অধ্যায় ১২: শক্তি ২: স্থিতিশক্তি

১২-৫: একমাত্রিক সংরক্ষণশীল সিস্টেম: সম্পূর্ণ গতির সমাধান

One-Dimensional Conservative Systems: The Complete Solution

শক্তি সংরক্ষণ সূত্র দিয়ে এতক্ষণ আমরা কোনো বস্তুর একটা অবস্থানে বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর কত, সেটা বের করেছি। কিন্তু ধরো তুমি জানতে চাও, ঠিক তিন সেকেন্ড পরে বস্তুটা কোথায় থাকবে? অথবা সময়ের সঙ্গে তার অবস্থান কীভাবে বদলাবে? এ ধরনের প্রশ্নের জন্য $x(t)$ জানতে হবে। এবার দেখবো, শক্তির ধারণা দিয়েও সেটি কীভাবে বের করা যায়।

ধরলাম, $m$ ভরের একটি কণা কেবল $x$ অক্ষ বরাবর চলছে, এবং তার উপর বল শুধু অবস্থানের উপর নির্ভর করছে। তার স্থিতিশক্তিবিস্তারিত জানতে দেখো:স্থিতিশক্তি $U(x)$। মোট যান্ত্রিক শক্তিবিস্তারিত জানতে দেখো:যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ $E$ ধ্রুব হলে,

এখান থেকে বেগ,

এখানে $+$ মানে ধনাত্মক $x$ দিকে, আর $-$ মানে ঋণাত্মক $x$ দিকে চলা। একটা গুরুত্বপূর্ণ বিষয় লক্ষ্য করো: বর্গমূলের ভেতরের রাশি ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই কণা শুধু সেই অঞ্চলেই চলতে পারবে, যেখানে,

অর্থাৎ, স্থিতিশক্তির গ্রাফ আর মোট শক্তির একটি অনুভূমিক রেখা আঁকলেই অনেক সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড বুঝতে পারবে কণা কোথায় চলতে পারবে, কোথায় থেমে যাবে।

স্থিতিশক্তির গ্রাফ দেখে গতি বোঝা

বইয়ের চিত্র ১২-৮(ক)-তে $U(x)$-এর একটি ঢেউখেলানো গ্রাফ আছে।

পাশাপাশি চিত্র ১২-৮(খ)-তে একই অবস্থানে বল $F_x(x)$-এর গ্রাফ। ধরো, মোট শক্তি বিভিন্ন সময়ে $E_0,E_1,E_2,E_3,E_4$-এর যেকোনো একটি। তাহলে কী হবে?

$E=E_0$: এটি গ্রাফের সবচেয়ে নিচের মান। এখানে $E=U$, তাই $K=0$। কণাটি $x_0$ বিন্দুতে স্থির থাকবে।

$E=E_1$: কণাটি $x_1$ আর $x_2$-এর মধ্যে চলতে পারবে। $x_0$-তে $U$ সবচেয়ে কম, তাই $K=E-U$ সবচেয়ে বেশি, অর্থাৎ বেগও সবচেয়ে বেশি। আর $x_1$ বা $x_2$-তে পৌঁছে বেগ শূন্য হয়ে দিক বদলাবে। এই বিন্দুগুলোকে Turning Point বলে।

$E=E_2$: গ্রাফে চারটি Turning Point পাওয়া যায়। কণা কোন অংশ থেকে শুরু করেছে, তার উপর নির্ভর করে দুইটি পৃথক potential well-এর যেকোনো একটিতে দোলন করতে পারবে।

$E=E_3$: এই শক্তিতে একটি Turning Point $x_3$ থাকে। কণা বাম দিকে চলতে চলতে সেখানে থামবে, তারপর আবার ডান দিকে ফিরে যাবে।

$E=E_4$: এই উচ্চ শক্তিতে আর Turning Point নেই। কণা চলার পথে ধীর বা দ্রুত হতে পারে, কিন্তু গ্রাফের দেখানো অঞ্চলে দিক বদলানোর প্রয়োজন হয় না।

সাম্যাবস্থা: সুস্থিত, অসুস্থিত ও নিরপেক্ষ

মনে রেখো,

যেখানে $U(x)$-এর গ্রাফের ঢাল শূন্য, সেখানে বলও শূন্য। এমন অবস্থানকে আমরা সাম্যাবস্থা (Equilibrium) বলি। কিন্তু সব সাম্যাবস্থা এক রকম নয়।

সুস্থিত সাম্যাবস্থা (Stable Equilibrium): একটা বাটির তলায় একটি মার্বেল রেখে দাও। সামান্য সরিয়ে ছেড়ে দিলে মার্বেলটা আবার নিচের দিকে ফিরতে চাইবে। $U(x)$-এর গ্রাফের স্থানীয় সর্বনিম্ন বিন্দুতে এমনটি হয়। চিত্র ১২-৮-এ $x_0$ এর উদাহরণ।

অসুস্থিত সাম্যাবস্থা (Unstable Equilibrium): এবার মার্বেলটাকে উল্টো করে রাখা বাটির মাথায় রাখার চেষ্টা করো। ঠিক মাঝখানে থাকলে সাম্যাবস্থায় আছে বটে, কিন্তু একটু সরালেই আরও দূরে গড়িয়ে যাবে। স্থিতিশক্তির গ্রাফের স্থানীয় সর্বোচ্চ বিন্দুতে এমনটি হয়। চিত্রে $x_5$ এর উদাহরণ।

নিরপেক্ষ সাম্যাবস্থা (Neutral Equilibrium): একটা মার্বেল সমতল মেঝেতে রেখে সামান্য সরালে সেটা নতুন জায়গাতেও সাম্যাবস্থায় থাকতে পারে। যেখানে $U(x)$ প্রায় ধ্রুব, সেখানে $dU/dx=0$ এবং সরিয়ে দিলেও ফিরিয়ে আনার বা আরও দূরে ঠেলে দেওয়ার বল নেই। চিত্রে $x_6$-এর আশপাশের অঞ্চল এই রকম।

উদাহরণ ১২-১০। অণুর দুটি পরমাণুর মধ্যে বল

দুটি পরমাণু মিলে একটি দ্বিপরমাণুক অণু তৈরি করেছে। পরমাণু দুটির দূরত্ব $x$ হলে তাদের পারস্পরিক স্থিতিশক্তির একটি আনুমানিক মডেল,

যেখানে $a$ এবং $b$ ধনাত্মক ধ্রুবক। এই ধরনের মডেলে খুব কাছে এলে বিকর্ষণ আর একটু দূরে গেলে আকর্ষণের প্রতিযোগিতা দেখা যায়।

(ক) সাম্যাবস্থার দূরত্ব কত? সাম্যাবস্থায় $dU/dx=0$। তাই,

এখান থেকে,

(খ) পরমাণু দুটির মধ্যে বল কত?

$x<x_m$ হলে বল ধনাত্মক, অর্থাৎ পরমাণু দুটোকে আলাদা করার দিকে ঠেলে দেয়। $x>x_m$ হলে বল ঋণাত্মক, অর্থাৎ পরমাণুগুলোকে কাছে টানতে চায়। $x=x_m$-তে বল শূন্য এবং এটি একটি সুস্থিত সাম্যাবস্থা। বইয়ের চিত্র ১২-৯-এ দুটি গ্রাফই আছে।

(গ) অণুটিকে ভেঙে পরমাণু দুটো আলাদা করতে কত শক্তি দরকার? অসীম দূরত্বে $U(\infty)=0$ ধরি। সাম্যাবস্থায় শক্তি $U(x_m)<0$। তাই অণুটিকে ভাঙার জন্য ন্যূনতম যে শক্তি যোগ করতে হবে, তাকে বিযোজন শক্তি (Dissociation Energy) বলে,

$x_m$-এর মান বসিয়ে পাই,

তুমি চাইলে বাইরের কোনো বল কাজ করিয়ে বা পরমাণু দুটোর আপেক্ষিক গতিশক্তি বাড়িয়ে এই শক্তি সরবরাহ করতে পারো।

সময়ের সঙ্গে অবস্থান: $x(t)$ কীভাবে পাওয়া যায়?

আগে পেয়েছিলাম,

এখন চলক আলাদা করে লিখি,

ধরো, $t=0$-তে কণা $x_0$ অবস্থানে ছিল। $t$ সময়ে সে $x$ অবস্থানে পৌঁছেছে। তাহলে সমাকলনবিস্তারিত জানতে দেখো:৫.৫ সময়নির্ভর বল (ঐচ্ছিক) করে,

চলতে চলতে কণা দিক বদলালে সমাকলনকে আলাদা অংশে ভাগ করতে হবে, কারণ তখন $+$ বা $-$ চিহ্নও বদলায়। সমাকলন করা গেলে $t$-কে $x$-এর সাহায্যে প্রকাশ করতে পারবে; এরপর সেই সম্পর্ক থেকে $x(t)$ বের করা যায়। কখনো সরাসরি, কখনো numerical method ব্যবহার করে।

স্প্রিংয়ের দোলনের সমীকরণ আবার বের করি

একটা $m$ ভরের কণা স্প্রিংয়ের সঙ্গে যুক্ত। শুরুতে $t=0$-তে কণাটি $x=x_0$ অবস্থানে স্থির ছিল। তাই মোট শক্তি,

স্প্রিংয়ের স্থিতিশক্তি $U(x)=\frac12 kx^2$ বসিয়ে,

শুরুতে কণাটি $+x_0$ থেকে বাম দিকে চলেছে, তাই এই অংশে ঋণাত্মক চিহ্ন নিতে হবে। এখন সমাকলন,

সমাকলনের ফল $\cos^{-1}$-এর সাহায্যে লিখে সাজালে পাই,

অর্থাৎ, স্প্রিংয়ের সঙ্গে যুক্ত কণার অবস্থান সময়ের সঙ্গে সাইনুসয়েডালভাবে বদলায়। এই একই ফল নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র ব্যবহার করেও পাওয়া যাবে।