⚛ Science in Minutes

২.২: ভেক্টরের ধর্ম ও উপাংশ

Properties of Vectors

মনেকরো, কাটুশ একটা কাগজে তীরচিহ্ন এঁকে বললো, ‘এই যে, আমার স্পেসশীপের গতিপথ!’ তুমি হয়তো জিজ্ঞেস করবে, একটা তীরচিহ্ন এঁকে আবার গতি বোঝানো যায় নাকি?

অবশ্যই যায়! আসলে ভেক্টর বোঝানোর সবচেয়ে সহজ উপায় হচ্ছে একটা তীরচিহ্ন (Arrow) আঁকা। তীরের দৈর্ঘ্য দিয়ে ভেক্টরের মান আর তীরের মাথা কোন দিকে আছে, সেটা দিয়ে দিক বোঝানো হয়।

ধরো, 2 km2\,\mathrm{km}-এর ভেক্টর আঁকলে কাগজে 2 cm2\,\mathrm{cm} লম্বা তীরচিহ্ন ব্যবহার করলে। তাহলে একই স্কেলে 3 km3\,\mathrm{km}-এর ভেক্টর আঁকতে হবে 3 cm3\,\mathrm{cm} লম্বা। অর্থাৎ দ্বিতীয় তীরটা প্রথমটার দেড় গুণ বড় হবে। বইয়ের চিত্র ২-১-এ এই একই নিয়ম ব্যবহার করা হয়েছে।

একটি ভেক্টরকে আমরা a⃗\vec a-এর মতো লিখবো। আর ভেক্টরটির দৈর্ঘ্য বা মান (Magnitude) প্রকাশ করবো ∣a⃗∣|\vec a| কিংবা শুধু aa দিয়ে। মান সবসময় শূন্য বা ধনাত্মক হবে; দিক নির্ধারণ করবে তীরচিহ্নটি।

ভেক্টরকে দুই ভাগে ভাঙা

এবার মনেকরো, কাটুশ উত্তর-পূর্ব দিকে কাত হয়ে উড়ছে। তার স্পেসশীপটা একই সঙ্গে পূর্বদিকেও এগোচ্ছে, আবার উত্তরদিকেও এগোচ্ছে। আমরা চাইলে পুরো গতিটাকে দুটি আলাদা দিকের সাহায্যে প্রকাশ করতে পারি।

এজন্য একটা কো-অর্ডিনেট সিস্টেম নিলাম। ডানদিকে +x+x-অক্ষ আর ওপরের দিকে +y+y-অক্ষ। এবার a⃗\vec a ভেক্টরটা +x+x-অক্ষের সাথে θ\theta কোণ তৈরি করছে। ভেক্টরটাকে xx ও yy-অক্ষ বরাবর দুই ভাগে ভাঙলে পাই যথাক্রমে axa_x এবং aya_y। এই দুই অংশকে বলে ভেক্টরের উপাংশ (Components of a Vector)।

ত্রিকোণমিতি থেকে পাই,

ax=acos⁡θay=asin⁡θ\boxed{a_x=a\cos\theta}\qquad\boxed{a_y=a\sin\theta}

খেয়াল করো, এখানে θ\theta মাপছি ধনাত্মক xx-অক্ষ থেকে। ভেক্টরটির দৈর্ঘ্য aa সবসময় ধনাত্মক হলেও axa_x অথবা aya_y ঋণাত্মক হতে পারে। যেমন ভেক্টরটা বাঁ দিকে আর ওপরে নির্দেশ করলে axa_x ঋণাত্মক এবং aya_y ধনাত্মক হবে। বইয়ের চিত্র ২-২-এ এই ঘটনাই দেখানো হয়েছে।

আবার যদি উপাংশ দুটো জানা থাকে, তাহলে পিথাগোরাসের সূত্র থেকে পুরো ভেক্টরের মান বের করতে পারি,

a=ax2+ay2\boxed{a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}}

আর কোণ নির্ণয়ের জন্য,

tan⁡θ=ayax\tan\theta=\frac{a_y}{a_x}

তবে একটা ফাঁদ আছে। ক্যালকুলেটরে tan⁡−1(ay/ax)\tan^{-1}(a_y/a_x) চাপলেই সবসময় সঠিক কোণ পাওয়া যাবে না। কারণ ভগ্নাংশের চিহ্ন একই হলেও ভেক্টর দ্বিতীয় বা চতুর্থ চতুর্ভাগে থাকতে পারে। তাই axa_x ও aya_y-এর চিহ্ন দেখে কোণটা কোন চতুর্ভাগে পড়েছে, সেটা আগে মিলিয়ে নিতে হবে।

Unit Vector: একক ভেক্টর

এবার একটা সুবিধাজনক পদ্ধতি দেখি। xx-অক্ষের ধনাত্মক দিকে দৈর্ঘ্য ঠিক 11 এমন একটি তীরচিহ্ন আঁকলাম। নাম দিলাম i^\hat i। একইভাবে yy-অক্ষ বরাবর আরেকটি আঁকলাম, নাম j^\hat j। এদের বলা হয় একক ভেক্টর (Unit Vector)।

∣i^∣=1,∣j^∣=1|\hat i|=1,\qquad |\hat j|=1

তাহলে a⃗\vec a-কে লিখতে পারি,

a⃗=axi^+ayj^\boxed{\vec a=a_x\hat i+a_y\hat j}

এখানে axi^a_x\hat i হলো xx-অক্ষ বরাবর ভেক্টরের অংশ, আর ayj^a_y\hat j হলো yy-অক্ষ বরাবর অংশ। একক ভেক্টরের নিজের কোনো মাত্রা নেই; মাত্রা বা একক বহন করে axa_x এবং aya_y। বইয়ের চিত্র ২-৩-এ একক ভেক্টর ও উপাংশগুলো আলাদা করে দেখানো হয়েছে।

একক ভেক্টর

যে ভেক্টরের মান 11 এবং যা একটি নির্দিষ্ট দিক নির্দেশ করে, তাকে একক ভেক্টর বলা হয়।

ভেক্টর যোগ করবো কীভাবে?

ধরো, তুমি প্রথমে ৪ মিটার পূর্বে গেলে, তারপর ৩ মিটার উত্তরে গেলে। এবার তোমার শেষ অবস্থান শুরু থেকে কতদূরে? এক্ষেত্রে পথের মোট দৈর্ঘ্য 4+3=74+3=7 মিটার হলেও সরাসরি সরণ হবে 55 মিটার। কারণ,

∣s⃗∣=42+32=5 m|\vec s|=\sqrt{4^2+3^2}=5\,\mathrm{m}

প্রথম পথের ভেক্টর a⃗\vec a, দ্বিতীয়টির নাম b⃗\vec b। তাহলে মোট সরণ,

s⃗=a⃗+b⃗\vec s=\vec a+\vec b

তীরের মাথার সাথে পরের তীরের লেজ জুড়ে দেওয়া হলো ভেক্টর যোগের সহজ নিয়ম। প্রথম ভেক্টরের শুরু থেকে শেষ ভেক্টরের মাথা পর্যন্ত যে তীর আঁকবে, সেটাই লব্ধি বা Resultant Vector। বইয়ের চিত্র ২-৪-এ এই পদ্ধতি দেখানো হয়েছে।

একই কাজ উপাংশ দিয়েও করা যায়। ধরো,

a⃗=axi^+ayj^,b⃗=bxi^+byj^\vec a=a_x\hat i+a_y\hat j,\qquad \vec b=b_x\hat i+b_y\hat j

তাহলে,

s⃗=a⃗+b⃗=(ax+bx)i^+(ay+by)j^\begin{aligned} \vec s&=\vec a+\vec b\\ &=(a_x+b_x)\hat i+(a_y+b_y)\hat j \end{aligned}

অর্থাৎ,

sx=ax+bx,sy=ay+by\boxed{s_x=a_x+b_x,\qquad s_y=a_y+b_y}

এখানে ঋণাত্মক উপাংশ থাকলে তার চিহ্নসহ যোগ করতে হবে। বইয়ের চিত্র ২-৫-এ একটা ভেক্টরের xx-উপাংশ ঋণাত্মক দেখানো হয়েছে। সেজন্য দুই উপাংশ যোগ করলেও সংখ্যার হিসাবে বিয়োগ হতে পারে।

আর দুটি ভেক্টর সমান তখনই, যখন তাদের একই মান ও একই দিক থাকবে। উপাংশ দিয়ে লিখলে ax=bxa_x=b_x এবং ay=bya_y=b_y হতে হবে। শুধু দৈর্ঘ্য সমান হলেই চলবে না।

ভেক্টরকে কোনো সংখ্যা দিয়ে গুণ করা

মনেকরো, a⃗\vec a ভেক্টরটা ১০ মিটার পূর্বদিকে নির্দেশ করছে। এবার 2a⃗2\vec a লিখলে কী বোঝাবে? একই দিকে ২০ মিটারের একটা ভেক্টর। আর −a⃗-\vec a? ১০ মিটার পশ্চিমদিকে একটা ভেক্টর।

সাধারণভাবে কোনো স্কেলার সংখ্যা cc দিয়ে ভেক্টরকে গুণ করলে নতুন ভেক্টরের মান ∣c∣|c| গুণ হয়। cc ধনাত্মক হলে দিক একই থাকে, ঋণাত্মক হলে দিক উল্টে যায়। যেমন বইয়ের চিত্র ২-৬-এ 1.4a⃗1.4\vec a এবং −0.5a⃗-0.5\vec a দেখানো হয়েছে।

ভেক্টর বিয়োগ করতে এই নিয়মটা কাজে লাগে,

a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)

অর্থাৎ b⃗\vec b-এর দিক উল্টে দিয়ে সেটাকে a⃗\vec a-এর সঙ্গে যোগ করলেই হবে। উপাংশগুলোর ক্ষেত্রেও,

dx=ax−bx,dy=ay−byd_x=a_x-b_x,\qquad d_y=a_y-b_y

উদাহরণ ২-১: বিমান কতদূর উত্তরে আর পূর্বে গেল?

একটা বিমান সরল পথে 209 km209\,\mathrm{km} উড়লো। বিমানটির গতিপথ উত্তর দিক থেকে পূর্বদিকে 22.5∘22.5^\circ কোণে কাত। শুরু থেকে বিমানটি কতদূর পূর্বে আর কতদূর উত্তরে পৌঁছেছে?

ধরো পূর্ব হলো +x+x, উত্তর হলো +y+y। যেহেতু কোণটি উত্তর থেকে দেওয়া, তাই xx-অক্ষ থেকে কোণ হবে,

θ=90∘−22.5∘=67.5∘\theta=90^\circ-22.5^\circ=67.5^\circ

এখন,

dx=(209 km)cos⁡67.5∘=80.0 kmdy=(209 km)sin⁡67.5∘=193 km\begin{aligned} d_x&=(209\,\mathrm{km})\cos67.5^\circ=80.0\,\mathrm{km}\\ d_y&=(209\,\mathrm{km})\sin67.5^\circ=193\,\mathrm{km} \end{aligned}

অর্থাৎ বিমানটি শুরু থেকে প্রায় ৮০ কিলোমিটার পূর্বে এবং ১৯৩ কিলোমিটার উত্তরে পৌঁছেছে। বইয়ের চিত্র ২-৮-এ এই ভেক্টরটার দুটি উপাংশ দেখানো হয়েছে। এত দূরত্বে আমরা পৃথিবীর পৃষ্ঠকে আনুমানিক সমতল ধরেছি; অনেক বেশি দূরত্ব হলে পৃথিবীর বক্রতা বিবেচনা করতে হবে।

উদাহরণ ২-২: গাড়িটা শেষ পর্যন্ত কোথায় গেল?

একটি গাড়ি প্রথমে ৩২ কিলোমিটার পূর্বে, তারপর ৪৭ কিলোমিটার উত্তরে গেল। মোট সরণের উপাংশ,

sx=32 km,sy=47 kms_x=32\,\mathrm{km},\qquad s_y=47\,\mathrm{km}

তাই সরণের মান,

s=322+472≈57 kms=\sqrt{32^2+47^2}\approx57\,\mathrm{km}

দিক,

θ=tan⁡−1(4732)≈56∘\theta=\tan^{-1}\left(\frac{47}{32}\right)\approx56^\circ

সুতরাং গাড়িটি শুরু থেকে পূর্বদিকের সাথে 56∘56^\circ কোণে উত্তরমুখী হয়ে প্রায় ৫৭ কিলোমিটার দূরে আছে। খেয়াল করো, গাড়ি চলেছে 32+47=79 km32+47=79\,\mathrm{km}, কিন্তু সরণ হয়েছে প্রায় 57 km57\,\mathrm{km}।

উদাহরণ ২-৩: তিনটি ভেক্টর একসাথে

এবার তোমাকে তিনটি ভেক্টর দেওয়া হলো,

a⃗=4.3i^−1.7j^b⃗=−2.9i^+2.2j^c⃗=−3.6j^\begin{aligned} \vec a&=4.3\hat i-1.7\hat j\\ \vec b&=-2.9\hat i+2.2\hat j\\ \vec c&=-3.6\hat j \end{aligned}

মোট ভেক্টর s⃗=a⃗+b⃗+c⃗\vec s=\vec a+\vec b+\vec c। আগে xx-উপাংশ যোগ করি,

sx=4.3−2.9+0=1.4s_x=4.3-2.9+0=1.4

তারপর yy-উপাংশ,

sy=−1.7+2.2−3.6=−3.1s_y=-1.7+2.2-3.6=-3.1

তাহলে,

s⃗=1.4i^−3.1j^\boxed{\vec s=1.4\hat i-3.1\hat j}

ভেক্টরটির মান,

s=1.42+(−3.1)2≈3.4s=\sqrt{1.4^2+(-3.1)^2}\approx3.4

এবার দিক বের করতে সাবধান! sxs_x ধনাত্মক, কিন্তু sys_y ঋণাত্মক। অর্থাৎ ভেক্টরটি চতুর্থ চতুর্ভাগে। ক্যালকুলেটরে tan⁡−1(−3.1/1.4)\tan^{-1}(-3.1/1.4) দিলে প্রায় −66∘-66^\circ পাওয়া যায়। ধনাত্মক xx-অক্ষ থেকে ঘড়ির কাঁটার উল্টো দিকে মাপলে একই কোণ,

θ=360∘−66∘=294∘\theta=360^\circ-66^\circ=294^\circ
ভুল করার জায়গা

ভেক্টরের দিক বের করার সময় শুধু tan⁡−1(sy/sx)\tan^{-1}(s_y/s_x)-এর সংখ্যাটা লিখবে না। sxs_x আর sys_y-এর চিহ্ন মিলিয়ে কোন চতুর্ভাগে ভেক্টরটি রয়েছে, সেটা দেখে নেবে।

এই তিনটি সমস্যায় ভেক্টর দিয়ে অবস্থান বের করলাম। এবার একই ধারণা ব্যবহার করে সময়ের সাথে অবস্থান, বেগ আর ত্বরণ কীভাবে বদলায়, সেটা দেখা যাক।