অধ্যায় ১২: স্থিতিশক্তি

১২-৩: যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ

Conservation of Mechanical Energy

মনেকরো, একটা ঘর্ষণহীন তলের উপর স্প্রিংয়ের সঙ্গে একটা ব্লক লাগানো আছে। তুমি স্প্রিংটা চেপে রেখে হঠাৎ ছেড়ে দিলে। শুরুতে ব্লকটি স্থির, তাই তার গতিশক্তি শূন্য। কিন্তু স্প্রিংয়ে স্থিতিশক্তিবিস্তারিত জানতে দেখো:স্থিতিশক্তি জমা আছে। ছেড়ে দেওয়ার পর ব্লকটি যতই স্বাভাবিক অবস্থানের দিকে এগোয়, ততই দ্রুত চলতে থাকে। অর্থাৎ, স্প্রিংয়ের স্থিতিশক্তি কমছে আর ব্লকের গতিশক্তি বাড়ছে। শক্তিটা হারিয়ে যাচ্ছে না; এক রূপ থেকে আরেক রূপে পরিবর্তিত হচ্ছে।

এখানে আমরা একটি বিচ্ছিন্ন সিস্টেমবিস্তারিত জানতে দেখো:৬.৪ ভরবেগের সংরক্ষণ (Isolated System) বিবেচনা করছি। এই অধ্যায়ের আলোচনায় বিচ্ছিন্ন সিস্টেম বলতে এমন সিস্টেম বোঝাচ্ছি, যেখানে বাইরের কোনো বল কাজ করছে না; বাইরের বল থাকলেও যদি তার করা কাজ শূন্য হয়, সেটিও এই শর্ত পূরণ করে। সিস্টেমের ভেতরের অংশগুলো অবশ্য পরস্পরের উপর বল প্রয়োগ করে কাজ করতে পারে। সেই অভ্যন্তরীণ বলগুলো সংরক্ষণশীল হলে আমরা তাদের জন্য স্থিতিশক্তি সংজ্ঞায়িত করতে পারি।

আগের অধ্যায়ের কাজ-গতিশক্তি উপপাদ্য থেকে জানো,

আবার স্থিতিশক্তির সংজ্ঞা থেকে,

দুই সমীকরণ যোগ করলে,

অর্থাৎ, গতিশক্তি যত বাড়বে, স্থিতিশক্তি ঠিক তত কমবে। একাধিক বস্তু থাকলে $K$ এবং $U$-এর জায়গায় পুরো সিস্টেমের মোট শক্তি বুঝতে হবে। এবার যান্ত্রিক শক্তি (Mechanical Energy)-কে সংজ্ঞায়িত করি,

তাহলে,

অথবা,

এই হলো যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সূত্র: কোনো বিচ্ছিন্ন সিস্টেমে শুধু সংরক্ষণশীল বল কাজ করলে তার মোট যান্ত্রিক শক্তি অপরিবর্তিত থাকে।

মনে রেখো, ঘর্ষণের মতো অসংরক্ষণশীল বলবিস্তারিত জানতে দেখো:সংরক্ষণশীল বল উল্লেখযোগ্য কাজ করলে যান্ত্রিক শক্তি আর অপরিবর্তিত থাকে না। তবে তাতে মোট শক্তি নষ্ট হয় এমন নয়; শক্তির অন্য রূপ, যেমন তাপীয় শক্তি, তৈরি হতে পারে। এই বিষয়টি পরের অধ্যায়ের আলোচনার অংশ।

স্প্রিংয়ের দোলনে শক্তি কীভাবে বদলায়?

স্প্রিংয়ের সঙ্গে যুক্ত ব্লকটির কোনো মুহূর্তে অবস্থান $x$ আর বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর $v$ হলে,

ব্লকটি যখন সর্বোচ্চ প্রসারিত বা সংকুচিত অবস্থানে থাকে, অর্থাৎ $x=\pm x_m$, তখন ক্ষণিকের জন্য $v=0$। তাই পুরো শক্তিই স্থিতিশক্তি,

আর ব্লকটি যখন স্প্রিংয়ের স্বাভাবিক অবস্থান $x=0$ দিয়ে যায়, তখন $U=0$ এবং বেগ সর্বোচ্চ $v_m$। তখন,

সুতরাং,

বইয়ের চিত্র ১২-৫-এ দোলনের বিভিন্ন অবস্থানে কখন গতিশক্তি বেশি, কখন স্থিতিশক্তি বেশি এবং কখন দুই ধরনের শক্তি সমান, সেটা দেখানো হয়েছে।

উপরে ছুড়ে দেওয়া বলের শক্তি

এবার আগের ছুড়ে দেওয়া বলটির কথায় ফিরে আসো। বলটির ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা $m$, প্রাথমিক বেগ $v_0$। ছোড়ার অবস্থানে $U=0$ নিলে,

বলটি যখন $y$ উচ্চতায় উঠেছে এবং তখন তার বেগ $v$, তখন,

সর্বোচ্চ উচ্চতা $h$-তে বেগ শূন্য হলে,

অর্থাৎ,

— প্রতিটি অভিব্যক্তি আলাদা অবস্থানের জন্য, কিন্তু মোট শক্তি একই। এখানে বাতাসের বাধাবিস্তারিত জানতে দেখো:বাতাসের বাধা ও প্রক্ষেপণের গতি উপেক্ষা করছি।

উদাহরণ ১২-৩। স্প্রিং দিয়ে বল ছুড়ে দিলে বেগ কত হবে?

একটা Spring Gun-এর স্প্রিংকে $3.2\,\mathrm{cm}$ চেপে রাখা হয়েছে। এর সামনে $12\,\mathrm{g}$ ভরের একটা বল আছে। স্প্রিংয়ের বলধ্রুবক $7.5\,\mathrm{N/cm}$। ঘর্ষণ নেই এবং নলটি অনুভূমিক। ছেড়ে দিলে বলটি কত বেগে বের হবে?

প্রথমে এককগুলো SI-তে লিখি,

শুরুতে বলটি স্থির, তাই $K_i=0$ আর স্প্রিংয়ে $U_i=\frac12 kd^2$। স্প্রিং স্বাভাবিক দৈর্ঘ্যে ফিরলে বলটি সর্বোচ্চ বেগে চলবে, তখন $U_f=0$। সুতরাং,

এখান থেকে,

দেখো, এখানে আলাদা করে স্প্রিংয়ের বলবিস্তারিত জানতে দেখো:সংরক্ষণশীল বল, ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর আর সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড হিসাব করতে হলো না। শুধু শক্তির হিসাব করেই বেগ বের করে ফেললাম।

উদাহরণ ১২-৪। রোলার কোস্টার নিচে নামলে কত বেগ পায়?

ধরো, তুমি রোলার কোস্টারে বসে $25\,\mathrm{m}$ উঁচু একটা জায়গায় উঠে গিয়েছো। গাড়িটি সেখান থেকে প্রায় স্থির অবস্থা থেকে নামতে শুরু করলো। ঘর্ষণ উপেক্ষা করলে নিচে পৌঁছানোর সময় এর বেগ কত হবে? (চিত্র ১২-৬)

নিচের অবস্থানকে $y=0$ ধরে, উপরে $K_i=0$ ও $U_i=mgh$; নিচে $U_f=0$ ও $K_f=\frac12 mv^2$। তাই,

দুই পাশ থেকে $m$ কেটে দিয়ে,

লক্ষ্য করো, গাড়িতে কতজন যাত্রী আছে বা গাড়ির ভর কত, কোনোটিই উত্তরে আসেনি। একই উচ্চতা থেকে সরাসরি পড়ে গেলেও ঘর্ষণহীন অবস্থায় একই বেগ পাওয়া যেত। ট্র্যাকের নরমাল বল গাড়ির চলার দিক বদলায়, কিন্তু চলার পথে সরণের সঙ্গে লম্ব থাকায় কাজ করে না।

আরও মজার ব্যাপার হলো, ট্র্যাকটা কত বাঁকানো বা নিচে নেমে আবার কতটা উপরে উঠেছে, শুধু নিচের একটি অবস্থানে বেগ বের করতে সেগুলো জানার প্রয়োজন হলো না। তবে কোন জায়গায় কত সময় লাগবে জানতে চাইলে গতির আরও বিস্তারিত বিশ্লেষণ করতে হবে।

একই সমস্যার সমাধানে নিউটনের সূত্র আর শক্তির সূত্র

শক্তির সংরক্ষণ সূত্র কিন্তু নিউটনের গতিসূত্রের কোনো বিকল্প পদার্থবিজ্ঞান নয়। কাজ-গতিশক্তি উপপাদ্য নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র থেকেই পাওয়া যায়। তাই একই শর্তের অধীনে দুই পদ্ধতির উত্তরও একই হবে। পার্থক্য হলো, শক্তির পদ্ধতি অনেক সময় খুব অল্প হিসাবেই শুরু আর শেষ অবস্থার মধ্যে সম্পর্ক বলে দেয়।

উদাহরণ ১২-৫। অ্যাটউডের যন্ত্র (Atwood’s Machine)

একটি আদর্শ, ভরহীন দড়ি ও ঘর্ষণহীন পুলির দুই পাশে $m_1$ ও $m_2$ ভরের দুটি ব্লক ঝুলছে। ধরো $m_2>m_1$। দুই ব্লক একই উচ্চতা থেকে স্থির অবস্থা ছেড়ে চলা শুরু করলো। কিছুক্ষণ পরে $m_1$ উপরে $y$ দূরত্ব উঠলো, আর $m_2$ নিচে $y$ দূরত্ব নামলো। তখন উভয়ের বেগের মান $v$।

শুরুর অবস্থানে $E_i=0$ ধরতে পারি। শেষ অবস্থানে দুই ব্লকের মোট গতিশক্তি,

আর মোট স্থিতিশক্তির পরিবর্তন,

শক্তি সংরক্ষণ থেকে,

সুতরাং,

এবার $v^2=2ay$ সম্পর্ক ব্যবহার করলে (ত্বরণ ধ্রুব),

আগের অধ্যায়ে ব্লক দুটির উপর বল বসিয়ে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র থেকে যে ফল পেয়েছিলে, এখানেও ঠিক সেটাই পাওয়া গেল।

উদাহরণ ১২-৬। টেবিলের ব্লক আর ঝুলন্ত ব্লক

এবার একটা $m_1$ ভরের ব্লক ঘর্ষণহীন টেবিলের উপর, আর দড়ি-পুলির মাধ্যমে তার সঙ্গে যুক্ত $m_2$ ভরের ব্লক টেবিলের পাশে ঝুলছে। শুরুতে দুই ব্লকই স্থির। ঝুলন্ত ব্লকটি $L$ নিচে নামলে দুই ব্লকের বেগ $v$ হবে। টেবিলের ব্লকটির উচ্চতা বদলায়নি, তাই তার স্থিতিশক্তিও বদলায়নি।

দুই ব্লকের মোট গতিশক্তির বৃদ্ধি,

আর স্থিতিশক্তির পরিবর্তন,

এখন $\Delta K+\Delta U=0$ বসিয়ে পাই,

এই ফলকে $v^2=2aL$-এর সঙ্গে তুলনা করলে $a=m_2g/(m_1+m_2)$-ও পাওয়া যায়।