২.৩: অবস্থান, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর

Position, Velocity, and Acceleration Vectors

মনেকরো, কাটুশ এবার স্পেসশীপ ছেড়ে মঙ্গলগ্রহের আকাশে একটা ড্রোন ওড়াচ্ছে। ড্রোনটা প্রথমে সামনে গেল, তারপর ডানদিকে ঘুরলো, আর একটু পরে ওপরের দিকে উঠলো। এখন তুমি যদি জানতে চাও ড্রোনটা কোথায় আছে, তাহলে শুধু একটা $x$ -অক্ষ দিয়ে কাজ হবে?

না। কারণ ড্রোনটা তিনটি আলাদা দিকেই চলতে পারে। তাই অবস্থান হিসাব করার জন্য তিনটি অক্ষ নিলাম: $x$ , $y$ এবং $z$ । এদের বরাবর একক ভেক্টরগুলো হলো $\hat i$ , $\hat j$ এবং $\hat k$ ।

ড্রোনটির অবস্থান ভেক্টর হবে,

\boxed{\vec r=x\hat i+y\hat j+z\hat k}

এখানে $x$ , $y$ আর $z$ হলো অবস্থানের তিনটি উপাংশ। মূল বইয়ের চিত্র ২-১১-তে একটা কণার বাঁকানো পথ এবং তার ত্রিমাত্রিক অবস্থান ভেক্টর দেখানো হয়েছে।

অবস্থান আর সরণ কি একই জিনিস?

ধরো, $t_1$ সময়ে ড্রোনটার অবস্থান $\vec r_1$ । কিছুক্ষণ উড়ে $t_2$ সময়ে সে পৌঁছালো $\vec r_2$ অবস্থানে। এবার ড্রোনটা প্রথম অবস্থান থেকে দ্বিতীয় অবস্থানে কতখানি সরে গেছে, সেটা জানতে চাই।

এই অবস্থানের পরিবর্তনকেই বলা হয় সরণ (Displacement)। সরণ ভেক্টরটি লিখবো $\Delta\vec r$ দিয়ে।

\boxed{\Delta\vec r=\vec r_2-\vec r_1}

একটু খেয়াল করো, সরণ বের করতে ড্রোনটা কোন বাঁকা পথে উড়েছে, সেটা জানার প্রয়োজন নেই। কেবল শুরুর অবস্থান আর শেষের অবস্থান জানলেই চলবে।

ধরো, কাটুশ একটা মাঠের চারদিকে চক্কর মেরে ঠিক আগের জায়গায় ফিরে এলো। সে হয়তো কয়েকশ মিটার পথ অতিক্রম করেছে। কিন্তু শুরুর অবস্থান আর শেষের অবস্থান একই। তাই তার মোট সরণ শূন্য।

সরণ
নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে কোনো বস্তুর অবস্থান ভেক্টরের পরিবর্তনকে সরণ বলে। সরণ কেবল প্রাথমিক ও শেষ অবস্থানের ওপর নির্ভর করে; মাঝখানের পথের ওপর নয়।

গড় বেগ

এবার ধরা যাক, ড্রোনটি এক অবস্থান থেকে আরেক অবস্থানে যেতে $\Delta t=t_2-t_1$ সময় নিয়েছে। তাহলে সরণকে সময় দিয়ে ভাগ করলে পাওয়া যাবে গড় বেগ (Average Velocity),

\boxed{\vec v_{\mathrm{av}}=\frac{\Delta\vec r}{\Delta t}}

এখানে সময়ের ব্যবধান ধনাত্মক হওয়ায় গড় বেগের দিক হবে মোট সরণের দিকেই। অর্থাৎ ড্রোন মাঝখানে যে দিকেই ঘুরুক না কেন, পুরো সময়ের গড় বেগ নির্ধারিত হবে প্রথম আর শেষ অবস্থান দিয়ে।

মজার একটা উদাহরণ দিই। একটা রেসিং কার সম্পূর্ণ বৃত্তাকার ট্র্যাকে এক চক্কর ঘুরে আবার শুরুতে ফিরে এলো। গাড়িটা এতক্ষণ ধরে ছুটেছে, তবুও পুরো চক্করের গড় বেগ শূন্য! কারণ মোট সরণ শূন্য।

তাহলে কি গাড়ির গড় দ্রুতিও শূন্য? মোটেই না। এখানেই বেগ আর দ্রুতির পার্থক্য।

গড় বেগ আর গড় দ্রুতি

ধরো, তুমি ১০০ মিটার পূর্বে গেলে, তারপর ১০০ মিটার পশ্চিমে ফিরে এলে। মোট সময় লাগলো ৫০ সেকেন্ড। তাহলে মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব ২০০ মিটার, কিন্তু সরণ শূন্য।

তোমার গড় দ্রুতি,

\text{গড় দ্রুতি}=\frac{200\,\mathrm{m}}{50\,\mathrm{s}}=4\,\mathrm{m/s}

অথচ গড় বেগ,

\vec v_{\mathrm{av}}=\frac{\vec 0}{50\,\mathrm{s}}=\vec 0

অর্থাৎ,

গড় দ্রুতি (Average Speed)	গড় বেগ (Average Velocity)
মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব $\div$ সময়	মোট সরণ $\div$ সময়
স্কেলার রাশি	ভেক্টর রাশি
দিক বোঝায় না	দিক বোঝায়
চলার সময় সাধারণত ধনাত্মক	সরণ শূন্য হলে শূন্য হতে পারে

তোমার গাড়ির স্পিডোমিটার যে সংখ্যাটা দেখায়, সেটাও দ্রুতি, বেগ নয়। কারণ স্পিডোমিটার তোমাকে কোন দিকে যাচ্ছো সেটা বলে না।

তাৎক্ষণিক বেগ: ঠিক এই মুহূর্তে কত বেগ?

গড় বেগ দিয়ে পুরো যাত্রার একটা ধারণা পাওয়া যায়। কিন্তু তুমি যদি জানতে চাও ড্রোনটা এই মুহূর্তে কত বেগে চলছে, তখন কী করবে?

ধরো, শুরুতে আমরা ১০ সেকেন্ডের ব্যবধান নিয়ে গড় বেগ বের করলাম। এবার ব্যবধানটা কমিয়ে ১ সেকেন্ড, তারপর $0.1$ সেকেন্ড, তারপর আরও ছোট করলাম। সময়ের ব্যবধান যত ছোট হবে, সেই মুহূর্তের বেগ সম্পর্কে তত ভালো ধারণা পাবো।

এই সীমা থেকে আমরা পাই তাৎক্ষণিক বেগ (Instantaneous Velocity),

\vec v=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\vec r}{\Delta t}

ক্যালকুলাসের ভাষায় এটা অবস্থান ভেক্টরের সময়ের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ,

\boxed{\vec v=\frac{d\vec r}{dt}}

একটি বাঁকা পথে চলা বস্তুর যেকোনো বিন্দুতে তাৎক্ষণিক বেগের দিক হবে সেই বিন্দুতে পথের স্পর্শকের (Tangent) দিকে। বইয়ের চিত্র ২-১২-তে দেখানো হয়েছে, সময়ের ব্যবধান ছোট হতে থাকলে সরণ ভেক্টর কীভাবে পথের স্পর্শকের দিকে এগোয়।

এখন $\vec r=x\hat i+y\hat j+z\hat k$ বসালে,

\vec v=\frac{dx}{dt}\hat i+\frac{dy}{dt}\hat j+\frac{dz}{dt}\hat k

তাহলে বেগের উপাংশগুলো,

\boxed{v_x=\frac{dx}{dt},\quad v_y=\frac{dy}{dt},\quad v_z=\frac{dz}{dt}}

এখানে আমরা কার্টেসিয়ান অক্ষগুলোর $\hat i$ , $\hat j$ , $\hat k$ -কে স্থির ধরেছি, তাই ডেরিভেটিভ নেওয়ার সময় এগুলো ধ্রুবক হিসেবে আছে। অন্য কো-অর্ডিনেট সিস্টেমে একক ভেক্টরের দিকও বদলাতে পারে; তখন হিসাবটা একটু অন্যরকম হবে।

ত্বরণ: বেগ বদলাচ্ছে কত দ্রুত?

মনেকরো, কাটুশ ড্রোনের গতি বাড়িয়ে দিল। আগে ড্রোনটা $5\,\mathrm{m/s}$ বেগে যাচ্ছিল, এখন যাচ্ছে $15\,\mathrm{m/s}$ বেগে। বেগ বদলেছে। এই বেগের পরিবর্তন কত দ্রুত হচ্ছে, সেটা পরিমাপ করার রাশিটির নাম ত্বরণ (Acceleration)।

গড় ত্বরণ হবে,

\boxed{\vec a_{\mathrm{av}}=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}}

আর তাৎক্ষণিক ত্বরণ,

\boxed{\vec a=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}=\frac{d\vec v}{dt}}

অর্থাৎ ত্বরণের উপাংশ,

\boxed{a_x=\frac{dv_x}{dt},\quad a_y=\frac{dv_y}{dt},\quad a_z=\frac{dv_z}{dt}}

ত্বরণের SI একক $\mathrm{m/s^2}$ । এই এককটাকে চাইলে ‘প্রতি সেকেন্ডে বেগের পরিবর্তন কত মিটার/সেকেন্ড’ এভাবেও চিন্তা করতে পারো।

এখানে একটু সতর্ক হও। ত্বরণ মানেই শুধু দ্রুতি বেড়ে যাওয়া নয়। ভেক্টর বেগের মান অথবা দিক-যেকোনোটি বদলালেই ত্বরণ হতে পারে। যেমন একটা গাড়ি একই দ্রুতিতে বৃত্তাকার পথে ঘুরলেও প্রতি মুহূর্তে তার বেগের দিক বদলাচ্ছে। তাই সেখানে ত্বরণ রয়েছে।

মনে রেখো
বেগ আর ত্বরণ সবসময় একই দিকে হবে এমন নয়। এরা একই দিকে, বিপরীত দিকে কিংবা পরস্পরের লম্বও হতে পারে।

উদাহরণ ২-৪: অবস্থান জানা থাকলে বেগ আর ত্বরণ

মনেকরো, একটা কণার গতির সমীকরণ দেওয়া আছে,

\begin{aligned} x(t)&=At^3+Bt\\ y(t)&=Ct^2+D \end{aligned}

এখানে $A=1.00\,\mathrm{m/s^3}$ , $B=-32.0\,\mathrm{m/s}$ , $C=5.0\,\mathrm{m/s^2}$ এবং $D=12.0\,\mathrm{m}$ । আমাদের $t=3\,\mathrm{s}$ সময়ে অবস্থান, বেগ আর ত্বরণ বের করতে হবে।

প্রথমে অবস্থান।

\begin{aligned} x(3)&=(1.00)(3)^3-(32.0)(3)=-69\,\mathrm{m}\\ y(3)&=(5.0)(3)^2+12.0=57\,\mathrm{m} \end{aligned}

সুতরাং,

\boxed{\vec r=(-69\,\mathrm{m})\hat i+(57\,\mathrm{m})\hat j}

এবার বেগ। অবস্থানের সমীকরণগুলোকে সময়ের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ নিলাম,

\begin{aligned} v_x&=\frac{dx}{dt}=3At^2+B\\ v_y&=\frac{dy}{dt}=2Ct \end{aligned}

$t=3\,\mathrm{s}$ বসালে,

\boxed{\vec v=(-5\,\mathrm{m/s})\hat i+(30\,\mathrm{m/s})\hat j}

সবশেষে ত্বরণ। আবার ডেরিভেটিভ,

\begin{aligned} a_x&=\frac{dv_x}{dt}=6At\\ a_y&=\frac{dv_y}{dt}=2C \end{aligned}

তাই,

\boxed{\vec a=(18\,\mathrm{m/s^2})\hat i+(10\,\mathrm{m/s^2})\hat j}

বইয়ের চিত্র ২-১৩-তে এই কণার পথের কয়েকটি অবস্থান এবং $t=3$ সেকেন্ডে $\vec r$ , $\vec v$ , $\vec a$ দেখানো হয়েছে। তিনটি ভেক্টরের দিক কিন্তু একই হওয়ার প্রয়োজন নেই। এমনকি এদের এককও আলাদা-তাই ছবিতে তীরগুলোর আপেক্ষিক দৈর্ঘ্য দিয়ে তিনটি রাশির মান সরাসরি তুলনা করা যাবে না।

এখন পর্যন্ত তিনটি অক্ষ নিয়ে আলোচনা করলাম। পরের পরিচ্ছেদে আমরা কাটুশকে একটা সোজা রাস্তা দিয়ে হাঁটাবো। তখন এই তিনটির মধ্যে একটা অক্ষই যথেষ্ট হবে।