বিষয়সমূহ › ক্লাসিক্যাল মেকানিক্স › অধ্যায় ৮: ঘূর্ণনগতিবিদ্যা › ৮.৪ ধ্রুব কৌণিক ত্বরণে ঘূর্ণন এই পৃষ্ঠায়
৮.৪ ধ্রুব কৌণিক ত্বরণে ঘূর্ণন (Rotation with Constant Angular Acceleration)
চাকা ধীরে ধীরে গতি বাড়াচ্ছে-হিসাব করব কীভাবে?
ধরো, কাটুশ তার ওয়ার্কশপের একটা শানপাথর (grindstone) চালু করল। প্রথমে একেবারেই স্থির ছিল, পরে ধীরে ধীরে ঘুরতে শুরু করল। প্রতি সেকেন্ডে কৌণিক বেগবিস্তারিত জানতে দেখো: অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর একই পরিমাণে বাড়ছে।
শুনতে কি পরিচিত লাগছে? সরলরেখার গতিতে যদি ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো: অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর ধ্রুব হয়, আমরা লিখি v = v 0 + a t v=v_0+at v = v 0 + a t অবস্থান x x x θ \theta θ , বেগ v v v ω \omega ω , আর ত্বরণ a a a α \alpha α বসাতে হবে।
আমরা এখানে স্থির z z z ω z , α z \omega_z,\alpha_z ω z , α z
কৌণিক বেগের সমীকরণ
সংজ্ঞা থেকেই শুরু করি:
α z = d ω z d t . \alpha_z=\frac{d\omega_z}{dt}. α z = d t d ω z . α z \alpha_z α z
ω z = ω 0 z + α z t . \boxed{\omega_z=\omega_{0z}+\alpha_z t}. ω z = ω 0 z + α z t . অর্থাৎ শুরুতে কৌণিক বেগ ω 0 z \omega_{0z} ω 0 z t t t সময়বিস্তারিত জানতে দেখো: সময়ের মানদণ্ড পরে সেটি কত হবে তা সরাসরি বের করা যায়।
কৌণিক অবস্থানের সমীকরণ
এখন যেহেতু ω z = d θ / d t \omega_z=d\theta/dt ω z = d θ / d t
θ − θ 0 = ∫ 0 t ( ω 0 z + α z t ′ ) d t ′ = ω 0 z t + 1 2 α z t 2 . \begin{aligned}
\theta-\theta_0
&=\int_0^t(\omega_{0z}+\alpha_z t')\,dt'\\
&=\omega_{0z}t+\frac12\alpha_z t^2.
\end{aligned} θ − θ 0 = ∫ 0 t ( ω 0 z + α z t ′ ) d t ′ = ω 0 z t + 2 1 α z t 2 . অতএব,
θ = θ 0 + ω 0 z t + 1 2 α z t 2 . \boxed{\theta=\theta_0+\omega_{0z}t+\frac12\alpha_z t^2}. θ = θ 0 + ω 0 z t + 2 1 α z t 2 . দুটো সমীকরণ পাশাপাশি রাখো:
সরলরেখায় স্থির অক্ষে ঘূর্ণনে v x = v 0 x + a x t v_x=v_{0x}+a_xt v x = v 0 x + a x t ω z = ω 0 z + α z t \omega_z=\omega_{0z}+\alpha_z t ω z = ω 0 z + α z t x = x 0 + v 0 x t + 1 2 a x t 2 x=x_0+v_{0x}t+\frac12 a_xt^2 x = x 0 + v 0 x t + 2 1 a x t 2 θ = θ 0 + ω 0 z t + 1 2 α z t 2 \theta=\theta_0+\omega_{0z}t+\frac12\alpha_z t^2 θ = θ 0 + ω 0 z t + 2 1 α z t 2
এগুলো শুধু ধ্রুব কৌণিক ত্বরণের জন্য। ত্বরণ সময়ের সঙ্গে বদলালে আগের অংশের মতো ইন্টিগ্রেশন করতে হবে।
উদাহরণ ৮.৩: শানপাথর চালু করার পর
একটি শানপাথর স্থির অবস্থা থেকে α z = 3.2 r a d / s 2 \alpha_z=3.2\ \mathrm{rad/s^2} α z = 3.2 rad/ s 2 θ 0 = 0 \theta_0=0 θ 0 = 0 ω 0 z = 0 \omega_{0z}=0 ω 0 z = 0 2.7 s 2.7\ \mathrm{s} 2.7 s সরণবিস্তারিত জানতে দেখো: অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর ও কৌণিক দ্রুতিবিস্তারিত জানতে দেখো: অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর কত?
প্রথমে কৌণিক সরণ:
Δ θ = 0 + 0 + 1 2 ( 3.2 ) ( 2.7 ) 2 = 11.7 r a d ≈ 1.9 r e v . \begin{aligned}
\Delta\theta&=0+0+\tfrac12(3.2)(2.7)^2\\
&=\boxed{11.7\ \mathrm{rad}}\approx1.9\ \mathrm{rev}.
\end{aligned} Δ θ = 0 + 0 + 2 1 ( 3.2 ) ( 2.7 ) 2 = 11.7 rad ≈ 1.9 rev . এবার কৌণিক বেগ:
ω z = 0 + ( 3.2 ) ( 2.7 ) = 8.6 r a d / s ≈ 1.4 r e v / s . \omega_z=0+(3.2)(2.7)=\boxed{8.6\ \mathrm{rad/s}}\approx1.4\ \mathrm{rev/s}. ω z = 0 + ( 3.2 ) ( 2.7 ) = 8.6 rad/s ≈ 1.4 rev/s . উদাহরণ ৮.৪: মোটর বন্ধ করার পর
এবার শানপাথরটি 8.6 r a d / s 8.6\ \mathrm{rad/s} 8.6 rad/s 192 s 192\ \mathrm{s} 192 s
শেষে ω z = 0 \omega_z=0 ω z = 0
α z = 0 − 8.6 192 ≈ − 0.045 r a d / s 2 . \alpha_z=\frac{0-8.6}{192}\approx\boxed{-0.045\ \mathrm{rad/s^2}}. α z = 192 0 − 8.6 ≈ − 0.045 rad/ s 2 . মোট ঘূর্ণন বের করতে মূল তথ্যের তুলনামূলক নির্ভুল মান α z = − 8.6 / 192 \alpha_z=-8.6/192 α z = − 8.6/192
Δ θ = ω 0 z t + 1 2 α z t 2 = ( 8.6 ) ( 192 ) + 1 2 ( − 8.6 192 ) ( 192 ) 2 ≈ 826 r a d ≈ 131 r e v . \begin{aligned}
\Delta\theta
&=\omega_{0z}t+\tfrac12\alpha_z t^2\\
&=(8.6)(192)+\tfrac12\left(-\frac{8.6}{192}\right)(192)^2\\
&\approx\boxed{826\ \mathrm{rad}}\approx131\ \mathrm{rev}.
\end{aligned} Δ θ = ω 0 z t + 2 1 α z t 2 = ( 8.6 ) ( 192 ) + 2 1 ( − 192 8.6 ) ( 192 ) 2 ≈ 826 rad ≈ 131 rev . মূল বইয়ের প্রদর্শিত ফল প্রায় 822 r a d 822\ \mathrm{rad} 822 rad α ≈ − 0.045 r a d / s 2 \alpha\approx-0.045\ \mathrm{rad/s^2} α ≈ − 0.045 rad/ s 2 826 r a d 826\ \mathrm{rad} 826 rad 131 131 131
মনে রেখো
ঘূর্ণনের দিকে ω z \omega_z ω z α z < 0 \alpha_z<0 α z < 0 ধনাত্মক ঘূর্ণনের দিক বেছে নাও।