⚛ Science in Minutes

৯.১ টর্ক (Torque)

একই জোরে দরজা ঠেলেও কখনো খোলে, কখনো খোলে না কেন?

ধরো, তুমি ঘরের একটা দরজা খুলতে যাচ্ছো। প্রথমে কবজার (hinge) ঠিক পাশে হাত রেখে ঠেলা দিলে। দরজাটা প্রায় নড়লই না! এবার হাতটা সরিয়ে দরজার একেবারে বাইরের দিকে, হাতলের কাছে, একই জোরে ঠেললে-দরজা অনায়াসে খুলে গেল।

একই বল প্রয়োগ করলে ফল দুটো আলাদা হলো কেন?

আরেকবার চেষ্টা করো। হাতলের জায়গাতেই হাত রাখলে, কিন্তু দরজাটাকে এমনভাবে ঠেললে যেন বলটা কবজার দিক বরাবর যায়। এবারও খুব একটা ঘুরবে না। অর্থাৎ শুধু কত জোরে ঠেলছো তা জানলেই হবে না। কোথায় এবং কোন দিকে ঠেলছো, সেটাও জানতে হবে।

এই তিনটি বিষয়কে একসঙ্গে ধরার জন্য আমাদের নতুন রাশি-টর্ক (torque)। সরলরেখায় গতির জন্য বল যেমন গুরুত্বপূর্ণ, ঘূর্ণনের জন্য টর্ক তেমন গুরুত্বপূর্ণ।

টর্ক বলতে ঠিক কী বুঝি?

ধরো, একটা বস্তু স্থির zz-অক্ষের চারপাশে ঘুরতে পারে। অক্ষ থেকে rr দূরের PP বিন্দুতে FF বল প্রয়োগ করা হলো। অবস্থান ভেক্টর r⃗\vec r আর বল F⃗\vec F-এর মধ্যবর্তী কোণ ϕ\phi।

বলটাকে দুই ভাগে ভাঙতে পারি:

  • রেডিয়াল উপাংশ FR=Fcos⁡ϕF_R=F\cos\phi: অক্ষের দিকে বা অক্ষ থেকে বাইরে বরাবর, ঘোরানোর কাজে আসে না।
  • স্পর্শকীয় উপাংশ FT=Fsin⁡ϕF_T=F\sin\phi: বৃত্তের স্পর্শক বরাবর, ঘূর্ণন ঘটাতে পারে।

তাই অক্ষের চারপাশে টর্কের মান,

τ=rFsin⁡ϕ=rFT\boxed{\tau=rF\sin\phi=rF_T}

এটাই মূল বইয়ের সমীকরণ (৯-১)।

দেখো, এখানে বল FF-এর সঙ্গে দূরত্ব rr-ও আছে। ফলে একই বল অক্ষ থেকে দূরে প্রয়োগ করলে বেশি টর্ক পাওয়া যায়। এজন্য দরজার হাতল কবজা থেকে দূরে রাখা হয়।

টর্কের SI একক নিউটন-মিটার (N m\mathrm{N\,m})। এককটা কাজের একক জুলের মতো দেখতে হলেও টর্ক আর কাজ এক জিনিস নয়। টর্ক ঘোরানোর প্রবণতা বোঝায়, কাজ শক্তি স্থানান্তর বোঝায়।

কখন টর্ক শূন্য হয়?

সূত্রটা দেখে তিনটি পরিস্থিতি পাওয়া যায়:

  1. r=0r=0-বল অক্ষের উপরেই প্রয়োগ করলে।
  2. F=0F=0-কোনো বলই না থাকলে।
  3. ϕ=0∘\phi=0^\circ বা 180∘180^\circ-বল সরাসরি রেডিয়াল দিকে থাকলে; তখন sin⁡ϕ=0\sin\phi=0।

তাই কবজার পাশে ঠেলে দরজা খোলা কঠিন। কিন্তু সাবধান: টর্ক শূন্য মানে বস্তুর উপর মোট বল শূন্য নয়। বস্তু সরতে পারে; শুধু ওই নির্বাচিত অক্ষকে কেন্দ্র করে বলটি ঘোরাতে পারছে না।

বলবাহু (Moment Arm)-আরেকভাবে টর্ক দেখা

মনেকরো, তুমি কোনো নাটবল্টু খোলার জন্য রেঞ্চ ব্যবহার করছো। রেঞ্চের হাতলে তির্যকভাবে বল দিচ্ছো। পুরো রেঞ্চের দৈর্ঘ্য নয়, আসলে দরকার হচ্ছে বলের ক্রিয়ারেখা (line of action) থেকে ঘূর্ণন অক্ষের লম্ব দূরত্ব। এর নাম বলবাহু বা moment arm, চিহ্ন r⊥r_\perp।

যেহেতু r⊥=rsin⁡ϕr_\perp=r\sin\phi, তাই,

τ=rF⊥=r⊥F\boxed{\tau=rF_\perp=r_\perp F}

দুটি রূপ একই কথা বলছে। কখনো বলকে লম্ব উপাংশে ভাঙা সুবিধাজনক, কখনো বলবাহু হিসাব করা সুবিধাজনক। মূল বইয়ের চিত্র ৯-৩-এ দুই রকম পদ্ধতি দেখানো আছে।

টর্কের দিক-Right-hand rule

এবার ধরো, দরজা একটা সমতলে ঘুরছে। কাউকে যদি জিজ্ঞেস করো, “টর্ক কোন দিকে?”, সে হয়তো বলবে “দরজাটা ডানদিকে ঘুরছে।” কিন্তু টর্ককে ভেক্টর হিসেবে প্রকাশ করতে আমরা ঘূর্ণনের সমতলের লম্ব দিক ব্যবহার করি।

এজন্য লিখি,

τ⃗=r⃗×F⃗\boxed{\vec\tau=\vec r\times\vec F}

এখানে ×\times হচ্ছে ভেক্টর গুণফল (cross product)। ডান হাতের আঙুল r⃗\vec r থেকে F⃗\vec F-এর দিকে বাঁকাও; বুড়ো আঙুল যে দিকে দেখাবে, সেটাই τ⃗\vec\tau-এর দিক।

  • +z+z দিক থেকে দেখলে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরানোর প্রবণতা: τz>0\tau_z>0।
  • ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরানোর প্রবণতা: τz<0\tau_z<0।

একটি সাধারণ অবস্থান ভেক্টর r⃗=xi^+yj^+zk^\vec r=x\hat i+y\hat j+z\hat k আর বল F⃗=Fxi^+Fyj^+Fzk^\vec F=F_x\hat i+F_y\hat j+F_z\hat k হলে,

τ⃗=(yFz−zFy)i^+(zFx−xFz)j^+(xFy−yFx)k^.\vec\tau=(yF_z-zF_y)\hat i+(zF_x-xF_z)\hat j+(xF_y-yF_x)\hat k.

এটা মূল বইয়ের সমীকরণ (৯-৪)। শুধু xyxy-সমতলে বল দিলে সাধারণত আমাদের দরকার হয় τz=xFy−yFx\tau_z=xF_y-yF_x। মনে রেখো, r⃗×F⃗\vec r\times\vec F আর F⃗×r⃗\vec F\times\vec r এক নয়-ক্রম বদলালে দিকও উল্টে যায়।

উদাহরণ ৯.১: দোলকের উপর মহাকর্ষের টর্ক

একটি সরল দোলকের প্রান্তে m=0.17 kgm=0.17\ \mathrm{kg} ভরের বস্তু বাঁধা। ভরহীন শক্ত দণ্ডের দৈর্ঘ্য L=1.25 mL=1.25\ \mathrm{m}। দোলকটাকে উল্লম্ব দিক থেকে 10∘10^\circ সরিয়ে ধরা হলো। পিভটের (pivot) সাপেক্ষে মহাকর্ষের টর্ক কত?

এখানে বল F=mgF=mg, অক্ষ থেকে দূরত্ব r=Lr=L এবং বল ও দণ্ডের মধ্যবর্তী প্রাসঙ্গিক কোণের sine হচ্ছে sin⁡10∘\sin10^\circ। তাই,

τ=Lmgsin⁡10∘=(1.25)(0.17)(9.8)sin⁡10∘≈0.36 N m.\begin{aligned} \tau&=Lmg\sin10^\circ\\ &=(1.25)(0.17)(9.8)\sin10^\circ\\ &\approx\boxed{0.36\ \mathrm{N\,m}}. \end{aligned}

এবার দিকের কথা ভেবে দেখো। দোলক ডানদিকে সরানো থাকলে মহাকর্ষ তাকে বামদিকে, অর্থাৎ সাম্য অবস্থার দিকে ফেরাতে চায়। বামদিকে সরালে টর্ক উল্টো দিকে হয়। উভয় ক্ষেত্রেই মহাকর্ষের টর্ক দোলককে মাঝের অবস্থায় ফিরিয়ে আনতে চায়। মূল বইয়ের চিত্র ৯-৫-এ এই দুই অবস্থাই দেখানো হয়েছে।

একটু ভেবে দেখো

একটা দরজা খোলার সময় হাতল ধরে কবজার দিকে টানলে আর দরজার তলের লম্ব দিকে টানলে কোন ক্ষেত্রে বেশি টর্ক হবে? বলের মান যদি একই থাকে, সূত্র ব্যবহার করে বুঝিয়ে বলো।

মনে রেখো

বল সরণগতির পরিবর্তন ঘটাতে পারে; টর্ক ঘূর্ণনগতির পরিবর্তন ঘটাতে পারে। কিন্তু টর্ক নির্ণয় করার আগে সবসময় বলতে হবে-কোন অক্ষ বা কোন বিন্দুর সাপেক্ষে? একই বলের টর্ক অন্য অক্ষের সাপেক্ষে অন্য মান হতে পারে।