৫.৫ সময়নির্ভর বল (ঐচ্ছিক) (Time-Dependent Forces)

এই অংশে সামান্য integral calculus ব্যবহার করা হবে। Integration এখনও না শিখে থাকলে ধারণাটা বুঝে আপাতত এগিয়ে যেতে পারো।

গাড়ির ব্রেক কি সবসময় একই জোরে কাজ করে?

সাধারণ অঙ্কে আমরা প্রায়ই ধরে নিই, গাড়ির ব্রেক করার সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর ধ্রুব। কিন্তু বাস্তবে ড্রাইভার কখনও প্রথমে আলতো করে ব্রেক ধরে, তারপর ধীরে ধীরে চাপ বাড়ায়। তখন ব্রেকিং বল সময়ের সঙ্গে বদলায়।

ধরো, কোনো বস্তুর ওপর $x$ দিকে মোট বল $F_x(t)$ কাজ করছে। নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র অনুযায়ী,

আবার ত্বরণ হলো বেগের পরিবর্তনের হার:

দুটো এক করলে,

অর্থাৎ

শুরুতে $t=0$ সময়ে বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর $v_{0x}$ হলে, $t$ সময় পরে বেগ বের করতে দুই পাশে integration করি:

এখানে $t'$ integration-এর চলক; ওপরের সীমার $t$ হলো আমাদের কাঙ্ক্ষিত সময়।

এবার অবস্থানের জন্য মনে করো,

তাই

এই দুটি সূত্র আসলে নতুন কোনো গতিসূত্র নয়। এগুলো নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র আর বেগ-ত্বরণের সংজ্ঞারই সাধারণ রূপ। বল ধ্রুব হলে এগুলো থেকে পরিচিত $v=v_0+at$ এবং $x=x_0+v_0t+\tfrac12at^2$ ফিরে পাওয়া যায়।

বল খুব জটিল হলে, integration হাতে না করে computational বা numerical method ব্যবহার করা যায়।

উদাহরণ ৫.১১: ব্রেকের চাপ ধীরে ধীরে বাড়ছে

$1260\,\mathrm{kg}$ ভরের একটা গাড়ি $105\,\mathrm{km/h}$, অর্থাৎ প্রায় $29.2\,\mathrm{m/s}$ বেগে চলছে। ড্রাইভার ব্রেক এমনভাবে ধরল, যাতে ব্রেকিং বলের মান প্রতি সেকেন্ডে $3360\,\mathrm{N}$ করে বাড়ে।

প্রশ্ন দুটি:

1. গাড়ি থামতে কত সময় লাগবে?
2. সেই সময়ে গাড়ি কত দূর যাবে?

গাড়ির গতির দিককে ধনাত্মক ধরি। ব্রেকিং বল বিপরীত দিকে, তাই

বেগের সূত্রে বসালে,

গাড়ি থামলে $v_x(t_1)=0$। তাই

এবার অবস্থানের সমীকরণ বের করি:

$x_0=0$ আর $t=4.68\,\mathrm s$ বসালে,

অর্থাৎ গাড়িটি প্রায় ৪.৬৮ সেকেন্ডে থামল, আর ততক্ষণে প্রায় ৯১.১ মিটার চলল।

একটা বিষয় লক্ষ করো: এখানে ব্রেকের চাপ সময়ের সঙ্গে বাড়ছিল। তাই প্রথম এক সেকেন্ডে বেগ কমেছে মাত্র প্রায় $1.3\,\mathrm{m/s}$; কিন্তু শেষ এক সেকেন্ডে প্রায় $11.2\,\mathrm{m/s}$ কমেছে। ধ্রুব ত্বরণের ক্ষেত্রে সমান সময়ের ব্যবধানে বেগ সমান পরিমাণে কমত।

ভেবে দেখো: শুরুতে আলতো ব্রেক করে পরে জোরে ব্রেক করার সুবিধা কী হতে পারে? আবার অসুবিধাই বা কোথায়?