৩.৮: একমাত্রিক গতিতে নিউটনের সূত্রের প্রয়োগ

Applications of Newton’s Laws in One Dimension

মনেকরো, কাটুশ এবার তার গবেষণাগারের সামনে দুটো বাক্স পাশাপাশি রেখে দাঁড়িয়েছে। সে পেছনের বাক্সটাকে ঠেলা দিতেই সামনের বাক্সটাও চলতে শুরু করলো।

এখন প্রশ্ন হচ্ছে, কাটুশ তো সরাসরি সামনের বাক্সে হাত দেয়নি! তাহলে সামনের বাক্সটা কীভাবে ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর পাচ্ছে? আর দুটো বাক্সের ত্বরণ কি সমান হবে?

এই ধরনের সমস্যায় নিউটনের তিনটি সূত্রই একসঙ্গে ব্যবহার করতে হয়। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ হলো, প্রতিটি বস্তুকে আলাদা করে দেখতে হবে। কারণ একটা বল প্রথম বাক্সের ওপর কাজ করতে পারে, কিন্তু দ্বিতীয় বাক্সের ওপর নাও করতে পারে।

প্রথমে সমস্যা সমাধানের নিয়মটা দেখে নিই

যখন একাধিক বস্তুর গতি হিসাব করবো, তখন এভাবে এগোলে ভুলের সম্ভাবনা কমে:

1. কোন দিকে বস্তুগুলো চলবে, সেই দিকে একটা ধনাত্মক অক্ষ ঠিক করো।
2. প্রতিটি বস্তুর জন্য আলাদা Free-Body Diagram আঁকো।
3. প্রতিটি বস্তুর ওপর কোন বস্তু কী বল দিচ্ছে, সেটা চিহ্নিত করো।
4. প্রতিটি বস্তুর জন্য আলাদা করে $\sum F_x=ma_x$ লিখো।
5. যদি বস্তুগুলো শক্তভাবে একসঙ্গে চলে, তাদের ত্বরণ সমান ধরে সমীকরণগুলো মিলিয়ে সমাধান করো।

বইয়ের এই অংশে হিসাব সহজ করার জন্য কিছু আদর্শ শর্ত ধরা হয়েছে। যেমন, বাক্সকে কণা ধরা, দড়ির ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা উপেক্ষা করা, আর দড়ি প্রসারিত হয় না বলে ধরা। এগুলো বাস্তব জগতে পুরোপুরি সত্য নয়, কিন্তু মূল নিয়মগুলো শিখতে খুব সাহায্য করে।

উদাহরণ ৩-৪: একসঙ্গে দুইটা বাক্স ঠেলা

ধরো, কাটুশ $4.2\,\mathrm{kg}$ ভরের একটা বাক্স ঠেলছে। তার সামনে আরেকটা $1.4\,\mathrm{kg}$ ভরের বাক্স আছে। মেঝের সঙ্গে ঘর্ষণ নেই ধরে নিলাম। কাটুশ প্রথম বাক্সের ওপর $3.0\,\mathrm N$ বল প্রয়োগ করছে।

প্রশ্ন হচ্ছে, বাক্স দুটোর ত্বরণ কত? আর প্রথম বাক্স দ্বিতীয় বাক্সটাকে কত বলে ঠেলছে?

প্রথম বাক্সের ভর $m_1=4.2\,\mathrm{kg}$, দ্বিতীয়টির $m_2=1.4\,\mathrm{kg}$।

দ্বিতীয় বাক্সকে প্রথম বাক্স ডানদিকে $F_{21}$ বল দিয়ে ঠেলে। নিউটনের তৃতীয় সূত্র অনুযায়ী দ্বিতীয় বাক্সও প্রথমটাকে সমান মানের $F_{12}$ বল দিয়ে বাঁদিকে ঠেলে,

এখানে চিহ্ন ব্যবহারের নিয়ম খেয়াল করো: $F_{21}$ মানে বস্তু ১-এর দ্বারা বস্তু ২-এর ওপর বল, আর $F_{12}$ হলো বস্তু ২-এর দ্বারা বস্তু ১-এর ওপর বল।

প্রথম বাক্সের জন্য,

দ্বিতীয় বাক্সের জন্য,

যেহেতু বাক্স দুটো সবসময় সংস্পর্শে থেকে একসঙ্গে চলছে, তাদের ত্বরণ সমান, অর্থাৎ $a_1=a_2=a$। এখন সমীকরণ দুটো যোগ করি,

তৃতীয় সূত্র থেকে $F_{12}=F_{21}$। ফলে সংস্পর্শ বল দুটো যোগ করার পর বাদ পড়ে যাবে। তবে খেয়াল করো, এগুলো একই বস্তুর FBD-তে বাতিল হয়নি; দুটি বস্তুকে একটি সম্পূর্ণ সিস্টেম হিসেবে নিয়ে সমীকরণ যোগ করায় অভ্যন্তরীণ বলের প্রভাব বাদ পড়েছে।

তাহলে,

এবার দ্বিতীয় বাক্সের বল বের করা খুব সহজ,

অর্থাৎ দুই বাক্সের ত্বরণ প্রায় $0.54\,\mathrm{m/s^2}$, আর প্রথম বাক্স দ্বিতীয়টাকে $0.76\,\mathrm N$ বল দিয়ে ঠেলছে।

এটা কি অদ্ভুত লাগছে? কাটুশ প্রথম বাক্সে $3.0\,\mathrm N$ বল দিচ্ছে, অথচ প্রথম বাক্স দ্বিতীয়টাকে দিচ্ছে মাত্র $0.76\,\mathrm N$! আসলে কাটুশের বল পুরো দুই বাক্সকে ত্বরণ দিচ্ছে, কিন্তু $0.76\,\mathrm N$ বলটা শুধু দ্বিতীয় বাক্সের ত্বরণ ঘটানোর জন্য যথেষ্ট।

বইয়ের চিত্র ৩-১৭-এ প্রতিটি বাক্সের FBD আলাদাভাবে আঁকা আছে।

এখানে মূল কৌশল

দুই বাক্সের নিট বল একসঙ্গে নিয়ে সম্পূর্ণ সিস্টেমের ত্বরণ বের করা সহজ। কিন্তু বাক্স দুটোর মধ্যে সংস্পর্শ বল জানতে চাইলে আবার একটি বাক্সকে আলাদা করে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র প্রয়োগ করতে হবে।

উদাহরণ ৩-৫: চলন্ত ট্রলির ওপর একটা বাক্স

এবার কাটুশ একটা চাকা লাগানো ট্রলির ওপর একটা বাক্স রাখলো। ট্রলিটার ভর $360\,\mathrm{kg}$, আর বাক্সটার ভর $150\,\mathrm{kg}$। ট্রলির চাকায় ঘর্ষণ নেই বললেই চলে, কিন্তু বাক্স আর ট্রলির মধ্যে কিছুটা ঘর্ষণ আছে।

কাটুশ দড়ি দিয়ে শুধু ওপরের বাক্সটাকে সামনের দিকে টানতে শুরু করলো। অবাক ব্যাপার, বাক্সটা ট্রলির ওপর দিয়ে পিছলে সামনে এগোচ্ছে, অথচ ট্রলিটাও ধীরে ধীরে সামনের দিকে ছুটতে শুরু করেছে!

এখন কাটুশের প্রশ্ন, ট্রলিটাকে তো সে সরাসরি টানছে না। তাহলে ট্রলিটা চলছে কেন?

একটু খেয়াল করো। ওপরের বাক্সটা ট্রলির তুলনায় সামনে পিছলাচ্ছে। তাই ট্রলি বাক্সটাকে ঘর্ষণ বলবিস্তারিত জানতে দেখো:সংরক্ষণশীল বল দিয়ে পেছনে টেনে ধরে। নিউটনের তৃতীয় সূত্র অনুযায়ী বাক্সও ট্রলিটাকে সমান মানের ঘর্ষণ বল দিয়ে সামনে টানে। এই ঘর্ষণ বলটাই ট্রলির ত্বরণের কারণ।

পরীক্ষা করে দেখা গেল,

এখানে $B$ দিয়ে বাক্স (Box) আর $C$ দিয়ে ট্রলি (Cart) বোঝানো হচ্ছে। আমাদের বের করতে হবে, বাক্স আর ট্রলির মাঝখানে ঘর্ষণ বল কত এবং কাটুশ বাক্সটাকে কত বল দিয়ে টানছে।

প্রথম ধাপ: ট্রলির ওপর বল

শুরুতে ট্রলিটাকেই আলাদা করে দেখি। অনুভূমিক দিকে তার ওপর কাজ করছে শুধু বাক্সের দেওয়া ঘর্ষণ বল। এর মান $f_{CB}$ ধরলাম। তাই নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র থেকে,

মানগুলো বসিয়ে পাই,

অর্থাৎ বাক্সটা ট্রলিটাকে প্রায় $60\,\mathrm N$ ঘর্ষণ বল দিয়ে সামনের দিকে টানছে।

দ্বিতীয় ধাপ: বাক্সের ওপর বল

এবার ওপরের বাক্সটার কথা ভাবো। সেটার ওপর অনুভূমিক দিকে দুটো বল কাজ করছে। কাটুশের টান $F_{BW}$ সামনে, আর ট্রলির দেওয়া ঘর্ষণ বল $f_{BC}$ পেছনে। ফলে,

তৃতীয় সূত্র অনুযায়ী ঘর্ষণ বল দুটোর মান সমান,

সুতরাং,

তাহলে উত্তর পাওয়া গেল। ঘর্ষণ বল $60\,\mathrm N$ আর কাটুশের টান $210\,\mathrm N$।

এখন একটা মজার বিষয় খেয়াল করো। আমরা সাধারণত বলি, ঘর্ষণ গতির বিরোধিতা করে। অথচ এখানে ঘর্ষণই ট্রলিটাকে সামনে চালাচ্ছে! আসলে ঘর্ষণ সবসময় সংস্পর্শে থাকা দুই পৃষ্ঠের আপেক্ষিক পিছলে যাওয়ার বিরোধিতা করে। তাই ঘর্ষণ বল কোনো বস্তুর গতি বাড়াতেও সাহায্য করতে পারে। ঘর্ষণ একেবারে না থাকলে কাটুশ বাক্সটাকে টানতে পারতো, কিন্তু ট্রলিটা সামনের দিকে ত্বরণ পেতো না।

বইয়ের চিত্র ৩-১৮-তে বাক্স ও ট্রলির আলাদা Free-Body Diagram দেখানো আছে।

একটু মনে রেখো

একটা বস্তুর ওপর ঘর্ষণ বল পেছনের দিকে কাজ করছে মানেই অন্য বস্তুর ওপরও ঘর্ষণ পেছনের দিকে কাজ করবে, এমন নয়। তৃতীয় সূত্রের জোড়া বল দুটো সবসময় আলাদা বস্তুর ওপর বিপরীত দিকে কাজ করে।

উদাহরণ ৩-৬: বাক্সটা আর পিছলাচ্ছে না!

কাটুশ এবার ভাবলো, বাক্সটা যদি ট্রলির ওপর না পিছলায়, তাহলে কী হবে?

মনেকরো, বাক্স আর ট্রলির মধ্যকার ঘর্ষণ এবার এতটাই বেশি যে দুটো একসঙ্গে চলতে পারছে। কাটুশ আগের মতোই বাক্সটাকে $210\,\mathrm N$ বলে টানছে। অর্থাৎ এবার বাক্স ও ট্রলির ত্বরণ সমান।

আমাদের জানতে হবে, এ অবস্থায় বাক্সটা ট্রলির ওপর কত ঘর্ষণ বল প্রয়োগ করছে।

প্রথমে ভরগুলো লিখে নিই,

ট্রলির ওপর ঘর্ষণ বলের মান $f$ ধরলে,

আর বাক্সের জন্য,

এবার দুই সমীকরণ যোগ করি,

তাহলে পুরো সিস্টেমের ত্বরণ,

এখন ট্রলির জন্য আগের সমীকরণে এই ত্বরণ বসিয়ে দিই,

অর্থাৎ দুটো বস্তু একসঙ্গে চলার সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড সংস্পর্শে ঘর্ষণ বল প্রায় $150\,\mathrm N$। বইয়ের মতো দুইটি সার্থক অঙ্কে উত্তরটা লিখলাম।

খেয়াল করো, আগের উদাহরণে বাক্স পিছলাচ্ছিল, আর ঘর্ষণ ছিল প্রায় $60\,\mathrm N$। এবার পিছলাচ্ছে না, অথচ ঘর্ষণ বল বেড়ে প্রায় $150\,\mathrm N$ হয়েছে। কারণ এবার ট্রলি ও বাক্সের আপেক্ষিক গতিবিস্তারিত জানতে দেখো:আপেক্ষিক গতি হতে দেওয়া হচ্ছে না-ঘর্ষণ বল ঠিক যতটা দরকার, ততটাই কাজ করছে, যতক্ষণ তার সর্বোচ্চ স্থিতি-ঘর্ষণের সীমা অতিক্রম না করে।

একসঙ্গে চলা বনাম পিছলে চলা

দুটি সংস্পর্শে থাকা বস্তু যদি পিছলে চলে, তাদের ত্বরণ আলাদা হতে পারে। কিন্তু কোনো পিছলানো ছাড়া একই দিকে একসঙ্গে চললে, এই সমস্যার মতো তাদের অনুভূমিক ত্বরণ সমান হয়। তাই প্রথমে কোনো আপেক্ষিক গতি হচ্ছে কি না সেটা বোঝা খুব জরুরি।

উদাহরণ ৩-৭: লিফটের ভেতর দাঁড়ালে ওজন বদলে যায় কেন?

এবার কাটুশ মঙ্গলগ্রহের গবেষণাগারে একটা লিফটে উঠলো। লিফটের মেঝেতে রাখা একটা ওজনবিস্তারিত জানতে দেখো:ওজন, ভর ও ওজনহীনতা মাপার স্কেলের ওপর দাঁড়িয়ে আছে সে। লিফটটা কখনো ওপরে যাচ্ছে, কখনো নিচে।

কাটুশ লক্ষ করলো, লিফট হঠাৎ ওপরে উঠতে শুরু করলে স্কেলের ওপর পায়ের চাপ যেন বেড়ে যায়। আবার নিচের দিকে ত্বরণ পেলে চাপটা কমে যায়।

কিন্তু তাই বলে কি কাটুশের ভর বদলে যাচ্ছে? না। এমনকি পৃথিবীর মতো কোনো নির্দিষ্ট স্থানে তার ওপর মহাকর্ষীয় বলও লিফটের এই ত্বরণের কারণে বদলায় না। তাহলে স্কেলের পাঠ কেন পাল্টাচ্ছে?

বইয়ের উদাহরণে একজন যাত্রীর ভর ধরা হয়েছে $72.2\,\mathrm{kg}$ এবং তাকে পৃথিবীর একটি লিফটে দাঁড় করানো হয়েছে। $g=9.80\,\mathrm{m/s^2}$ ধরে হিসাব করবো। অর্থাৎ কাটুশের গল্প দিয়ে শুরু করলেও নিচের সংখ্যাগুলো বইয়ের পৃথিবীর উদাহরণের।

প্রথমে যাত্রীর ওপর বলগুলো দেখি

যাত্রীটির ওপর উল্লম্ব দিকে দুটি বল কাজ করছে। পৃথিবী তাকে নিচের দিকে টানছে $W=mg$ বল দিয়ে, আর স্কেল তাকে ওপরের দিকে ঠেলে ধরে $F_{PS}$ বল দিয়ে। এখানে $F_{PS}$ হচ্ছে স্কেলের দ্বারা যাত্রীর ওপর প্রয়োগ করা বল।

ওপরের দিককে ধনাত্মক $y$-অক্ষ ধরে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র লিখি,

অর্থাৎ,

সেখান থেকে,

এই সমীকরণটা বেশ গুরুত্বপূর্ণ। স্কেল আসলে তার ওপর যাত্রী কত চাপ দিচ্ছে, তার সমান বিপরীত Normal Forceবিস্তারিত জানতে দেখো:৫.২ টান ও অভিলম্ব বল বা লম্ব প্রতিক্রিয়ার মান থেকে পাঠ দেখাচ্ছে। অনেক স্কেলে সেটা নিউটনের বদলে কিলোগ্রামবিস্তারিত জানতে দেখো:ভরের মানদণ্ড হিসেবে দেখানো হয়, ধরে নেওয়া হয় পৃথিবীর স্বাভাবিক $g$।

(ক) লিফট সমবেগে নিচে নামছে

ধরো, লিফটটা নিচের দিকে চলছে ঠিকই, কিন্তু তার বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর বদলাচ্ছে না। অর্থাৎ,

তাহলে,

স্কেলের বলের পাঠ $708\,\mathrm N$। কিলোগ্রামে ক্যালিব্রেট করা সাধারণ স্কেলে এটি প্রায় $72.2\,\mathrm{kg}$ হিসেবে দেখা যাবে। লিফট স্থির থাকলেও একই পাঠ পাওয়া যেতো।

একটু খেয়াল করো, লিফট নিচের দিকে যাচ্ছে কি না সেটা এখানে গুরুত্বপূর্ণ নয়। ত্বরণ শূন্য কি না, সেটাই আসল কথা।

(খ) লিফট ওপরের দিকে $3.20\,\mathrm{m/s^2}$ ত্বরণে উঠছে

এবার লিফটটা ওপরের দিকে ত্বরণ পাচ্ছে। তাই,

সুতরাং,

এইবার স্কেলের পাঠ $939\,\mathrm N$। অর্থাৎ লিফট ত্বরণে ওপরে উঠলে স্কেল আগের চেয়ে বেশি বল দেখাবে। কিলোগ্রাম দেখানো স্কেলে প্রায় $95.8\,\mathrm{kg}$ লেখা উঠতে পারে, যদিও যাত্রীর আসল ভর তখনও $72.2\,\mathrm{kg}$।

বইয়ের চিত্র ৩-১৯-তে যাত্রী ও স্কেলের Free-Body Diagram দেখানো আছে।

এবার উল্টো প্রশ্ন

ধরো, লিফট ওপরে উঠছে, কিন্তু আস্তে আস্তে থেমে যাচ্ছে। তার বেগ ওপরে হলেও ত্বরণ নিচের দিকে, অর্থাৎ $a_y<0$। তখন,

ফলে স্কেল এবার কম পাঠ দেখাবে। আবার লিফট যদি আদর্শভাবে মুক্তপতনে থাকে, তাহলে $a_y=-g$। সেক্ষেত্রে,

এই অবস্থাতেই যাত্রীর আপাত ওজনবিস্তারিত জানতে দেখো:ওজন, ভর ও ওজনহীনতা শূন্য মনে হবে। তবে তার ভর বা পৃথিবীর মহাকর্ষীয় আকর্ষণ হঠাৎ উধাও হয়ে যায়নি। ওজন আর আপাত ওজনের পার্থক্য আমরা আগের পরিচ্ছেদেই আলোচনা করেছি।

যে ভুলটা প্রায়ই হয়

লিফট ওপরে যাচ্ছে মানেই স্কেল বেশি দেখাবে, এটা ঠিক নয়। লিফট ওপরে চলেও ধীরে ধীরে থামতে পারে। তখন ত্বরণ নিচের দিকে হবে, আর স্কেল কম পাঠ দেখাবে। বেগের দিক আর ত্বরণের দিক আলাদা করে ভাবো।

এবার পুরো অধ্যায়টা মিলিয়ে দেখি

প্রথম অধ্যায়ে আমরা পরিমাপের এককবিস্তারিত জানতে দেখো:ভৌত রাশি, মানদণ্ড এবং একক শিখেছিলাম। দ্বিতীয় অধ্যায়ে দেখেছিলাম, একটা বস্তু কোথায় আছে, কত বেগে চলছে আর তার ত্বরণ কত। আর এই অধ্যায়ে এসে বুঝলাম, বস্তুর বেগ কেন বদলায়, সেই পরিবর্তনের সঙ্গে বল ও ভরের সম্পর্ক কী।

নিউটনের প্রথম সূত্র বললো, নিট বলবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র শূন্য হলে বস্তু স্থির থাকবে অথবা সমবেগে সরলরেখায় চলবে। দ্বিতীয় সূত্র বললো, নিট বল থাকলে তার ফলে কত ত্বরণ হবে। আর তৃতীয় সূত্র আমাদের শেখালো, একটা বস্তু অন্যটাকে বল দিলে অন্যটাও প্রথমটার ওপর সমান ও বিপরীত বল দেয়।

সেই সূত্রগুলো প্রয়োগ করার সময় কাটুশের জন্য সবচেয়ে ভালো অভ্যাস হলো-প্রথমে বস্তুগুলোকে আলাদা করে আঁকা, কে কার ওপর বল দিচ্ছে সেটা চিহ্নিত করা, তারপর দরকারমতো সমীকরণগুলো একসঙ্গে সমাধান করা। তাহলেই দুই বাক্স, ট্রলি কিংবা লিফট-সব সমস্যার মধ্যে একই নিয়ম খুঁজে পাবে।