৮.৩ ভেক্টর হিসেবে ঘূর্ণন রাশি (Rotational Quantities as Vectors)

একটা বইকে ঘুরিয়ে দেখো-ঘোরানোর ক্রম কি গুরুত্বপূর্ণ?

কাটুশ এবার একটা বই হাতে নিল। প্রথমে বইটাকে $x$-অক্ষের চারপাশে $90^\circ$ ঘুরিয়ে, তারপর $z$-অক্ষের চারপাশে $90^\circ$ ঘোরাল। এবার একেবারে প্রথম অবস্থায় ফিরে গিয়ে ঘোরানোর ক্রম উল্টে দিল-আগে $z$-অক্ষ, তারপর $x$-অক্ষ।

মজার ব্যাপার, দুবারে বইটা একই অবস্থায় পৌঁছায় না! মূল বইয়ের চিত্র ৮-৫-এ এই ঘটনাটি আঁকা আছে।

তুমি ভেক্টরের একটা নিয়ম জানো: $\vec A+\vec B=\vec B+\vec A$। যোগের ক্রম বদলালেও ফল একই। কিন্তু দুই ভিন্ন অক্ষের চারপাশে সসীম ঘূর্ণনের (finite rotation) ক্রম বদলালে ফল বদলে যায়। তাই বড় বড় কৌণিক সরণকে সাধারণ ভেক্টরের মতো যোগ করা যায় না।

কোণ খুব ছোট হলে কী হয়?

দুটো ঘূর্ণন $90^\circ$-এর বদলে $20^\circ$ করে দিলে ফলের পার্থক্য কমে। আরও ছোট-অসীম ক্ষুদ্র-করলে প্রথম-ক্রমের হিসাবে ক্রম বদলালেও পার্থক্য থাকে না। অর্থাৎ অতিক্ষুদ্র কৌণিক সরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর $d\vec\theta$-কে ভেক্টরের মতো বিবেচনা করা যায়।

এই ধারণা থেকে কৌণিক বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর পাই:

যেহেতু $dt$ একটা স্কেলার আর অতিক্ষুদ্র $d\vec\theta$ ভেক্টর, তাই $\vec\omega$-ও ভেক্টর। একইভাবে-

ঘূর্ণন তো বৃত্তে হয়, তাহলে কৌণিক বেগ ভেক্টর কোন দিকে?

ধরো, একটা চাকা তোমার সামনে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ঘুরছে। চাকার গায়ের বিন্দুগুলো কখনো ডানে, কখনো ওপরে, কখনো বাঁয়ে চলছে। তাহলে চাকার কৌণিক বেগ ভেক্টর কি প্রতি মুহূর্তে দিক বদলাচ্ছে?

না। ঘূর্ণনের কৌণিক বেগ ভেক্টর থাকে ঘূর্ণন অক্ষ বরাবর, বৃত্তের স্পর্শক বরাবর নয়। দিক নির্ধারণের সহজ উপায় ডান হাতের নিয়ম (right-hand ruleবিস্তারিত জানতে দেখো:১০.১ একটি কণার কৌণিক ভরবেগ):

1. ডান হাতের চার আঙুল ঘূর্ণনের দিকে মুড়ে ধরো।
2. বৃদ্ধাঙ্গুলি যে দিকে নির্দেশ করবে, $\vec\omega$ সেই দিকে।

তোমার দিকে মুখ করা চাকাটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ঘুরলে ভেক্টরটি তোমার দিকে। ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরলে তোমার কাছ থেকে দূরে। বইয়ের চিত্র ৮-৬-এ দেখানো নিয়মটাই এটি।

কৌণিক বেগ ভেক্টর অক্ষ বরাবর নির্দেশ করে বলে বস্তু সেই দিকে সরে যাচ্ছে, এমন নয়। এটা ঘোরার দিক ও হার বোঝানোর একটি ভেক্টর।

কৌণিক ত্বরণের ভেক্টর

কৌণিক বেগ বাড়লে বা কমলে $\vec\alpha=d\vec\omega/dt$ ব্যবহার করি। অক্ষ স্থির থাকলে $\vec\alpha$-ও সেই অক্ষ বরাবর অথবা বিপরীত দিকে থাকে। $\vec\omega$ আর $\vec\alpha$ একই দিকে হলে সাধারণত কৌণিক দ্রুতিবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর বাড়ে; বিপরীত দিকে হলে কমে।

পরে টর্কবিস্তারিত জানতে দেখো:৯.১ টর্ক (torque) এবং কৌণিক ভরবেগ (angular momentumবিস্তারিত জানতে দেখো:৬.২ রৈখিক ভরবেগ)-এর ক্ষেত্রেও আমরা এই ডান হাতের নিয়ম ব্যবহার করব।

চেষ্টা করে দেখো

একটা সাইকেলের চাকা অনুভূমিক অক্ষে লাগানো। চাকার সামনে দাঁড়িয়ে তুমি দেখছো সেটি ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরছে। ডান হাত দিয়ে $\vec\omega$-র দিক নির্ণয় করো। তারপর চাকার ঘূর্ণনের দিক উল্টে দিয়ে আবার দেখো।