৩.৫: নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র

Newton’s Second Law

মনেকরো, কাটুশ এবার দুটো পরীক্ষা করলো। প্রথম পরীক্ষায় একটা ছোট বাক্সকে একই দিকে ঠেলে ঠেলে বল বাড়াতে থাকলো। বল বাড়ানোর সঙ্গে সঙ্গে বাক্সের ত্বরণও বাড়তে লাগলো। দ্বিতীয় পরীক্ষায় একই বল দিয়ে একটার পর একটা ভারী বাক্স ঠেললো। দেখা গেল, বাক্স যত ভারী হচ্ছে ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর তত কমছে।

আগের দুটো পরিচ্ছেদে আমরা এই সম্পর্কগুলো আলাদা আলাদা করে দেখেছি। এবার সবকিছু একসঙ্গে লিখি,

এই ছোট্ট সমীকরণটাই নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র।

নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র

কোনো বস্তুর ওপর ক্রিয়াশীল সব বাহ্যিক বলের ভেক্টর যোগফল সেই বস্তুর ভর ও ত্বরণের গুণফলের সমান। ফলে ত্বরণ নিট বলের দিকে হয়, নিট বলের মানের সমানুপাতিক এবং ভরের ব্যস্তানুপাতিক।

এখানে কিন্তু $F$ বলতে একটা মাত্র বল বোঝানো হচ্ছে না। বস্তুর ওপর যতগুলো বাহ্যিক বলবিস্তারিত জানতে দেখো:৭.২ দুই-কণা ব্যবস্থা কাজ করছে, তাদের সবগুলোর যোগফল বোঝাচ্ছে $\sum\vec F$।

সমীকরণটাকে আরেকভাবে লিখতে পারি,

এবার খুব সহজেই বোঝা যাচ্ছে, ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা একই রেখে নিট বল দ্বিগুণ করলে ত্বরণও দ্বিগুণ হবে। আর নিট বল একই রেখে ভর দ্বিগুণ করলে ত্বরণ অর্ধেক হয়ে যাবে।

বল ভেক্টর বলেই কী সুবিধা?

ধরো, কাটুশের বাক্সটা একদিকে নয়, তিন দিকে বল পাচ্ছে। একটা ডানদিকে, একটা বাঁদিকে, আরেকটা ওপরের দিকে। তখন কি আমরা শুধু বলগুলোর মান যোগ করবো?

না। কারণ বলের দিকও আছে। তাই x, y, z-এই তিন অক্ষ বরাবর আলাদা করে লিখতে পারি,

মনেকরো, ডানদিকে $15\,\mathrm N$ আর বাঁদিকে $7\,\mathrm N$ বল কাজ করছে। ডানদিককে ধনাত্মক ধরলে,

যদি বাক্সের ভর $4\,\mathrm{kg}$ হয়, তাহলে,

অর্থাৎ বাক্সটার ত্বরণ ডানদিকে $2\,\mathrm{m/s^2}$। প্রথমেই ধনাত্মক দিক ঠিক করে নেওয়ায় হিসাবটা কত সহজ হলো দেখলে?

বলের একক নিউটন কেন?

আগে আমরা জেনেছি,

SI পদ্ধতিতে ভরের এককবিস্তারিত জানতে দেখো:ভৌত রাশি, মানদণ্ড এবং একক কিলোগ্রামবিস্তারিত জানতে দেখো:ভরের মানদণ্ড ($\mathrm{kg}$), আর ত্বরণের একক মিটার/সেকেন্ড-বর্গ ($\mathrm{m/s^2}$)। তাই বলের একক হবে,

এই যৌগিক এককটিরই নাম নিউটন (Newton), সংক্ষেপে $\mathrm N$। অর্থাৎ,

এক নিউটন বল প্রয়োগ করলে এক কিলোগ্রাম ভরের বস্তুর $1\,\mathrm{m/s^2}$ ত্বরণ হবে-অবশ্যই সেই এক নিউটন যদি বস্তুর ওপর নিট বল হয়।

বল-এর মাত্রাবিস্তারিত জানতে দেখো:মাত্রিক বিশ্লেষণ,

অন্য একক পদ্ধতিতেও বল মাপা যায়। যেমন cgs পদ্ধতিতে একক ডাইন (dyne) আর ব্রিটিশ পদ্ধতিতে বলের একক পাউন্ড (pound-forceবিস্তারিত জানতে দেখো:চিরায়ত বলবিদ্যা)। বইয়ের সারণি ৩-২-এর এককগুলো নিচে দেওয়া হলো।

Free-Body Diagram: কোন বল কোথায় কাজ করছে?

মনেকরো, একটা বাক্স ঠেলে সরাতে গিয়ে কাটুশ বলের হিসাব করতে বসলো। কিন্তু কোন বলটা যোগ করবে আর কোনটা বাদ দেবে বুঝতে পারছে না। তখন আমরা ব্যবহার করবো Free-Body Diagram (FBD)।

FBD মানে হচ্ছে, যে বস্তুর গতি হিসাব করতে চাই, সেটাকে অন্য সব বস্তু থেকে আলাদা করে কল্পনা করবো। তারপর শুধু সেই বস্তুর ওপর কাজ করা বলগুলো তীরচিহ্ন দিয়ে আঁকবো।

এই ধরনের অঙ্কে কাজ করার একটা সহজ নিয়ম আছে:

1. আগে একটা উপযুক্ত জড় প্রসঙ্গ কাঠামোবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের প্রথম গতিসূত্র ও জড়তা আর অক্ষের ধনাত্মক দিক ঠিক করো।
2. যে বস্তুর ওপর হিসাব করছো, সেটার FBD আঁকো।
3. প্রতিটি বল কোন বস্তু কার ওপর প্রয়োগ করছে সেটা লিখে রাখো।
4. প্রতিটি অক্ষ বরাবর বলের যোগফল বের করে $\sum F_x=ma_x$ কিংবা উপযুক্ত সমীকরণ ব্যবহার করো।

দুটি বস্তুর নাম A আর B হলে $\vec F_{AB}$ দিয়ে ‘B-এর দ্বারা A-এর ওপর বল’ বোঝানো যেতে পারে। বইয়ে এই নামকরণটাই ব্যবহার করা হয়েছে। পরে তৃতীয় সূত্রে বোঝা যাবে এটা কেন এত গুরুত্বপূর্ণ।

উদাহরণ ৩-১: বরফের ওপর স্লেজ ঠেলা

মনেকরো, বরফের ওপর $240\,\mathrm{kg}$ ভরের একটা স্লেজ রাখা আছে। কাটুশ সেটাকে ডানদিকে $130\,\mathrm N$ ধ্রুব বল দিয়ে ঠেলছে। বরফের ঘর্ষণ খুব কম, তাই আপাতত ঘর্ষণ বাদ দিলাম। স্লেজটা স্থির অবস্থা থেকে $2.3\,\mathrm m$ দূর গেল। এবার বলো, শেষ বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর কত?

প্রথমে ত্বরণ বের করি,

শুরুর বেগ শূন্য, অর্থাৎ $v_0=0$। আগের অধ্যায়ের সমত্বরণের সূত্র,

থেকে,

এখন,

সুতরাং স্লেজটার শেষ বেগ প্রায় $1.6\,\mathrm{m/s}$ ডানদিকে। বইয়ের চিত্র ৩-৭(ক) ও (খ)-এ এই পরীক্ষার স্লেজ আর তার বল দেখানো হয়েছে।

উদাহরণ ৩-২: এবার উল্টোদিকে ঠেলা

ধরো, স্লেজটা ইতিমধ্যেই ডানদিকে $1.6\,\mathrm{m/s}$ বেগে চলছে। কাটুশ চায় $4.5\,\mathrm s$ পরে স্লেজটা উল্টো দিকে সমান মানের বেগে চলুক। অর্থাৎ শুরুর বেগ $+1.6$, শেষের বেগ $-1.6\,\mathrm{m/s}$।

ত্বরণ হবে,

তাহলে দরকারি নিট বল,

এখানে মাইনাস চিহ্ন মানে বল বাঁদিকে প্রয়োগ করতে হবে। সেটা প্রথমে স্লেজটার ডানদিকে চলা থামাবে, তারপর বাঁদিকে চালাবে। বইয়ের চিত্র ৩-৭(গ)-এ উল্টোদিকের বল দেখানো হয়েছে।

উদাহরণ ৩-৩: ব্রেক কষা ট্রাকের ওপর বাক্স

এবার একটা ট্রাকের ওপর $360\,\mathrm{kg}$ ভরের বাক্স রাখা আছে। ট্রাক $17\,\mathrm s$ সময়ে $105\,\mathrm{km/h}$ থেকে $62\,\mathrm{km/h}$ বেগে নেমে এলো। বাক্সটা ট্রাকের ওপর পিছলায়নি। তাহলে বাক্সের ওপর অনুভূমিক বল কত?

আগে বেগগুলো একই এককে নিয়ে ত্বরণ বের করি,

অতএব,

অর্থাৎ ট্রাকের চলার বিপরীত দিকে বাক্সের ওপর প্রায় $250\,\mathrm N$ বল কাজ করছে। বাক্সটা পিছলায়নি বলে এই বল ট্রাকের মেঝের স্থির ঘর্ষণ কিংবা বাঁধা স্ট্র্যাপের মতো কোনো সংযোগ থেকে এসেছে। যথেষ্ট বল না থাকলে বাক্সটা ট্রাকের তুলনায় সামনে পিছলে যেত।

সাধারণ ভুল

$F=ma$-তে $F$ বলতে একটা সুবিধামতো বেছে নেওয়া বল নয়, নিট বাহ্যিক বল বোঝায়। আর $a$-এর আগে ঋণাত্মক চিহ্ন থাকলে সেটা সবসময় গতি কমছে বোঝায় না-প্রথমে কোন দিককে ধনাত্মক ধরেছো সেটা দেখতে হবে।