১২-১: সংরক্ষণশীল বল

Conservative Forces

মনেকরো, তোমার সামনে একটা স্প্রিং, একটা বল আর একটা রুক্ষ টেবিল আছে। স্প্রিংটা চেপে ছেড়ে দিলে সেটা বলকে ঠেলে দেবে। বলটাকে উপরের দিকে ছুড়ে দিলে পৃথিবীর মহাকর্ষ সেটাকে আবার নিচে ফিরিয়ে আনবে। আর টেবিলের উপর কোনো চাকতি ঘুরতে থাকলে ঘর্ষণ তার গতি কমাতে থাকবে। এই তিনটি বলের মধ্যে একটা গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য আছে। সেটা ধরতে হলে দেখতে হবে কোনো বস্তু ঘুরে আগের অবস্থানে ফিরে এলে বলটি মোট কত কাজ করেছে।

স্প্রিংয়ের বলের ক্ষেত্রে

একটা ঘর্ষণহীন অনুভূমিক তলের উপর $m$ ভরের ব্লককে $k$ বলধ্রুবকের (spring constant) স্প্রিংয়ের সঙ্গে লাগিয়ে দাও। স্প্রিংয়ের স্বাভাবিক অবস্থানকে $x=0$ ধরলাম। তুমি স্প্রিংটা চেপে ব্লককে $x=-d$ অবস্থানে নিয়ে ছেড়ে দিলে। স্প্রিংয়ের বল হুকের সূত্র মেনে চলে,

এখন ব্লকটি $-d$ থেকে $0$ অবস্থানে আসার সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড স্প্রিং তার উপর ধনাত্মক কাজ করে,

এই কাজের ফলে ব্লকের গতিশক্তি বাড়ে। ব্লকটি $x=0$ পেরিয়ে $+d$-এর দিকে গেলে স্প্রিংয়ের বল এবার গতির উল্টো দিকে কাজ করে। ফলে কাজের মান,

এরপর ব্লকটি আবার $+d$ থেকে $0$ হয়ে $-d$-তে ফিরে আসবে। এই ফেরার পথে দুই অংশের কাজ হবে যথাক্রমে $+\frac12 kd^2$ এবং $-\frac12 kd^2$। চারটি যোগ করে দেখো,

অর্থাৎ, ব্লকটি পুরো একটা চক্কর দিয়ে আগের জায়গায় ফিরে এসেছে, অথচ স্প্রিংয়ের বলের মোট কাজ শূন্য। মূল বইয়ের চিত্র ১২-১-এ ব্লকটির এই পাঁচটি অবস্থান দেখানো হয়েছে।

মহাকর্ষীয় বলের ক্ষেত্রে

এবার ধরো, তুমি একটা বল $v_0$ আদিবেগে সোজা উপরের দিকে ছুড়ে দিলে। বলটা $h$ উচ্চতায় উঠে এক মুহূর্তের জন্য থেমে আবার নিচে ফিরে এলো। উপরের দিকে যাওয়ার সময় পৃথিবীর মহাকর্ষীয় বলের দিক আর সরণের দিক বিপরীত। তাই মহাকর্ষের করা কাজ,

নিচের দিকে ফেরার সময় বল আর সরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর একই দিকে। এবার কাজ,

দুই অংশ যোগ করলে $W_{\mathrm{total}}=0$। অর্থাৎ, বলটির পুরো যাওয়া-আসায় মহাকর্ষও মোট শূন্য কাজ করেছে। বইয়ের চিত্র ১২-২-এ এই ঘটনাটিই দেখানো হয়েছে।

ঘর্ষণ বলের ক্ষেত্রে

এবার একটা চাকতিকে রুক্ষ অনুভূমিক তলে বৃত্তাকার পথে ঘুরতে দাও। ঘর্ষণ বল সবসময় চাকতির গতির বিপরীত দিকে কাজ করে। ফলে চাকতি অর্ধেক চক্কর দিক, এক চক্কর দিক অথবা দেড় চক্কর দিক, ঘর্ষণের কাজ সবসময় ঋণাত্মক। চাকতিটি আবার শুরুর বিন্দুতে ফিরে এলেও কাজগুলোর যোগফল শূন্য হয় না। বরং যত বেশি পথ অতিক্রম করবে, ঘর্ষণের কারণে তত বেশি যান্ত্রিক শক্তিবিস্তারিত জানতে দেখো:যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ হারাবে। বইয়ের চিত্র ১২-৩-এ এই বিষয়টি বোঝানো হয়েছে।

এখন এই তিনটি ঘটনা থেকে একটা সংজ্ঞায় পৌঁছানো যায়।

সংরক্ষণশীল বল (Conservative Forceবিস্তারিত জানতে দেখো:চিরায়ত বলবিদ্যা): কোনো বস্তুকে একটি বদ্ধ পথে ঘুরিয়ে আবার শুরুর অবস্থানে ফিরিয়ে আনলে যদি সেই বলের করা মোট কাজ শূন্য হয়, তাহলে তাকে সংরক্ষণশীল বল বলে। স্প্রিংয়ের স্থিতিস্থাপক বল এবং মহাকর্ষীয় বল এর উদাহরণ।

অসংরক্ষণশীল বল (Nonconservative Force): বদ্ধ পথে ঘুরে আগের অবস্থানে ফিরলেও কোনো বলের করা মোট কাজ শূন্য না হলে তাকে অসংরক্ষণশীল বল বলে। গতিশীল ঘর্ষণ বল এর পরিচিত উদাহরণ।

দুই বিন্দুর মাঝখানে কোন পথ দিয়ে গেলে কী আসে যায়?

মনেকরো, তুমি একটা পাঁচতলা বিল্ডিংয়ের বেসমেন্ট থেকে প্রথম তলায় একটা বাক্স নিয়ে যাবে। চাইলে সোজা প্রথম তলায় যেতে পারো। আবার আগে পঞ্চম তলায় উঠে তারপর প্রথম তলায় নামতেও পারো। প্রতিটি তলার উচ্চতা $h$ আর বাক্সের ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা $m$। সোজা প্রথম তলায় উঠলে মহাকর্ষের কাজ,

আর পঞ্চম তলায় উঠে তারপর প্রথম তলায় নামলে,

লক্ষ্য করো, দুটো পথ আলাদা হলেও শুরু আর শেষের উচ্চতা এক হওয়ায় মহাকর্ষীয় বলের করা কাজ একই। কিন্তু ঘর্ষণের ক্ষেত্রে ব্যাপারটা অন্যরকম। তুমি যত লম্বা পথ দিয়ে বাক্সটা টেনে নেবে, ঘর্ষণ সাধারণত তত বেশি ঋণাত্মক কাজ করবে।

এখান থেকে সংরক্ষণশীল বলের দ্বিতীয় সংজ্ঞা পাওয়া যায়: একই আদিবিন্দু ও শেষবিন্দুর মধ্যে কোন পথ দিয়ে বস্তুটি যাচ্ছে, তার উপর সংরক্ষণশীল বলের করা কাজ নির্ভর করে না।

দুটি সংজ্ঞা আসলে একই কথা

একটি বস্তু $a$ থেকে $b$-তে পথ ১ দিয়ে গেল এবং $b$ থেকে $a$-তে পথ ২ দিয়ে ফিরে এলো (চিত্র ১২-৪)। পুরো যাত্রাটি একটি বদ্ধ পথ।

সংরক্ষণশীল বলের জন্য,

আবার একই পথে যাওয়া আর উল্টো দিকে ফেরার কাজের চিহ্ন বিপরীত,

সুতরাং,

অথবা ভেক্টর আকারে,

তার মানে বদ্ধ পথে মোট কাজ শূন্য হওয়া আর দুই বিন্দুর মধ্যে পথ-নিরপেক্ষ কাজ হওয়া, দুটো একই বৈশিষ্ট্যের দুই রকম প্রকাশ।