের ভরবেগ সংরক্ষণ করা যাবে।

মনে রেখো

P⃗=Mv⃗cm,∑F⃗ext=dP⃗dt.\boxed{\vec P=M\vec v_{\mathrm{cm}}}, \qquad \boxed{\sum\vec F_{\mathrm{ext}}=\frac{d\vec P}{dt}}.

দ্বিতীয় সমীকরণটি এখানে ধ্রুব মোট ভরবিশিষ্ট একটি নির্দিষ্ট কণা-ব্যবস্থার জন্য পাওয়া গেছে। কিন্তু রকেটের মতো ব্যবস্থা যেখানে প্রতিনিয়ত জ্বালানি বেরিয়ে যাচ্ছে, সেখানে কী হবে? পরের অংশে সেটাই দেখবো।