⚛ Science in Minutes

৭.৬ পরিবর্তনশীল ভরের ব্যবস্থা (Systems of Variable Mass) - ঐচ্ছিক

রকেট সামনে যায়, অথচ তার ভর তো ক্রমাগত কমছে!

ধরো, কাটুশ মঙ্গলগ্রহের ঘাঁটি থেকে একটা ছোট রকেট উড়িয়েছে। রকেটের ইঞ্জিন জ্বালানি পোড়াচ্ছে এবং উত্তপ্ত গ্যাস প্রচণ্ড বেগে পেছনের দিকে ছুড়ে দিচ্ছে। ফলে রকেট সামনে এগোচ্ছে।

কিন্তু একটা ব্যাপার আগের অঙ্কগুলোর থেকে আলাদা: রকেটের ভর ক্রমাগত কমছে। একটু আগে যে জ্বালানি রকেটের ভেতরে ছিল, এখন তার একটা অংশ গ্যাস হয়ে বাইরে চলে গেছে।

এখন প্রশ্ন হচ্ছে, আমরা কি সরাসরি আগের মতো ∑F⃗=Ma⃗\sum\vec F=M\vec a বসিয়ে রকেটের গতি বের করতে পারবো?

এত সহজ নয়। কারণ এবার আমাদের নির্বাচিত ব্যবস্থার সীমানা পেরিয়ে ভর ও ভরবেগ দুটোই আদান-প্রদান হচ্ছে।

কামানের গল্প দিয়ে শুরু করি

আগের অংশে আমরা একটা কামান থেকে একটি গোলা ছোড়ার ঘটনা দেখেছিলাম। এবার ভাবো, কামানের পাশে অনেকগুলো গোলা রাখা আছে। কামান একের পর এক গোলা ছুড়ছে। প্রতিবার গোলা সামনে যাচ্ছে, আর কামান পেছনে আরও বেগ পাচ্ছে।

প্রথমে পুরো কামান + সব গোলা মিলিয়ে একটা বড় ব্যবস্থা ধরো। বাইরে থেকে অনুভূমিক কোনো লব্ধি বল না থাকলে এই বড় ব্যবস্থার মোট অনুভূমিক ভরবেগ সংরক্ষিত থাকবে। কামানের গতির বিপরীতে গোলাগুলোর ভরবেগ থাকবে।

কিন্তু এবার শুধু কামান + এখনও ছোড়া হয়নি এমন গোলাগুলো নিয়ে ছোট একটা ব্যবস্থা ধরো। এই ছোট ব্যবস্থার ভর প্রতিবার গোলা ছোড়ার পর কমছে। কারণ একটি গোলা বেরিয়ে সেই ব্যবস্থার সীমানা পেরিয়ে গেছে।

কাজেই ছোট ব্যবস্থার ভরবেগ অপরিবর্তিত রাখার কোনো কারণ নেই। বেরিয়ে যাওয়া গোলা তার সঙ্গে ভরবেগও নিয়ে যাচ্ছে।

অভ্যন্তরীণ বল আর বাইরে চলে যাওয়া ভরবেগ এক জিনিস নয়

নিউটনের তৃতীয় সূত্র এখনও কাজ করছে। কামান গোলাটিকে সামনে ঠেলে দেয়, গোলা কামানকে পেছনে ঠেলে দেয়। কিন্তু শুধু অবশিষ্ট কামানটাকে ব্যবস্থা ধরলে, তার গতি নির্ণয়ে বেরিয়ে যাওয়া গোলার ভরবেগকে আর উপেক্ষা করা যাবে না।

এটাই পরিবর্তনশীল ভরের ব্যবস্থা (variable-mass system) বোঝার মূল কথা।

একটি বড়, ধ্রুব-মোট-ভর ব্যবস্থা বিবেচনা করলে মোট ভরবেগের হিসাব করা যায়। কিন্তু তার ভেতর থেকে যখন একটা ছোট, ভর হারানো বা ভর গ্রহণ করা অংশ বেছে নিই, তখন সেই অংশের জন্য সীমানা দিয়ে প্রবাহিত ভর ও ভরবেগ হিসাব করতে হয়।

রকেটের সঙ্গে সম্পর্কটা কোথায়?

কামান গোলা ছুড়ে পেছায়। রকেটও জ্বালানি পোড়ানোর পর গ্যাসকে প্রচণ্ড বেগে পেছনে ছোড়ে। রকেট গ্যাসকে পেছনে ঠেলে, আর গ্যাস রকেটকে সামনে ঠেলে।

রকেটের জন্য গুরুত্বপূর্ণ বিষয় দুটি হলো:

  • কত দ্রুত জ্বালানি খরচ হয়ে গ্যাস বেরিয়ে যাচ্ছে;
  • বেরিয়ে যাওয়া গ্যাসের বেগ রকেটের তুলনায় কত।

এই দুটি ব্যাপার মিলে রকেটের গতির পরিবর্তনে ভূমিকা রাখে। কেবল ‘এখন রকেটের ভর কত’ জানলে পুরো সমাধান পাওয়া যাবে না।

প্রসঙ্গ কাঠামো আর ব্যবস্থার সীমানা পরিষ্কার রাখো

ধরো, রকেটের বেগ পৃথিবীর সাপেক্ষে মাপছো, আর গ্যাসের বেগ রকেটের সাপেক্ষে মাপছো। এই দুটি বেগকে সরাসরি একই সমীকরণে বসানো যাবে না। প্রথমে সব বেগ কোন প্রসঙ্গ কাঠামোয় মাপা হয়েছে, সেটা ঠিক করতে হবে। কামানের আগের উদাহরণে যেমন vE=v+Vv_E=v+V ব্যবহার করেছিলাম, এখানেও আপেক্ষিক বেগের বিষয়টি গুরুত্বপূর্ণ।

আরেকটা প্রশ্ন: কোন বস্তুগুলোকে ‘আমাদের ব্যবস্থা’ বলছো? শুধু রকেট, নাকি রকেটের সঙ্গে বেরিয়ে যাওয়া সব গ্যাসও? এই সিদ্ধান্তই বলে দেবে, কোন ভরবেগ ব্যবস্থার ভেতরে আছে আর কোনটি বাইরে প্রবাহিত হচ্ছে।

চল, ভর বেরোনোর হিসাবটাও করি

এতক্ষণ আমরা গল্প দিয়ে বুঝলাম, গ্যাস বেরোলে রকেটের ভর কমছে এবং গ্যাস তার সঙ্গে ভরবেগ নিয়ে যাচ্ছে। কিন্তু এবার সেই কথাটাই গাণিতিকভাবে লিখবো। এখানে একটা বিষয় মনে রাখা জরুরি-রকেটের বেগ আর রকেট থেকে বেরিয়ে যাওয়া গ্যাসের বেগ এক প্রসঙ্গ কাঠামোয় মাপা হচ্ছে কি না।

মূল বইয়ের চিত্র ৭-১৮-এর মতো একটি বড় ব্যবস্থা S′S' ধরো। এই ব্যবস্থার ভেতরে আছে রকেট এবং যে গ্যাস বেরিয়ে যাচ্ছে, সবই। এর ভেতরে একটা ছোট ব্যবস্থা SS হলো শুধু রকেট এবং তার ভেতরে অবশিষ্ট পদার্থ।

  • শুরুতে tt সময়ে ছোট ব্যবস্থার ভর MM এবং বেগ v⃗\vec v।
  • ক্ষুদ্র সময় Δt\Delta t পরে রকেটের ভর M+ΔMM+\Delta M এবং বেগ v⃗+Δv⃗\vec v+\Delta\vec v।
  • এই সময়ে বেরিয়ে যাওয়া পদার্থের ভর −ΔM-\Delta M। রকেট ভর হারাচ্ছে বলে এখানে ΔM<0\Delta M<0; তাই −ΔM-\Delta M ধনাত্মক।
  • বেরিয়ে যাওয়া পদার্থের বেগ, আমাদের নির্বাচিত জড় প্রসঙ্গ কাঠামোয়, u⃗\vec u।

এখন বড় ব্যবস্থার প্রাথমিক ভরবেগ,

P⃗i=Mv⃗.\vec P_i=M\vec v.

আর পরের মুহূর্তের মোট ভরবেগ,

P⃗f=(M+ΔM)(v⃗+Δv⃗)+(−ΔM)u⃗.\vec P_f=(M+\Delta M)(\vec v+\Delta\vec v)+(-\Delta M)\vec u.

খেয়াল করো: ছোট ব্যবস্থায় ভর কমেছে, কিন্তু সেই ভর কোথাও হারিয়ে যায়নি। বড় ব্যবস্থায় হিসাব করলে বেরিয়ে যাওয়া গ্যাসও আমাদের সঙ্গে আছে।

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র থেকে পরিবর্তনশীল ভরের সমীকরণ

বড় ব্যবস্থার ওপর লব্ধি বাহ্যিক বল ∑F⃗ext\sum\vec F_{\mathrm{ext}} হলে,

∑F⃗ext=lim⁡Δt→0P⃗f−P⃗iΔt.\sum\vec F_{\mathrm{ext}} =\lim_{\Delta t\to0}\frac{\vec P_f-\vec P_i}{\Delta t}.

ভরবেগের পরিবর্তনের রাশিটি বসিয়ে গুণ করে সাজালে পাই,

ΔP⃗=(M+ΔM)(v⃗+Δv⃗)−ΔMu⃗−Mv⃗=MΔv⃗+(v⃗−u⃗)ΔM+ΔMΔv⃗.\begin{aligned} \Delta\vec P &=(M+\Delta M)(\vec v+\Delta\vec v) -\Delta M\vec u-M\vec v\\ &=M\Delta\vec v+(\vec v-\vec u)\Delta M +\Delta M\Delta\vec v. \end{aligned}

শেষ পদটি Δt→0\Delta t\to0 সীমায়, Δt\Delta t দিয়ে ভাগ করার পরে, শূন্যের দিকে যায়। ফলে,

∑F⃗ext=Mdv⃗dt+(v⃗−u⃗)dMdt.\boxed{\sum\vec F_{\mathrm{ext}} =M\frac{d\vec v}{dt}+(\vec v-\vec u)\frac{dM}{dt}}.

এটাই মূল বইয়ের সমীকরণ (7-30)। এখানে MM হলো এই মুহূর্তে ছোট ব্যবস্থায় থাকা ভর, আর dM/dtdM/dt হলো ওই ভর কী হারে বদলাচ্ছে।

এবার গ্যাসের রকেটের সাপেক্ষে বেগ লিখি,

v⃗rel=u⃗−v⃗.\vec v_{\mathrm{rel}}=\vec u-\vec v.

তাহলে আমাদের মূল সমীকরণটি হয়ে যায়,

Mdv⃗dt=∑F⃗ext+v⃗reldMdt.\boxed{M\frac{d\vec v}{dt} =\sum\vec F_{\mathrm{ext}} +\vec v_{\mathrm{rel}}\frac{dM}{dt}}.

এটাই সমীকরণ (7-31)। মনে রেখো, v⃗rel\vec v_{\mathrm{rel}} হলো যে ভর ঢুকছে বা বেরোচ্ছে, তার বেগ ছোট ব্যবস্থার সাপেক্ষে-পৃথিবীর সাপেক্ষে নয়।

তাহলে রকেটের থ্রাস্ট কোন দিকে?

ধরো, রকেট ডান দিকে এগোচ্ছে আর গ্যাস বাম দিকে বেরোচ্ছে। তখন আমাদের xx-অক্ষের ধনাত্মক দিক ডানে ধরলে,

vrel,x<0,dMdt<0.v_{\mathrm{rel},x}<0, \qquad \frac{dM}{dt}<0.

তাই এই দুটোর গুণফল ধনাত্মক। অর্থাৎ গ্যাস পেছনে বেরোলেও রকেটের ওপর তার প্রতিক্রিয়ায় সামনে বল তৈরি হয়। এই কার্যকর প্রণোদন বলকে বলে থ্রাস্ট (thrust)।

F⃗thrust=v⃗reldMdt.\vec F_{\mathrm{thrust}} =\vec v_{\mathrm{rel}}\frac{dM}{dt}.

রকেটের প্রণোদন বলের মান,

Fthrust=∣v⃗rel∣∣dMdt∣.\boxed{F_{\mathrm{thrust}} =\left|\vec v_{\mathrm{rel}}\right| \left|\frac{dM}{dt}\right|}.

এর মান বাড়ানোর দুটো উপায় আছে: গ্যাসকে আরও বেশি আপেক্ষিক বেগে বের করা, অথবা প্রতি সেকেন্ডে আরও বেশি গ্যাস বের করা।

আরেকটা চমক আছে। গ্যাসের আপেক্ষিক বেগ আর ভর বেরোনোর হার দুটোই ধ্রুব হলে থ্রাস্ট ধ্রুব থাকবে, কিন্তু রকেটের ত্বরণ ধ্রুব থাকবে না। কারণ প্রতি মুহূর্তে রকেটের অবশিষ্ট ভর কমছে। একই থ্রাস্টে কম ভরের রকেট আরও বেশি ত্বরণ পাবে।

উদাহরণ ৭-৯: জ্বালানি পোড়ালে স্পেসশীপের বেগ কত হবে?

একটি মহাকাশযান 960 m/s960\,\mathrm{m/s} বেগে চলছে। শুরুতে এর মোট ভর 13,600 kg13{,}600\,\mathrm{kg}। ইঞ্জিন প্রতি সেকেন্ডে 146 kg146\,\mathrm{kg} গ্যাস বের করে, রকেটের সাপেক্ষে গ্যাসের বেগ 1520 m/s1520\,\mathrm{m/s}। মোট 9100 kg9100\,\mathrm{kg} জ্বালানি বের করা হলো। বাইরে থেকে বল নগণ্য। আমাদের জানতে হবে (ক) থ্রাস্টের মান, (খ) শেষ বেগ।

(ক) থ্রাস্ট:

Fthrust=vexhaust∣dMdt∣=(1520)(146)=2.22×105 N.\begin{aligned} F_{\mathrm{thrust}} &=v_{\mathrm{exhaust}}\left|\frac{dM}{dt}\right|\\ &=(1520)(146)\\ &=\boxed{2.22\times10^5\,\mathrm{N}}. \end{aligned}

(খ) শেষ বেগ: রকেটের গতির দিকে ধনাত্মক অক্ষ নিলে vrel,x=−1520 m/sv_{\mathrm{rel},x}=-1520\,\mathrm{m/s}। বাহ্যিক বল নেই বলে,

Mdvdt=vrel,xdMdt.M\frac{dv}{dt}=v_{\mathrm{rel},x}\frac{dM}{dt}.

অর্থাৎ,

dv=vrel,xdMM.dv=v_{\mathrm{rel},x}\frac{dM}{M}.

এখন শুরু থেকে শেষ পর্যন্ত সমাকলন করলে,

∫vivfdv=vrel,x∫MiMfdMM,\int_{v_i}^{v_f}dv =v_{\mathrm{rel},x}\int_{M_i}^{M_f}\frac{dM}{M},

অর্থাৎ,

vf−vi=vrel,xln⁡(MfMi).\boxed{v_f-v_i=v_{\mathrm{rel},x} \ln\left(\frac{M_f}{M_i}\right)}.

এটাই মূল বইয়ের (7-32) সমীকরণ, রকেটের বেগ পরিবর্তনের সূত্র। জ্বালানি বেরিয়ে যাওয়ার পর অবশিষ্ট ভর,

Mf=13,600−9100=4500 kg.M_f=13{,}600-9100=4500\,\mathrm{kg}.

তাই,

vf=960+(−1520)ln⁡(450013600)≈2640 m/s.\begin{aligned} v_f &=960+(-1520)\ln\left(\frac{4500}{13600}\right)\\ &\approx\boxed{2640\,\mathrm{m/s}}. \end{aligned}

দেখলে? শুরুতে বেগ ছিল 960 m/s960\,\mathrm{m/s}, আর শেষে প্রায় 2640 m/s2640\,\mathrm{m/s}। জ্বালানি কমেছে, কিন্তু রকেটের বেগ বেড়েছে-কারণ গ্যাস বিপরীত দিকে ভরবেগ নিয়ে গেছে।

এই সূত্র ব্যবহারের সময় মনে রাখবে, এখানে গ্যাসের আপেক্ষিক বেগ ধ্রুব এবং লব্ধি বাহ্যিক বল শূন্য ধরা হয়েছে।

উদাহরণ ৭-১০: চলন্ত বেল্টে বালি পড়লে কী হয়?

এবার রকেটের ঠিক উল্টো একটা ঘটনা। একটা কনভেয়ার বেল্ট ডান দিকে 0.96 m/s0.96\,\mathrm{m/s} ধ্রুব বেগে চলছে। ওপরের স্থির ফানেল থেকে প্রতি সেকেন্ডে 0.134 kg0.134\,\mathrm{kg} বালি বেল্টে পড়ছে (মূল বইয়ের চিত্র ৭-২০)। বেল্টের বেগ অপরিবর্তিত রাখতে কত অনুভূমিক বল প্রয়োগ করতে হবে?

বেল্ট এবং তাতে জমা বালিকে আমাদের ছোট ব্যবস্থা ধরি। এবার ভর বাড়ছে। অর্থাৎ,

dMdt=+0.134 kg/s.\frac{dM}{dt}=+0.134\,\mathrm{kg/s}.

বালি নামার সময় অনুভূমিক দিকে স্থির, তাই ল্যাবরেটরির সাপেক্ষে ux=0u_x=0। কিন্তু বেল্ট চলছে vx=0.96 m/sv_x=0.96\,\mathrm{m/s} বেগে। সুতরাং,

vrel,x=ux−vx=−0.96 m/s.v_{\mathrm{rel},x}=u_x-v_x=-0.96\,\mathrm{m/s}.

বেল্টের বেগ ধ্রুব, তাই dvx/dt=0dv_x/dt=0। পরিবর্তনশীল ভরের সমীকরণে বসালে,

0=∑Fext,x+vrel,xdMdt.0=\sum F_{\mathrm{ext},x}+v_{\mathrm{rel},x}\frac{dM}{dt}.

অতএব,

∑Fext,x=−vrel,xdMdt=(0.96)(0.134)≈0.129 N.\begin{aligned} \sum F_{\mathrm{ext},x} &=-v_{\mathrm{rel},x}\frac{dM}{dt}\\ &=(0.96)(0.134)\\ &\approx\boxed{0.129\,\mathrm{N}}. \end{aligned}

বলটি বেল্টের চলার দিকেই দিতে হবে। কারণ ওপর থেকে যে বালি পড়ছে, তার অনুভূমিক বেগ শুরুতে শূন্য। বেল্টের ওপর পড়ার পর বালিকে শূন্য থেকে 0.96 m/s0.96\,\mathrm{m/s}-এ আনতে অনুভূমিক বল লাগে; বালি বেল্টের গতির বিপরীতে প্রতিক্রিয়া দেয়। সেই প্রভাব কাটাতেই বেল্টকে সামনে টানতে হয়।

বাইরে ভর গেলে আর ভেতরে ভর এলে একই সূত্র কেন কাজ করে?

রকেটে dM/dtdM/dt ঋণাত্মক, বেল্টে dM/dtdM/dt ধনাত্মক। কিন্তু দুই ক্ষেত্রেই আমাদের চিন্তা একই:

  1. আগে বড়, ধ্রুব মোট ভরের ব্যবস্থা কল্পনা করো।
  2. এবার যে অংশের গতি জানতে চাও, তার সীমানা ঠিক করো।
  3. সীমানা দিয়ে ভর ঢুকছে নাকি বেরোচ্ছে, তার হার বের করো।
  4. ওই ভরের আপেক্ষিক বেগ দিয়ে ভরবেগ আদান-প্রদানের হিসাব করো।

একটা গুরুত্বপূর্ণ সতর্কতা: পরিবর্তনশীল ভরের ছোট ব্যবস্থার জন্য সাধারণভাবে ∑F⃗ext=d(Mv⃗)/dt\sum\vec F_{\mathrm{ext}}=d(M\vec v)/dt লিখে দেওয়া যাবে না। সীমানা পার হওয়া ভরের ভরবেগও আলাদা করে হিসাব করতে হয়।

মনে রেখো

এই অংশের মূল তিনটি সম্পর্ক হলো,

Mdv⃗dt=∑F⃗ext+v⃗reldMdt,\boxed{M\frac{d\vec v}{dt} =\sum\vec F_{\mathrm{ext}}+\vec v_{\mathrm{rel}}\frac{dM}{dt}}, Fthrust=vexhaust∣dMdt∣,\boxed{F_{\mathrm{thrust}}=v_{\mathrm{exhaust}}\left|\frac{dM}{dt}\right|},

এবং, বাহ্যিক বল শূন্য ও আপেক্ষিক নিষ্কাশন বেগ ধ্রুব হলে,

vf−vi=vrel,xln⁡(MfMi).\boxed{v_f-v_i=v_{\mathrm{rel},x}\ln\left(\frac{M_f}{M_i}\right)}.

শুধু ভরের পরিবর্তন নয়, কোন ভর কোন দিকে কত বেগে ব্যবস্থার সীমানা পার হচ্ছে-পরিবর্তনশীল ভরের অঙ্কের আসল চাবিকাঠি সেটাই।