⚛ Science in Minutes

৭.৪ কঠিন বস্তুর ভরকেন্দ্র (Center of Mass of Solid Objects)

একটা গোল চাকতি থেকে কিছুটা কেটে ফেললে ভরকেন্দ্র কোন দিকে যাবে?

ধরো, কাটুশ একটা গোল ধাতব চাকতি বানিয়েছে। পুরো চাকতিটা সমান পুরু এবং একই ধাতুর। তাই স্বাভাবিকভাবেই তার ভরকেন্দ্র একদম মাঝখানে।

এবার কাটুশ চাকতির বাঁ দিক থেকে একটা ছোট গোল অংশ কেটে বাদ দিল। বাকি চাকতিটা দেখতে আর আগের মতো সুষম নেই। এখন ভরকেন্দ্র কি এখনও মাঝখানে থাকবে?

না। বাঁ দিকে ভর কমে যাওয়ায় ভরকেন্দ্র ডান দিকে সরে যাবে। কিন্তু কত দূরে? সেটা বের করতে আমাদের অনেক কণার সূত্রটা একটু নতুনভাবে লিখতে হবে।

অনেক কণা থেকে অবিচ্ছিন্ন বস্তু

একটা কঠিন বস্তুতে অসংখ্য পরমাণু থাকে। একেকটা পরমাণুর জন্য mnxnm_nx_n যোগ করতে বসলে অঙ্ক প্রায় অসম্ভব হয়ে যাবে। তার বদলে বস্তুটাকে অসংখ্য ক্ষুদ্র অংশে ভাগ করি। প্রতিটি ক্ষুদ্র অংশের ভর dmdm।

তারপর অংশগুলোর আকার খুব ছোট করতে থাকলে যোগফল বদলে যায় সমাকলনে (integral):

xcm=1M∫x dm,ycm=1M∫y dm,zcm=1M∫z dm.\boxed{x_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M}\int x\,dm}, \qquad \boxed{y_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M}\int y\,dm}, \qquad \boxed{z_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M}\int z\,dm}.

ভেক্টর আকারে,

r⃗cm=1M∫r⃗ dm.\boxed{\vec r_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M}\int\vec r\,dm}.

এখানে MM হলো পুরো বস্তুর মোট ভর। সমাকলন পুরো বস্তুর ওপর করতে হবে।

অঙ্ক না করেও কি ভরকেন্দ্রের অবস্থান আন্দাজ করা যায়?

অনেক সময় যায়। এর চাবিকাঠি হলো প্রতিসাম্য (symmetry)।

  • গোলীয় প্রতিসাম্য থাকলে ভরকেন্দ্র গোলকের কেন্দ্রেই হবে। তবে ভরের বণ্টন সব দিকে একই নিয়ম মেনে হতে হবে।
  • একটি অক্ষের চারপাশে নলাকার প্রতিসাম্য থাকলে ভরকেন্দ্র সেই অক্ষের ওপর থাকবে।
  • কোনো তলের দুই পাশে ভর সমভাবে বিতরণ হলে ভরকেন্দ্র সেই তলের মধ্যেই থাকবে।

এবার একটা সমসত্ত্ব ত্রিভুজাকার পাত ভাবো। পাতটাকে তার এক বাহুর সমান্তরাল অসংখ্য সরু ফালিতে ভাগ করলে প্রতিটি ফালির ভরকেন্দ্র মাঝখানে পড়ে। ফলে পুরো ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র থাকবে সেই ফালিগুলোর মধ্যবিন্দু যোগ করা রেখার ওপর। তিন বাহুর জন্য একই কাজ করলে তিনটি রেখা যেখানে ছেদ করবে, সেখানেই ভরকেন্দ্র (মূল বইয়ের চিত্র ৭-১২)। সমসত্ত্ব ত্রিভুজের ক্ষেত্রে এই বিন্দুই মধ্যমাগুলোর ছেদবিন্দু।

উদাহরণ ৭.৪: ছিদ্রযুক্ত গোল চাকতির ভরকেন্দ্র

একটা সমসত্ত্ব গোল চাকতির ব্যাসার্ধ 2R2R। তার বাঁদিকে ব্যাসার্ধ RR-এর একটা গোল অংশ কেটে ফেলা হয়েছে। ছোট বৃত্তটির কেন্দ্র বড় চাকতির কেন্দ্র থেকে RR দূরে বাঁ দিকে-অর্থাৎ xD=−Rx_D=-R। বাকি অংশের ভরকেন্দ্র কোথায়?

এখানে একটা মজার কৌশল আছে: যে অংশ কেটে বাদ দেওয়া হয়েছে, সেটাকে ঋণাত্মক ভরের অংশ হিসেবে ভাবতে পারো। অথবা, বইয়ের মতো, বাদ দেওয়া অংশটা আবার বসিয়ে একটা পূর্ণ চাকতি কল্পনা করো।

পূর্ণ চাকতির ভরকেন্দ্র xC=0x_C=0। বাদ দেওয়া অংশের ভর mDm_D এবং বাকি চাকতির ভর mXm_X হলে,

0=mDxD+mXxXmD+mX.0=\frac{m_Dx_D+m_Xx_X}{m_D+m_X}.

এখান থেকে,

xX=−mDmXxD.x_X=-\frac{m_D}{m_X}x_D.

একই পুরুত্ব ও ঘনত্বের জন্য ভর ক্ষেত্রফলের সমানুপাতিক। তাই,

mDmX=πR2π(2R)2−πR2=13.\frac{m_D}{m_X} =\frac{\pi R^2}{\pi(2R)^2-\pi R^2} =\frac13.

এখন xD=−Rx_D=-R বসাই:

xX=R3.\boxed{x_X=\frac{R}{3}}.

অর্থাৎ বড় চাকতির কেন্দ্র থেকে ভরকেন্দ্র ডান দিকে R/3R/3 দূরে। বাঁ দিকের অংশ কেটে ফেলায় ফলটা এমন হওয়াই স্বাভাবিক।

উদাহরণ ৭.৫: অর্ধবৃত্তাকার তারের ভরকেন্দ্র

ধরো, একটা সরু, সমান ভরের বণ্টনযুক্ত তারকে RR ব্যাসার্ধের অর্ধবৃত্তে বাঁকানো হয়েছে। অর্ধবৃত্তটা xx-অক্ষের ওপরে, আর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে। ভরকেন্দ্র কোথায়?

বাঁ ও ডান দিক একে অপরের প্রতিচ্ছবি। তাই প্রতিসাম্য থেকে,

xcm=0.\boxed{x_{\mathrm{cm}}=0}.

কিন্তু ওপর-নিচে প্রতিসাম্য নেই। তাই yy-স্থানাঙ্ক বের করতে হবে। কোণ θ\theta-তে ছোট একটা তারের টুকরোর ভর dmdm ধরি। তারটি সমসত্ত্ব, তাই,

dm=Mπ dθ,y=Rsin⁡θ.dm=\frac{M}{\pi}\,d\theta, \qquad y=R\sin\theta.

এখানে θ\theta-এর মান 00 থেকে π\pi পর্যন্ত যাবে। সমাকলন করলে,

ycm=1M∫y dm=Rπ∫0πsin⁡θ dθ=2Rπ≈0.637R.\begin{aligned} y_{\mathrm{cm}} &=\frac1M\int y\,dm\\ &=\frac{R}{\pi}\int_0^{\pi}\sin\theta\,d\theta\\ &=\boxed{\frac{2R}{\pi}\approx0.637R}. \end{aligned}

অর্থাৎ ভরকেন্দ্র বৃত্তের কেন্দ্র থেকে প্রায় 0.637R0.637R ওপরে। লক্ষ করো, বিন্দুটি তারের ওপর নয়-অর্ধবৃত্তের ফাঁকা জায়গায়! ভরকেন্দ্রের কোনো বস্তুর বস্তুগত অংশের ওপরেই থাকতে হবে, এমন নয়।

উদাহরণ ৭.৬: গোল খোলের ভেতরে বল গড়িয়ে এলে খোলটা কতটা সরবে?

এবার একটা গোলাকার খোল (spherical shell) কল্পনা করো। খোলের ভর mm, ভেতরের ব্যাসার্ধ 2R2R। এর ভেতরে RR ব্যাসার্ধের আরেকটি বল আছে, তারও ভর mm। শুরুতে বলটা খোলের ভেতরে বাঁ পাশের প্রান্তে আছে। ছেড়ে দিলে বল গড়িয়ে নিচে এসে থামে। টেবিলের সঙ্গে খোলের অনুভূমিক ঘর্ষণ নেই। খোলটা কতটা সরবে?

এই অঙ্কে বল আর খোলকে একটা ব্যবস্থা ধরো। বাইরে থেকে অনুভূমিক কোনো লব্ধি বল নেই। তাই অনুভূমিক দিকে ভরকেন্দ্রের ত্বরণ শূন্য। শুরুতে পুরো ব্যবস্থা স্থির ছিল, অর্থাৎ ভরকেন্দ্রের অনুভূমিক অবস্থান অপরিবর্তিত থাকবে।

শুরুর অবস্থায় খোলের কেন্দ্রকে x=0x=0 ধরি। ছোট বলটির কেন্দ্র তখন x=−Rx=-R। দুই বস্তুর ভর সমান, তাই শুরুর ভরকেন্দ্র,

xcm,i=m(−R)+m(0)2m=−R2.x_{\mathrm{cm},i}=\frac{m(-R)+m(0)}{2m}=-\frac R2.

শেষে বলটা খোলের ঠিক নিচে থামলে দুটির কেন্দ্রের অনুভূমিক স্থানাঙ্ক একই হবে। সেটি dd হলে,

xcm,f=d.x_{\mathrm{cm},f}=d.

সুতরাং,

d=−R2.\boxed{d=-\frac R2}.

ঋণাত্মক চিহ্নের অর্থ খোলটা বাঁ দিকে R/2R/2 সরেছে। বল আর খোলের মধ্যকার ঘর্ষণ তাদের আপেক্ষিক গতি বদলাতে পারে, কিন্তু সেটা পুরো ব্যবস্থার অভ্যন্তরীণ বল-তাই ভরকেন্দ্রের অনুভূমিক অবস্থান বদলায় না।

মনে রেখো

সমসত্ত্ব আর প্রতিসম বস্তুর ক্ষেত্রে জ্যামিতি দিয়ে অনেক অঙ্ক সহজ হয়। আর অনিয়মিত আকারের জন্য সমাকলন কিংবা ছোট ছোট পরিচিত অংশে ভাগ করার পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারো। ভরকেন্দ্র সব সময় বস্তুর ভেতরে থাকবে-এই ধারণাটা ভুলে যাও।