⚛ Science in Minutes

৯.২ ঘূর্ণন জড়তা ও নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র (Rotational Inertia and Newton’s Second Law)

একটাই লাঠি-কখনো ঘোরানো সহজ, কখনো কঠিন!

ধরো, তোমার হাতে একটা লম্বা কাঠের লাঠি আছে। প্রথমে হাতের তালু দিয়ে লাঠিটাকে নিজের দৈর্ঘ্য বরাবর অক্ষ ঘিরে ঘোরানোর চেষ্টা করো। বেশ সহজ, তাই না?

এবার লাঠিটাকে মাঝখানে ধরে এমনভাবে ঘোরাও যাতে তার দুই প্রান্ত বড় বৃত্ত আঁকে। এবার অনেক বেশি কষ্ট হচ্ছে। অথচ লাঠিটার ভর তো একটুও বদলায়নি!

এই পার্থক্যটাই আমাদের ঘূর্ণন জড়তা (rotational inertia) বা জড়তার ভ্রামক (moment of inertia) বুঝতে সাহায্য করে। সরলরেখায় বস্তু কতটা ত্বরণ প্রতিরোধ করবে, তা ভর দিয়ে প্রকাশ করি। ঘূর্ণনের সময় শুধু মোট ভর জানলে হবে না-সেই ভর অক্ষ থেকে কত দূরে ছড়িয়ে আছে, সেটাও গুরুত্বপূর্ণ।

একটি বিন্দু-কণার ঘূর্ণন জড়তা

ধরো, mm ভরের একটা ছোট পাথরকে rr দৈর্ঘ্যের ভরহীন শক্ত দণ্ডের মাথায় বসিয়ে দণ্ডটাকে এক অক্ষের চারপাশে ঘোরাতে পারছো। পাথরে এমন একটা বল FF দিলে, যার স্পর্শকীয় উপাংশ FT=Fsin⁡ϕF_T=F\sin\phi।

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র থেকে,

FT=maT.F_T=ma_T.

আগের অধ্যায়ে দেখেছো, স্পর্শকীয় ত্বরণ aT=αzra_T=\alpha_zr। তাই,

Fsin⁡ϕ=mαzr.F\sin\phi=m\alpha_zr.

উভয় পাশে rr গুণ করলে,

rFsin⁡ϕ=mr2αz.rF\sin\phi=mr^2\alpha_z.

বাম পাশটাকে তো আমরা টর্ক বলি! ফলে,

τz=mr2αz.\tau_z=mr^2\alpha_z.

এখানে mr2mr^2-কে আলাদা একটা নাম দিই:

I=mr2.\boxed{I=mr^2}.

এটাই একটি বিন্দু-কণার ঘূর্ণন জড়তা। এর একক kg m2\mathrm{kg\,m^2}।

একটা মজার বিষয় লক্ষ করো। পাথরটাকে অক্ষ থেকে দ্বিগুণ দূরে নিলে II হবে 44 গুণ! অর্থাৎ ঘোরাতে বাধার পরিমাণ দূরত্বের বর্গের ওপর নির্ভর করে।

একাধিক কণার জন্য কী হবে?

একটা চাকা বা লাঠি তো আর একটিমাত্র কণা নয়। কল্পনা করো, বস্তুর মধ্যে m1,m2,…,mNm_1,m_2,\dots,m_N ভরের অনেক কণা আছে। প্রত্যেকটির অক্ষ থেকে লম্ব দূরত্ব r1,r2,…,rNr_1,r_2,\dots,r_N। তখন মোট ঘূর্ণন জড়তা,

I=∑i=1Nmiri2.\boxed{I=\sum_{i=1}^{N}m_ir_i^2}.

এই যোগফল থেকে বোঝা যায়, একই মোট ভরের বস্তু হলেও অক্ষ থেকে দূরে বেশি ভর থাকলে II বেশি। তাই ওজনদার রিং আর একই ভরের চাকতির ঘূর্ণন জড়তা এক নয়-পরের অংশে দেখব।

ঘূর্ণনের নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র

সব কণা যদি একই দৃঢ় বস্তুর অংশ হয়, তাহলে স্থির অক্ষের চারপাশে তাদের কৌণিক ত্বরণ αz\alpha_z একই। প্রত্যেক কণার জন্য τiz=miri2αz\tau_{iz}=m_ir_i^2\alpha_z লিখে যোগ করলে পাই,

∑iτiz=(∑imiri2)αz.\sum_i\tau_{iz}=\left(\sum_i m_ir_i^2\right)\alpha_z.

একই ব্যবস্থার ভেতরে কণাগুলো পরস্পরকে যে বল দেয়, তাদের টর্ক জোড়ায় জোড়ায় বাতিল হয়। তাই ঘূর্ণন বদলানোর জন্য বাহ্যিক টর্কের যোগফলই জরুরি:

∑τext,z=Iαz.\boxed{\sum\tau_{\mathrm{ext},z}=I\alpha_z}.

এটাই ঘূর্ণনের জন্য নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র। পাশাপাশি রাখলে মিলটা দেখো:

সরলরেখার গতিস্থির অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন
∑Fx=max\sum F_x=ma_x∑τz=Iαz\sum\tau_z=I\alpha_z
ভর mmঘূর্ণন জড়তা II
রৈখিক ত্বরণ axa_xকৌণিক ত্বরণ αz\alpha_z

খেয়াল রেখো: II যে অক্ষের সাপেক্ষে বের করেছো, টর্কও সেই একই অক্ষের সাপেক্ষে নিতে হবে। আর τ⃗=Iα⃗\vec\tau=I\vec\alpha সব ধরনের ত্রিমাত্রিক ঘূর্ণনে নির্বিচারে ব্যবহার করা যায় না; এখানে আমাদের সূত্র নির্বাচিত স্থির অক্ষের উপাংশের জন্য।

উদাহরণ ৯.২: তিনটি ভর দিয়ে বানানো ত্রিভুজ

ধরো, তিনটি বিন্দু-কণা খুব হালকা দণ্ড দিয়ে একটা সমকোণী ত্রিভুজ বানিয়েছে। কণাগুলোর ভর,

m1=2.3 kg,m2=3.2 kg,m3=1.5 kg.m_1=2.3\ \mathrm{kg},\quad m_2=3.2\ \mathrm{kg},\quad m_3=1.5\ \mathrm{kg}.

অবস্থান যথাক্রমে m1:(0,0)m_1:(0,0), m2:(0,3 m)m_2:(0,3\ \mathrm m), m3:(4 m,0)m_3:(4\ \mathrm m,0)। অর্থাৎ বাহুগুলো 33–44–55 মিটার (মূল বইয়ের চিত্র ৯-৯)।

(ক) প্রত্যেকটি কণার মধ্য দিয়ে সমতলের লম্ব অক্ষ নিলে ঘূর্ণন জড়তা কত?

m1m_1-এর মধ্য দিয়ে অক্ষ নিলে m1m_1-এর দূরত্ব শূন্য:

I1=m2(3)2+m3(4)2=(3.2)(9)+(1.5)(16)≈53 kg m2.\begin{aligned} I_1&=m_2(3)^2+m_3(4)^2\\ &=(3.2)(9)+(1.5)(16)\\ &\approx\boxed{53\ \mathrm{kg\,m^2}}. \end{aligned}

m2m_2-এর মধ্য দিয়ে অক্ষ নিলে,

I2=m1(3)2+m3(5)2≈58 kg m2.I_2=m_1(3)^2+m_3(5)^2\approx\boxed{58\ \mathrm{kg\,m^2}}.

আর m3m_3-এর মধ্য দিয়ে অক্ষ নিলে,

I3=m1(4)2+m2(5)2≈117 kg m2.I_3=m_1(4)^2+m_2(5)^2\approx\boxed{117\ \mathrm{kg\,m^2}}.

তিনটি মান আলাদা-কারণ ভরগুলো তিনটি অক্ষ থেকে আলাদা দূরত্বে আছে।

(খ) m2m_2-তে 4.5 N4.5\ \mathrm N বল এমনভাবে দেওয়া হলো যে তা +x+x অক্ষের সঙ্গে 30∘30^\circ কোণ করে। m3m_3-কে কেন্দ্র করে ঘুরলে কৌণিক ত্বরণ কত?

চিত্রের জ্যামিতি থেকে m3m_3 থেকে বলের ক্রিয়ারেখার লম্ব দূরত্ব প্রায় 4.6 m4.6\ \mathrm m। টর্কের মান,

∣τz∣=(4.6)(4.5)=20.7 N m.|\tau_z|=(4.6)(4.5)=20.7\ \mathrm{N\,m}.

বলটি ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরাতে চায়, তাই τz=−20.7 N m\tau_z=-20.7\ \mathrm{N\,m}। ফলে,

αz=τzI3=−20.7117≈−0.18 rad/s2.\alpha_z=\frac{\tau_z}{I_3} =\frac{-20.7}{117} \approx\boxed{-0.18\ \mathrm{rad/s^2}}.

ঋণাত্মক চিহ্নটা ঘূর্ণনের দিক বোঝাচ্ছে।

উদাহরণ ৯.৩: একই ত্রিভুজ-এবার ভরকেন্দ্র দিয়ে অক্ষ

একই তিনটি কণার মোট ভর M=7.0 kgM=7.0\ \mathrm{kg}। ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক,

xcm=(1.5)(4)7=0.86 m,ycm=(3.2)(3)7=1.37 m.x_{\rm cm}=\frac{(1.5)(4)}{7}=0.86\ \mathrm m, \qquad y_{\rm cm}=\frac{(3.2)(3)}{7}=1.37\ \mathrm m.

এবার প্রত্যেক কণার ভরকেন্দ্র থেকে দূরত্বের বর্গ বের করি:

r12=(0.86)2+(1.37)2≈2.62 m2,r22=(0.86)2+(3−1.37)2≈3.40 m2,r32=(4−0.86)2+(1.37)2≈11.74 m2.\begin{aligned} r_1^2&=(0.86)^2+(1.37)^2\approx2.62\ \mathrm{m^2},\\ r_2^2&=(0.86)^2+(3-1.37)^2\approx3.40\ \mathrm{m^2},\\ r_3^2&=(4-0.86)^2+(1.37)^2\approx11.74\ \mathrm{m^2}. \end{aligned}

তাই,

Icm=∑miri2≈(2.3)(2.62)+(3.2)(3.40)+(1.5)(11.74)≈35 kg m2.\begin{aligned} I_{\rm cm}&=\sum m_i r_i^2\\ &\approx(2.3)(2.62)+(3.2)(3.40)+(1.5)(11.74)\\ &\approx\boxed{35\ \mathrm{kg\,m^2}}. \end{aligned}

দেখো, আগের 5353, 5858, 117117-এর চেয়ে 3535 কম! কিন্তু এটা কি নিছক কাকতালীয়?

সমান্তরাল-অক্ষ উপপাদ্য (Parallel-Axis Theorem)

ধরো, কোনো বস্তুর ভরকেন্দ্র দিয়ে একটি ঘূর্ণন অক্ষ গেছে। সেই অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা IcmI_{\rm cm}। এবার প্রথমটির সমান্তরাল আরেকটা অক্ষ নিলে, যার দূরত্ব hh, নতুন অক্ষের সাপেক্ষে,

I=Icm+Mh2.\boxed{I=I_{\rm cm}+Mh^2}.

এটাই সমান্তরাল-অক্ষ উপপাদ্য (মূল বইয়ের সমীকরণ ৯-১২)। অর্থাৎ সমান্তরাল অক্ষটাকে ভরকেন্দ্র থেকে দূরে সরালে জড়তা বাড়ে।

কেন? খুব সংক্ষেপে প্রমাণটা দেখি। ভরকেন্দ্র-ভিত্তিক স্থানাঙ্ক (xi′,yi′)(x_i',y_i') আর নতুন অক্ষ-ভিত্তিক স্থানাঙ্ক (xi′+xcm,yi′+ycm)(x_i'+x_{\rm cm},y_i'+y_{\rm cm}) হলে,

I=∑imi[(xi′+xcm)2+(yi′+ycm)2].I=\sum_i m_i\big[(x_i'+x_{\rm cm})^2+(y_i'+y_{\rm cm})^2\big].

বর্গ খুললে যে মাঝের পদগুলো পাওয়া যায়, সেগুলো শূন্য, কারণ ভরকেন্দ্র-ভিত্তিক স্থানাঙ্কে ∑imixi′=∑imiyi′=0\sum_i m_ix_i'=\sum_i m_iy_i'=0। বাকি থাকে,

I=∑imi(xi′2+yi′2)⏟Icm+M(xcm2+ycm2)⏟Mh2.I=\underbrace{\sum_i m_i(x_i'^2+y_i'^2)}_{I_{\rm cm}}+\underbrace{M(x_{\rm cm}^2+y_{\rm cm}^2)}_{Mh^2}.

প্রমাণ হয়ে গেল! আগের ত্রিভুজে Icm≈35I_{\rm cm}\approx35 এবং m1m_1-অক্ষের দূরত্বের বর্গ h2≈2.62h^2\approx2.62 হলে,

I1≈35+(7.0)(2.62)≈53 kg m2,I_1\approx35+(7.0)(2.62)\approx53\ \mathrm{kg\,m^2},

আগের হিসাবের সঙ্গেই মিলে যায়।

উদাহরণ ৯.৪: কোন জায়গায় অক্ষ বসালে ঘোরানো সবচেয়ে সহজ?

দুটি ভর m1m_1 ও m2m_2-কে LL দৈর্ঘ্যের ভরহীন দণ্ড দিয়ে যুক্ত করা হলো। m1m_1 থেকে xx দূরে দণ্ডের লম্ব অক্ষ বসালে,

I(x)=m1x2+m2(L−x)2.I(x)=m_1x^2+m_2(L-x)^2.

সবচেয়ে ছোট II পেতে xx-এর সাপেক্ষে অন্তরক শূন্য করি:

dIdx=2m1x−2m2(L−x)=0.\frac{dI}{dx}=2m_1x-2m_2(L-x)=0.

সমাধানে,

x=m2Lm1+m2=xcm.\boxed{x=\frac{m_2L}{m_1+m_2}=x_{\rm cm}}.

আর d2I/dx2=2(m1+m2)>0d^2I/dx^2=2(m_1+m_2)>0, তাই এটা সত্যিই সর্বনিম্ন। অর্থাৎ সমান্তরাল অক্ষগুলোর মধ্যে ভরকেন্দ্রের অক্ষ দিয়ে ঘোরানো সবচেয়ে সহজ।

মনে রেখো

∑τz=Iαz\sum\tau_z=I\alpha_z ব্যবহার করার আগে অক্ষটি নির্দিষ্ট করো, ওই অক্ষের জন্য II হিসাব করো, তারপর বাহ্যিক টর্কের বীজগাণিতিক যোগফল নাও। শুধু বেশি ভর নয়, অক্ষ থেকে বেশি দূরের ভর ঘূর্ণনকে বেশি প্রতিরোধ করে।