২.৪: একমাত্রিক গতি

One-Dimensional Kinematics

মনেকরো, কাটুশ মঙ্গলগ্রহের একটা একদম সোজা রাস্তা দিয়ে স্পেসশীপ চালাচ্ছে। রাস্তায় ডানে বা বামে ঘুরার কোনো জায়গা নেই। সে চাইলে সামনে যেতে পারে, থামতে পারে, আবার উল্টো দিকে ফিরে আসতে পারে। কিন্তু পুরো সময়ই একই সরলরেখা বরাবর চলবে।

এ ধরনের গতিকে বলে একমাত্রিক গতি (One-Dimensional Motion)।

একমাত্রিক গতি বোঝাতে আমাদের একটি অক্ষই যথেষ্ট। আপাতত রাস্তা বরাবর $x$-অক্ষ নিলাম। সামনের দিককে বললাম $+x$, পেছনের দিককে $-x$। তাহলে যেকোনো সময়ে কাটুশ কোথায় আছে সেটা বোঝাতে শুধু $x(t)$ লিখলেই হবে।

এমন গতি শুধু স্পেসশীপেই নয়-সোজা রাস্তায় গাড়ি, ওপরে ওঠা লিফট, রেললাইনে ট্রেন, নিচে পড়তে থাকা পাথর, এমনকি সরু নলের মধ্যে ছুটে যাওয়া ইলেকট্রনের ক্ষেত্রেও দেখতে পারি।

প্রথম ঘটনা: বস্তুটা একদম স্থির

ধরো, একটা ছোট বল তারের ওপর $x=A$ অবস্থানে রাখা আছে। সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড পার হচ্ছে, কিন্তু বলটা নড়ছে না। তাহলে যেকোনো সময়ে তার অবস্থান,

এখানে $A$ একটা ধ্রুবক। যেহেতু অবস্থানের কোনো পরিবর্তন হচ্ছে না, তাই বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর,

অর্থাৎ অবস্থান–সময় ($x$–$t$) গ্রাফ হবে একটা অনুভূমিক সরলরেখা। আর বেগ–সময় ($v$–$t$) গ্রাফ শূন্যের ওপর অবস্থান করবে। বইয়ের চিত্র ২-১৪-তে এই দুটো গ্রাফ দেখানো হয়েছে।

একটা কথা, গ্রাফে অবস্থানকে ওপর-নিচে দেখালেই বস্তুটা ওপর-নিচে চলছে এমন নয়। গ্রাফের উল্লম্ব অক্ষ শুধু অবস্থানের সংখ্যা বোঝায়। বাস্তবে তারটা অনুভূমিক কিংবা অন্য যেকোনো দিকে থাকতে পারে।

দ্বিতীয় ঘটনা: বেগ একই থাকছে

এবার কাটুশ স্পেসশীপটা চালু করে প্রতি সেকেন্ডে ৫ মিটার করে সামনে যাচ্ছে। যদি $t=0$ সময়ে তার অবস্থান $A$ হয় আর বেগ $B$-তে স্থির থাকে, তাহলে,

এই সমীকরণটা তো স্কুলের $y=mx+c$-এর মতোই একটা সরলরেখার সমীকরণ! এখানে $x$–$t$ গ্রাফের ঢাল বা Slope হবে $B$।

আর আমরা আগেই দেখেছি,

অর্থাৎ অবস্থান–সময় গ্রাফের ঢাল হলো বেগ। ঢাল যত বেশি, বস্তু তত দ্রুত অবস্থান বদলাচ্ছে। $B$ ধনাত্মক হলে সামনের দিকে, ঋণাত্মক হলে উল্টো দিকে যাচ্ছে।

বইয়ের চিত্র ২-১৫-তে একই বেগে চলার সময় $x$–$t$ গ্রাফকে ঢালযুক্ত সরলরেখা এবং $v$–$t$ গ্রাফকে অনুভূমিক রেখা হিসেবে দেখানো হয়েছে।

অবস্থান–সময় গ্রাফের ঢাল

$x$–$t$ গ্রাফের কোনো বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল ওই মুহূর্তের বেগ: $v_x=dx/dt$।

তৃতীয় ঘটনা: বেগ বাড়ছে বা কমছে

এবার কাটুশ অ্যাক্সিলারেটর চাপলো। স্পেসশীপের বেগ বাড়ছে। বেগ বাড়ার অর্থ কী? অবস্থান–সময় গ্রাফের ঢালও সময়ের সাথে বদলাবে। ফলে গ্রাফটা আর আগের মতো সরলরেখা থাকবে না-বাঁকা হয়ে যাবে।

ধরো,

এখন সময়ের সাপেক্ষে একবার ডেরিভেটিভ নিলে,

আবার ডেরিভেটিভ নিলে,

অর্থাৎ এখানে ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর ধ্রুবক। $C$ ধনাত্মক হলে $v_x$ সময়ের সাথে বাড়ে। বইয়ের চিত্র ২-১৬(ক)-এ বক্ররেখার ঢাল বাড়তে বাড়তে যাওয়ার মাধ্যমে ঘটনাটি বোঝানো হয়েছে।

আরেক ধরনের গতি চিন্তা করো। স্প্রিংয়ের সাথে একটা বল বেঁধে সামনে-পেছনে দোলাতে দিলে তার অবস্থান হতে পারে,

এখানে বস্তুটি $+D$ আর $-D$-এর মধ্যে বারবার আসা-যাওয়া করে। বেগের দিকও বারবার বদলায়। বইয়ের চিত্র ২-১৬(খ)-এ এরকম দোলন দেখানো হয়েছে।

চতুর্থ ঘটনা: গাড়ি চললো, তারপর ব্রেক করলো

মনেকরো, তুমি একটা গাড়ির যাত্রাকে পাঁচ ভাগে ভাগ করলে। প্রথমে গাড়ি স্থির, তারপর গতি বাড়ালো, কিছুক্ষণ একই বেগে চললো, পরে ব্রেক করে গতি কমালো, সবশেষে আবার থেমে গেল।

এই যাত্রায় $a$–$t$, $v$–$t$ আর $x$–$t$ গ্রাফ কেমন হবে?

প্রথমে গাড়ি স্থির: $v=0$ এবং $a=0$। যখন গতি বাড়াচ্ছে, ত্বরণ ধনাত্মক; তাই $v$–$t$ গ্রাফ ওপরে ওঠা সরলরেখা। একই বেগে চলার সময় ত্বরণ শূন্য; তাই $v$–$t$ গ্রাফ অনুভূমিক। ব্রেক করলে বেগ কমবে, অর্থাৎ ত্বরণ ঋণাত্মক; তাই $v$–$t$ গ্রাফ নিচের দিকে নামবে। গাড়ি থেমে গেলে আবার বেগ শূন্য।

এবার $x$–$t$ গ্রাফের দিকে তাকাও। গতি বাড়ার সময় এর ঢাল ক্রমশ বাড়বে। একই বেগে চললে ঢাল স্থির থাকবে। ব্রেক করার সময় ঢাল কমবে। গাড়ি থেমে গেলে গ্রাফ অনুভূমিক হবে। বইয়ের চিত্র ২-১৭-তে এই পুরো ঘটনাটাই তিনটি গ্রাফে দেখানো হয়েছে।

গ্রাফ পড়ার মূল নিয়ম

অবস্থান–সময় গ্রাফের ঢাল = বেগ। আর বেগ–সময় গ্রাফের ঢাল = ত্বরণ। এই দুটো সম্পর্ক মনে রাখলে অনেক গতির সমস্যা ছবির দিকে তাকিয়েই বুঝতে পারবে।

বাস্তবে গাড়ির ত্বরণ মুহূর্তের মধ্যে এক মান থেকে আরেক মানে লাফিয়ে বদলায় না। বইয়ের গ্রাফগুলো হিসাব সহজ করার জন্য আদর্শায়িত। বাস্তব গ্রাফের তীক্ষ্ণ কোণগুলো একটু গোল হয়ে যাবে।

পঞ্চম ঘটনা: ওপর থেকে একটা পাথর ফেলে দিলে

ধরো, কাটুশ একটা উঁচু জায়গা থেকে পাথর ফেললো। ওপরের দিককে ধনাত্মক $y$-অক্ষ ধরে নিলাম। তাহলে পৃথিবীর মহাকর্ষের জন্য পাথরটি নিচের দিকে ত্বরণ পাবে, অর্থাৎ $a_y$ ঋণাত্মক।

শুরুতে পাথরের বেগ শূন্য। তারপর নিচের দিকে বেগের মান বাড়তে থাকবে। তাই $v_y$–$t$ গ্রাফ হবে ঋণাত্মক ঢালের সরলরেখা। অবস্থান $y$ কমবে, আর $y$–$t$ গ্রাফ সময়ের সাথে আরও খাড়া হয়ে নিচে নামবে। বইয়ের চিত্র ২-১৮-তে তিনটি গ্রাফ একসঙ্গে দেখানো হয়েছে।

ষষ্ঠ ঘটনা: মাটিতে পড়ে বলটা লাফ দিল

পাথরের বদলে এবার একটা ইস্পাতের ছোট বল ফেললে। বলটা মাটিতে আঘাত করে আবার ওপরে লাফ দিল। মাটিতে লাগার ঠিক আগে এর বেগ নিচের দিকে; লাফ দেওয়ার ঠিক পরে বেগ ওপরের দিকে।

অর্থাৎ খুব অল্প সময়ে বেগের দিক উল্টে গেল। সেটা সম্ভব হওয়ার জন্য ওই অল্প সময়ে বড় একটা ঊর্ধ্বমুখী ত্বরণ কাজ করতে হবে। মাটির সংস্পর্শে থাকার সময় ত্বরণের প্রকৃত পরিবর্তন বেশ জটিল, তবে সহজ হিসাবের জন্য একে অল্প সময়ের ধনাত্মক ত্বরণ হিসেবে ধরতে পারি।

তারপর বলটা ওপরে ওঠার সময় মহাকর্ষের কারণে ধীরে চলবে, এক মুহূর্ত থামবে, আবার নিচে পড়বে। বইয়ের চিত্র ২-১৯-এ এই ঘটনার $a$–$t$, $v$–$t$ এবং $y$–$t$ গ্রাফ দেখানো হয়েছে।

একমাত্রিক গতির প্রয়োজনীয় সমীকরণ

এবার সবকিছু এক জায়গায় লিখে ফেলি। বস্তুটা $t_1$ সময়ে $x_1$ থেকে $t_2$ সময়ে $x_2$-তে গেল। তাহলে সরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর,

আর সময়ের ব্যবধান,

সুতরাং গড় বেগ,

তাৎক্ষণিক বেগ,

একইভাবে গড় ত্বরণ,

আর তাৎক্ষণিক ত্বরণ,

এখানে একটা বিষয় পরিষ্কার রাখা দরকার। বেগ ধনাত্মক আর ত্বরণ ঋণাত্মক হতে পারে; আবার বেগ ঋণাত্মক আর ত্বরণ ধনাত্মকও হতে পারে। যেমন লিফট ওপরের দিকে উঠছে, কিন্তু ধীরে ধীরে থামছে। ওপরকে ধনাত্মক ধরলে বেগ ধনাত্মক, ত্বরণ ঋণাত্মক। উল্টোভাবে নিচে নামতে নামতে ব্রেক করলে বেগ ঋণাত্মক, ত্বরণ ধনাত্মক।

যখন বেগ আর ত্বরণ বিপরীত দিকে থাকে, তখন দ্রুতিবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর কমতে পারে। এই ঘটনাকে অনেক সময় Deceleration বলা হয়। তবে মনে রাখবে, শুধু ত্বরণের সামনে মাইনাস চিহ্ন দেখেই বলবে না যে গাড়ি ধীর হচ্ছে।

গড় বেগ থেকে তাৎক্ষণিক বেগ: সময় ছোট করার খেলা

এবার $x(t)=5.0+1.0t+6.0t^2$ সমীকরণ নিয়ে খেলি। এখানে $x$ মিটারে এবং $t$ সেকেন্ডে। $t_1=1.0\,\mathrm{s}$ সময়ে অবস্থান $x_1=12\,\mathrm{m}$।

ধরো, তুমি $t_2=3.0\,\mathrm{s}$ পর্যন্ত গড় বেগ বের করলে। তারপর $t_2$-কে $1.0$ সেকেন্ডের আরও কাছে আনলে। ফলাফলগুলো দেখো।

দেখছো, সময়ের ব্যবধান যত ছোট হচ্ছে, গড় বেগ তত $13\,\mathrm{m/s}$-এর দিকে এগোচ্ছে।

এবার সরাসরি ডেরিভেটিভ নিই,

$t=1$ সেকেন্ডে,

অর্থাৎ সীমা থেকে পাওয়া মান আর ডেরিভেটিভ থেকে পাওয়া মান একই। বইয়ের চিত্র ২-২০-এ দেখানো হয়েছে, গ্রাফের দুই বিন্দু জোড়া রেখাটা সময়ের ব্যবধান কমতে কমতে কীভাবে স্পর্শকের দিকে এগোয়।

উদাহরণ ২-৫: গাড়ির তেল শেষ হয়ে গেল!

ধরো, তুমি গাড়ি নিয়ে $43\,\mathrm{mi/h}$ বেগে $5.2\,\mathrm{mi}$ গেলে। হঠাৎ তেল শেষ! তারপর আরও $1.2\,\mathrm{mi}$ হেঁটে একটা গ্যাস স্টেশনে পৌঁছালে। হাঁটতে সময় লাগলো ২৭ মিনিট। শুরু থেকে গ্যাস স্টেশন পর্যন্ত গড় বেগ কত?

মোট সরণ (পুরো পথ একই দিকে),

গাড়ি চালানোর সময়,

মোট সময়,

তাহলে,

গাড়ি চালানোর সময় এত বেগ ছিল, তবুও পুরো যাত্রার গড় বেগ অনেক কম! কারণ শেষে হাঁটতে অনেকটা সময় লেগেছে। বইয়ের চিত্র ২-২১-এ গাড়ি চালানো আর হাঁটার অংশ দুটি আলাদা ঢালের রেখায় দেখানো হয়েছে। পুরো যাত্রার গড় বেগ হলো শুরু থেকে শেষ পর্যন্ত টানা রেখার ঢাল।

উদাহরণ ২-৬: তিনটি গ্রাফ থেকে কীভাবে তথ্য বের করবো?

এবার বইয়ের চিত্র ২-২২ কল্পনা করো। সেখানে একটা কণার অবস্থান, বেগ এবং ত্বরণ সময়ের সাথে কীভাবে বদলাচ্ছে, তিনটি গ্রাফে দেখানো হয়েছে। গুরুত্বপূর্ণ বিন্দুগুলোর নাম $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$।

$A$-তে কণাটি $t=0$ সময়ে $x=1.0\,\mathrm{m}$ অবস্থানে আছে। $D$-তে $t=2.5\,\mathrm{s}$ সময়ে অবস্থান $x=5.0\,\mathrm{m}$। আর $F$-তে $t=4.0\,\mathrm{s}$ সময়ে অবস্থান $x=1.4\,\mathrm{m}$।

প্রথমে $A$ থেকে $D$-এর গড় বেগ:

এবার $D$ থেকে $F$-এর গড় বেগ:

দ্বিতীয়টির সামনে মাইনাস কেন? কারণ ওই সময় বস্তুটি $x$-অক্ষের ঋণাত্মক দিকে ফিরে আসছে।

এবার $x$–$t$ গ্রাফের $B$ ও $F$ বিন্দুতে স্পর্শক আঁকলে ঢাল পাওয়া যায় প্রায় $+1.7\,\mathrm{m/s}$ এবং $-6.2\,\mathrm{m/s}$। $v$–$t$ গ্রাফেও ওই বিন্দুগুলোর বেগ একই। এটাই তো আমরা শিখেছি-অবস্থান–সময় গ্রাফের ঢাল মানেই বেগ।

গড় ত্বরণের জন্য প্রথম ও শেষ বেগ ব্যবহার করতে হবে। $A$-তে $v_A=+4.0\,\mathrm{m/s}$, $D$-তে $v_D=0$, আর $F$-তে $v_F=-6.2\,\mathrm{m/s}$। তাই,

$D$ বিন্দুতে $v$–$t$ গ্রাফের স্পর্শকের ঢাল প্রায় $-1.8\,\mathrm{m/s^2}$, যা ওই মুহূর্তের ত্বরণের সাথে মিলে যায়।

নিজে দেখে নাও

$x$–$t$ গ্রাফে কোথাও ঢাল শূন্য হলে তখন বেগ শূন্য। কিন্তু ত্বরণ শূন্য হতেই হবে এমন নয়। যেমন একটা বল সর্বোচ্চ উচ্চতায় গিয়ে এক মুহূর্ত থামলেও মহাকর্ষের ত্বরণ তখনও থাকে।

এতক্ষণ ত্বরণ কখনো বদলাচ্ছে, কখনো একই থাকছে-দুই ধরনের উদাহরণই দেখলাম। এবার বিশেষ একটা ক্ষেত্র নিয়ে আলোচনা করবো, যেখানে ত্বরণ পুরো সময় একই থাকে। তখন কয়েকটা চমৎকার সমীকরণ দিয়ে পুরো গতিটাই হিসাব করে ফেলা যায়।