১০.১ একটি কণার কৌণিক ভরবেগ (Angular Momentum of a Particle)

বল ছুড়ে দিলে সে সোজা চলে, তবু তার কৌণিক ভরবেগ থাকতে পারে?

ধরো, তুমি একটা খেলার মাঠে দাঁড়িয়ে আছো। তোমার বন্ধু একটা বল ছুড়ল। বলটা তোমার সামনে দিয়ে সোজা পথ ধরে চলে গেল-তোমাকে ঘিরে একটা চক্করও দিল না।

এবার প্রশ্ন করি: তোমার অবস্থানকে কেন্দ্র ধরে বলটার কৌণিক ভরবেগ (angular momentumবিস্তারিত জানতে দেখো:৬.২ রৈখিক ভরবেগ) আছে কি?

শুনতে অদ্ভুত লাগছে, তাই না? আমরা তো এতক্ষণ ঘূর্ণন মানেই চাকা, পাখা, লাটিমের কথা ভাবছিলাম। কিন্তু কৌণিক ভরবেগের জন্য বলটাকে সত্যি সত্যি তোমাকে ঘিরে ঘুরতে হবে, এমন কোনো শর্ত নেই। কোন বিন্দুর সাপেক্ষে হিসাব করছি, সেটাই এখানে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।

আগের অধ্যায়ে আমরা দেখেছি, কোনো বল বস্তুকে ঘোরাতে কতটা কার্যকর হবে তা মাপা হয় টর্কবিস্তারিত জানতে দেখো:৯.১ টর্ক দিয়ে। এই অধ্যায়ে জানব, গতিশীল বস্তুর ঘূর্ণন-সম্পর্কিত অবস্থাটাকে কী দিয়ে বর্ণনা করা যায়। সেই রাশিই কৌণিক ভরবেগ।

সরল ভরবেগ থেকে কৌণিক ভরবেগ

তোমার নিশ্চয়ই মনে আছে, $m$ ভরের একটি কণা $\vec v$ বেগে চললে তার রৈখিক ভরবেগ,

এবার একটা নির্দিষ্ট বিন্দু $O$ বেছে নিই। বিন্দুটি থেকে কণার অবস্থান নির্দেশ করছে $\vec r$। তাহলে ওই বিন্দুর সাপেক্ষে কণার কৌণিক ভরবেগ সংজ্ঞায়িত করি,

এটি মূল বইয়ের সমীকরণ (১০-১)। এখানে $\times$ সাধারণ গুণ নয়, ভেক্টর গুণফল (cross product)। ছোট হাতের $\ell$ একটি কণার কৌণিক ভরবেগ বোঝায়; পরে অনেক কণার মোট কৌণিক ভরবেগের জন্য $\vec L$ ব্যবহার করব।

কৌণিক ভরবেগের SI এককবিস্তারিত জানতে দেখো:ভৌত রাশি, মানদণ্ড এবং একক,

লক্ষ করো, $\vec r$-এর শুরু কোথা থেকে, তা না বললে $\vec\ell$-ও নির্দিষ্ট করে বলা যায় না। তাই সবসময় প্রশ্ন করবে, কোন বিন্দুর সাপেক্ষে কৌণিক ভরবেগ?

এর মান বের করব কীভাবে?

ধরো, $\vec r$ আর $\vec p$-এর মাঝের ছোট কোণটি $\phi$। তাহলে cross product-এর নিয়ম অনুযায়ী,

আবার $b=r\sin\phi$ যদি হয় $O$ থেকে কণার গতিপথের লম্ব দূরত্ব, তাহলে,

এটাকে অন্যভাবেও লেখা যায়। $\vec r$-এর লম্ব দিকে ভরবেগের উপাংশবিস্তারিত জানতে দেখো:৬.৪ ভরবেগের সংরক্ষণ $p_\perp=p\sin\phi$ হলে,

এই তিনটি একই সম্পর্কের তিনটি রূপ (মূল বইয়ের সমীকরণ ১০-২, ১০-৩ক এবং ১০-৩খ)। যেটা ব্যবহার করলে হিসাব সহজ হয়, সেটাই নাও।

মজার ব্যাপার: একটা বল সোজা পথে চললেও তার গতিপথ যদি $O$ বিন্দু থেকে $b$ দূরে হয়, তাহলে $\ell=mvb$ শূন্য নয়। কিন্তু বলটা যদি ঠিক $O$ বিন্দুর উপর দিয়েই যায়, তখন $b=0$, তাই ওই বিন্দুর সাপেক্ষে তার কৌণিক ভরবেগ শূন্য।

দিকটা কোন দিকে? Right-hand rule

কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর। তাই মানের পাশাপাশি দিকও আছে।

ডান হাতের আঙুলগুলো প্রথমে $\vec r$-এর দিকে রাখো, তারপর ছোট কোণ ধরে $\vec p$-এর দিকে বাঁকাও। বুড়ো আঙুল যে দিকে দেখাবে, সেদিকেই $\vec\ell$। অর্থাৎ $\vec\ell$ অবস্থান ও ভরবেগের সমতলের লম্ব দিকে থাকে।

• $xy$-সমতলে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরার প্রবণতা হলে $\ell_z$ ধনাত্মক।
• ঘড়ির কাঁটার দিকে হলে $\ell_z$ ঋণাত্মক।

মূল বইয়ের চিত্র ১০-১-এ অবস্থান ভেক্টরবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর, রৈখিক ভরবেগ এবং কৌণিক ভরবেগের এই জ্যামিতিক সম্পর্ক দেখানো হয়েছে।

টর্কের সঙ্গে কৌণিক ভরবেগের সম্পর্ক

এবার একটা প্রশ্ন: কোনো কণার কৌণিক ভরবেগ কীভাবে বদলাবে?

আগের অধ্যায়ে শিখেছিলে,

অন্যদিকে, কৌণিক ভরবেগের সংজ্ঞা থেকে,

দুটি ভেক্টরের গুণফলকে ডিফারেনশিয়েট করলে পাই,

এখানে $d\vec r/dt=\vec v$ এবং $\vec p=m\vec v$। কাজেই প্রথম পদটি,

কারণ সমান্তরাল দুটি ভেক্টরের cross product শূন্য। আর নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র অনুযায়ী,

সুতরাং,

অর্থাৎ,

এটাই সমীকরণ (১০-৬)-কৌণিক ভরবেগের জন্য নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রের রূপ।

এখানে একটা সূক্ষ্ম কিন্তু জরুরি বিষয়: $\vec\ell$ এবং $\vec\tau$ একই স্থির উৎসবিন্দুর সাপেক্ষে বের করতে হবে, এবং সেটি জড় প্রসঙ্গ কাঠামোতে (inertial frameবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের প্রথম গতিসূত্র ও জড়তা) হতে হবে। তিনটি অক্ষের জন্য আলাদাভাবে লিখতে পারি,

টর্ক না থাকলে কৌণিক ভরবেগ বদলানোর কারণও নেই-এই ভাবনাটাই একটু পরে সংরক্ষণ সূত্রে ফিরে আসবে।

উদাহরণ ১০.১: সোজা নিচে পড়া বস্তুর কৌণিক ভরবেগ

মনেকরো, $P$ থেকে একটা ছোট বস্তু ছেড়ে দিলে। বস্তুটি উল্লম্বভাবে নিচে পড়ছে। তুমি $O$ নামে এমন একটি বিন্দু বেছেছো, যা তার পড়ার সরল পথ থেকে অনুভূমিকভাবে $b$ দূরে। মূল বইয়ের চিত্র ১০-২-এ ঠিক এই অবস্থাটি আছে।

কণার ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা $m$। বায়ুর বাধা উপেক্ষা করছি, আর শুরুতে তার বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর শূন্য। সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড $t$ পরে,

(ক) টর্ক: কণার উপর বল শুধু $mg$ নিচের দিকে। এর ক্রিয়ারেখা থেকে $O$-এর লম্ব দূরত্ব $b$। তাই টর্কের মান,

(খ) কৌণিক ভরবেগ: একই বিন্দুর সাপেক্ষে,

অর্থাৎ,

দিকের জন্য right-hand rule ব্যবহার করলে দেখা যাবে $\vec\tau$ ও $\vec\ell$ একই দিকে, চিত্রটির সমতলের লম্ব দিকে।

(গ) সূত্রটা মেলে তো?

একদম মিলে গেল! বস্তুটি সোজা নিচে পড়ছে, তবু $O$-এর সাপেক্ষে তার কৌণিক ভরবেগ রয়েছে এবং বদলাচ্ছে। আর যদি উৎসবিন্দু সরিয়ে গতিপথের উপর রাখো, $b=0$ হওয়ায় টর্ক ও কৌণিক ভরবেগ দুটোই শূন্য হবে।

একটু ভেবে দেখো

একটি বলকে তুমি নিজের সামনে দিয়ে যেতে দেখলে। বলটির ভর ও বেগ একই রেখে তার গতিপথকে তোমার কাছ থেকে দ্বিগুণ দূরে সরিয়ে নেওয়া হলো। তোমার অবস্থানের সাপেক্ষে কৌণিক ভরবেগের মান কী হবে? আর তুমি যদি বলটির গতিপথের উপর গিয়ে দাঁড়াও, তাহলে?

মনে রেখো

কৌণিক ভরবেগ শুধু ‘ঘুরছে কি না’ তার উত্তর নয়; নির্বাচিত বিন্দুর সাপেক্ষে অবস্থান ও ভরবেগের ভেক্টর গুণফল। কোনো বাহ্যিক টর্কবিস্তারিত জানতে দেখো:১০.২ কণা-ব্যবস্থা সেই কৌণিক ভরবেগকে সময়ের সঙ্গে বদলায়।