৬.৪ ভরবেগের সংরক্ষণ (Conservation of Momentum)

বরফের ওপর দাঁড়িয়ে দুজন একে অপরকে ঠেলে দিলে কী হবে?

মনেকরো, তুমি আর তোমার বন্ধু একদম মসৃণ বরফের ওপর দাঁড়িয়ে আছো। শুরুতে দুজনই স্থির। এবার তুমি বন্ধুকে ঠেলা দিলে। তোমার বন্ধু একদিকে সরে গেল, আর তুমিও ঠিক উল্টো দিকে পিছিয়ে গেলে!

বন্ধুকে তো তুমিই ঠেলেছো। তাহলে তুমি কেন উল্টো দিকে গেলে?

কারণ ঠেলার সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড তোমরা একে অপরের ওপর সমান ও বিপরীত বল প্রয়োগ করেছো। ফলে তোমাদের ভরবেগও বিপরীত দিকে বদলেছে। কিন্তু দুজনকে একটা ব্যবস্থা (system) হিসেবে ধরলে মোট ভরবেগ বদলায়নি।

এটাই রৈখিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র (Conservation of Linear Momentum)।

মোট ভরবেগের হিসাব

দুটি বস্তুর ভরবেগ যথাক্রমে $\vec p_1$ ও $\vec p_2$ হলে মোট ভরবেগ,

এখানে সাধারণ যোগ নয়-ভেক্টর যোগবিস্তারিত জানতে দেখো:ভেক্টরের ধর্ম ও উপাংশ করতে হবে।

তাদের ওপর বাইরে থেকে কোনো লব্ধি বলবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র না থাকলে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র অনুযায়ী,

কেন? কারণ বস্তু দুটি একে অপরের ওপর যে অভ্যন্তরীণ বলবিস্তারিত জানতে দেখো:৭.২ দুই-কণা ব্যবস্থা প্রয়োগ করে, সেগুলো নিউটনের তৃতীয় সূত্র অনুযায়ী সমান ও বিপরীত; পুরো ব্যবস্থার হিসাবে পরস্পরকে বাতিল করে দেয়।

ফলে,

অথবা,

মানে, লব্ধি বাহ্যিক বলবিস্তারিত জানতে দেখো:৭.২ দুই-কণা ব্যবস্থা শূন্য হলে ব্যবস্থার মোট রৈখিক ভরবেগবিস্তারিত জানতে দেখো:৭.৫ কণা-ব্যবস্থায় ভরবেগের সংরক্ষণ অপরিবর্তিত থাকে।

একেকটা বস্তুর ভরবেগ বদলালে মোটটা অপরিবর্তিত থাকে কীভাবে?

একটা সহজ হিসাব করি। প্রথম কার্টের ভরবেগ যদি সংঘর্ষে $5\,\mathrm{kg\,m/s}$ কমে, দ্বিতীয়টির ভরবেগ ঠিক $5\,\mathrm{kg\,m/s}$ বাড়তে পারে। তখন,

অর্থাৎ,

মোট ভরবেগ সংরক্ষিত মানে এই নয় যে প্রত্যেক বস্তুর ভরবেগ আলাদাভাবে অপরিবর্তিত। তাদের ভেক্টর যোগফল অপরিবর্তিত।

দুই বা তিন মাত্রায় কীভাবে হিসাব করবে?

ভরবেগ যেহেতু ভেক্টর, তাই প্রতিটি দিকের উপাংশ আলাদা করে সংরক্ষিত হবে:

দুই বস্তুর ক্ষেত্রে,

দরকার হলে একইভাবে $z$-দিকের সমীকরণও লিখবে।

এই জন্য সংঘর্ষের অঙ্কে প্রথমেই একটা কাজ খুব জরুরি: কোন কোন বস্তু নিয়ে ব্যবস্থা তৈরি করছো, আর কোন দিকে অক্ষ ধরছো, সেটা ঠিক করা।

উদাহরণ ৬.৩: দুই স্কেটার একে অপরকে ঠেলে সরে গেল

ফ্রেডের ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা $75\,\mathrm{kg}$, জিঞ্জারের ভর $55\,\mathrm{kg}$। তারা বরফের ওপর পাশাপাশি $3.2\,\mathrm{m/s}$ বেগে সামনে যাচ্ছিল। এবার তারা একে অপরকে আগের গতির লম্ব দিকে ঠেলে দিল। ফলে জিঞ্জার আগের দিকের সঙ্গে $32^\circ$ কোণ করে চলতে লাগল। ফ্রেড কোন দিকে যাবে?

আগের চলার দিককে ধনাত্মক $x$ ধরি। ঠেলার বল $y$ বরাবর, তাই $x$-ভরবেগ বদলায় না।

জিঞ্জারের নতুন দিক থেকে তার $y$-ভরবেগ,

শুরুতে মোট $y$-ভরবেগ ছিল শূন্য। তাই শেষে ফ্রেডের $y$-ভরবেগ হতে হবে

ফ্রেডের বিচ্যুতির কোণ,

সুতরাং,

অর্থাৎ ফ্রেড আগের গতির দিক থেকে প্রায় $25^\circ$ নিচের দিকে সরে যাবে। জিঞ্জার ওপরে, ফ্রেড নিচে-দুজনের $y$-ভরবেগের যোগফল কিন্তু শূন্যই রইল।

উদাহরণ ৬.৪: দৌড়ে নৌকায় লাফ দিলে নৌকার বেগ কত হবে?

ধরো, $65\,\mathrm{kg}$ ভরের একজন মানুষ $4.9\,\mathrm{m/s}$ বেগে দৌড়ে একটা নৌকায় লাফ দিল। নৌকাটির ভর $88\,\mathrm{kg}$ এবং সেটি আগে থেকেই একই দিকে $1.2\,\mathrm{m/s}$ বেগে যাচ্ছিল। লোকটি বসার পরে নৌকা ও মানুষ একসঙ্গে কত বেগে চলবে?

এই ছোট সংঘর্ষের সময় অনুভূমিক বাহ্যিক বল উপেক্ষা করি। লোকটি নৌকায় ওঠার আগে মোট ভরবেগ,

লোকটি নৌকায় বসে যাওয়ার পরে দুজনের বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর একই $v_f$। তখন,

সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী,

অতএব,

ভাবো তো, নৌকার বেগ আগে ছিল মাত্র $1.2\,\mathrm{m/s}$। দ্রুত দৌড়ানো মানুষটি নৌকায় লাফ দেওয়ায় নৌকার বেগ বেড়ে গেল। কিন্তু মানুষের বেগ কমল। মোট ভরবেগ একই রইল।

কখন ভরবেগ সংরক্ষণ সূত্র ব্যবহার করবে?

সংঘর্ষের সময় বাহ্যিক বলের ঘাতবিস্তারিত জানতে দেখো:৬.৩ ঘাত ও ভরবেগ যদি সংঘর্ষের অভ্যন্তরীণ বলগুলোর ঘাতের তুলনায় নগণ্য হয়, তাহলে খুব ভালো আনুমানিক ফল পাওয়া যায়। আর সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন ব্যবস্থায় সূত্রটি ঠিকভাবে প্রযোজ্য।

এটি শুধু দুটি বস্তুর জন্য নয়, অনেক বস্তুর জন্যও সত্য। যে কোনো জড় প্রসঙ্গ কাঠামোয় মোট ভরবেগ সংরক্ষিত থাকবে, যদিও ভিন্ন পর্যবেক্ষক আলাদা বেগ ও ভরবেগ মাপতে পারে।

মজার বিষয় হলো, এই সূত্রের সাহায্যে আমরা সংঘর্ষের মাঝখানে ঠিক কী বল কাজ করেছিল তা না জেনেও অনেক প্রশ্নের উত্তর বের করতে পারি। এখন দেখা যাক, বিভিন্ন ধরনের দুই-বস্তুর সংঘর্ষে এটি কীভাবে ব্যবহার করতে হয়।