⚛ Science in Minutes

১০.২ কণা-ব্যবস্থা (Systems of Particles)

একটা সাইকেলের চাকা কি আসলে একটাই বস্তু?

ধরো, একটা সাইকেলের চাকা খুলে হাতে ধরেছো। বাইরে থেকে দেখলে মনে হয়, একটা বস্তুই ঘুরছে। কিন্তু একটু কল্পনা করো-চাকার প্রতিটি ছোট অংশকে যদি আলাদা আলাদা কণা হিসেবে ধরো, তাহলে প্রত্যেকের অবস্থান, বেগ আর কৌণিক ভরবেগ আছে।

এবার চাকার মোট কৌণিক ভরবেগ কত? সব কণার কৌণিক ভরবেগ যোগ করে দিলেই হলো। তবে এখানে সাধারণ যোগ নয়-ভেক্টর যোগ।

অনেক কণার জন্য একটাই রাশি

একটি ব্যবস্থায় NN-টি কণা থাকলে, একই উৎসবিন্দু OO-এর সাপেক্ষে প্রতিটি কণার কৌণিক ভরবেগ,

ℓ⃗n=r⃗n×p⃗n.\vec\ell_n=\vec r_n\times\vec p_n.

সুতরাং মোট কৌণিক ভরবেগ,

L⃗=∑n=1Nℓ⃗n=∑n=1N(r⃗n×p⃗n).\boxed{\vec L=\sum_{n=1}^{N}\vec\ell_n =\sum_{n=1}^{N}\big(\vec r_n\times\vec p_n\big)}.

এটি সমীকরণ (১০-৮)। কণাগুলো পরস্পরের তুলনায় নড়তে পারে-যেমন পানির অণু-অথবা নির্দিষ্ট দূরত্বে যুক্ত থাকতে পারে-যেমন কঠিন চাকা। দুটো ক্ষেত্রেই সংজ্ঞাটি চলে।

মনে রেখো, L⃗\vec L একটা ভেক্টর। দুটো কণার কৌণিক ভরবেগের মান সমান হলেই তাদের যোগফল দ্বিগুণ হবে, এমন নয়। দিক বিপরীত হলে একে অন্যকে বাতিলও করতে পারে।

ভেতরের বল আর বাইরের বল-কোনটি গুরুত্বপূর্ণ?

ধরো, বরফের উপর দুজন স্কেটার দাঁড়িয়ে আছে। তারা পরস্পরকে ঠেলে আলাদা হয়ে গেল। দুজনের উপর বল পড়েছে। কিন্তু পুরো ‘দুই স্কেটার’ ব্যবস্থার কথা ভাবলে তাদের পারস্পরিক বল অভ্যন্তরীণ বল। বাইরে থেকে যদি কেউ না ঠেলে, পুরো ব্যবস্থার মোট রৈখিক ভরবেগ বদলাবে না।

কৌণিক ভরবেগের ক্ষেত্রেও একই ধারণা কাজে লাগে। প্রতিটি কণার জন্য,

dℓ⃗ndt=τ⃗n.\frac{d\vec\ell_n}{dt}=\vec\tau_n.

সব কণার সমীকরণ যোগ করলে,

dL⃗dt=∑nτ⃗n.\frac{d\vec L}{dt}=\sum_n\vec\tau_n.

এখন টর্কের উৎস দুই রকম:

নিউটনের তৃতীয় সূত্রের strong form অনুযায়ী, দুটি কণার মধ্যকার পারস্পরিক বল সমান-বিপরীত এবং তাদের সংযোগরেখা বরাবর হলে সেই বলজোড়ার মোট টর্ক শূন্য। এই শর্তের অধীনে সমস্ত অভ্যন্তরীণ টর্ক পরস্পরকে বাতিল করে। তখন,

∑τ⃗ext=dL⃗dt.\boxed{\sum\vec\tau_{\rm ext}=\frac{d\vec L}{dt}}.

এটি সমীকরণ (১০-৯)-কণা-ব্যবস্থার জন্য কৌণিক ভরবেগের সাধারণ গতিসূত্র।

আগের সূত্রের সঙ্গে মিলিয়ে দেখো

তুমি আগেই শিখেছো, বহু-কণার মোট রৈখিক ভরবেগ P⃗\vec P হলে,

∑F⃗ext=dP⃗dt.\sum\vec F_{\rm ext}=\frac{d\vec P}{dt}.

এবার পাশাপাশি রাখি:

সরণগতির জন্যঘূর্ণনগতির জন্য
বল F⃗\vec Fটর্ক τ⃗\vec\tau
রৈখিক ভরবেগ P⃗\vec Pকৌণিক ভরবেগ L⃗\vec L
∑F⃗ext=dP⃗/dt\sum\vec F_{\rm ext}=d\vec P/dt∑τ⃗ext=dL⃗/dt\sum\vec\tau_{\rm ext}=d\vec L/dt

এই মিলটা কাজে দেবে। তবে মনে রেখো, কৌণিক ভরবেগ সর্বদা নির্বাচিত উৎসবিন্দুর সাপেক্ষে নির্ধারিত হয়। এই সাধারণ সূত্রটি জড় কাঠামোর স্থির উৎসবিন্দুর সাপেক্ষে প্রযোজ্য। ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে টর্ক ও কৌণিক ভরবেগ নিলেও উপযুক্ত শর্তে একই সম্পর্ক ব্যবহার করা যায়; বইয়ের এই অংশের শেষে সেই বিশেষ সুবিধার কথাও বলা হয়েছে।

টর্ক কেন কখনো গতি বাড়ায়, আবার কখনো কেবল অক্ষ ঘুরিয়ে দেয়?

ধরো, একটি সাইকেলের চাকা দ্রুত ঘুরছে। তুমি চাকার কিনারায় এমনভাবে বল দিলে যে সেটি ঘোরার দিকেই আরও জোর পায়। চাকার গতি বাড়ল।

এবার ঘূর্ণায়মান চাকার অক্ষটাকে এক পাশে কাত করার চেষ্টা করো। কিছুটা অদ্ভুত প্রতিক্রিয়া দেখবে-চাকাটি অনেক সময় তোমার প্রত্যাশিত দিকে না গিয়ে পাশের দিকে ঘুরতে চায়। কেন?

কারণ টর্কও একটি ভেক্টর। ছোট সময় Δt\Delta t-এ,

ΔL⃗≈τ⃗ext Δt.\Delta\vec L\approx\vec\tau_{\rm ext}\,\Delta t.

টর্ককে L⃗\vec L-এর তুলনায় দুই অংশে ভাঙা যায়:

১. সমান্তরাল টর্ক τ⃗∥\vec\tau_\parallel - এটি L⃗\vec L-এর মান বাড়ায় বা কমায়। যেমন চাকার স্পিন বাড়ানো।

২. লম্ব টর্ক τ⃗⊥\vec\tau_\perp - এটি L⃗\vec L-এর দিক বদলায়। ক্ষুদ্র পরিবর্তনের ক্ষেত্রে মান প্রায় একই থেকে ঘূর্ণন অক্ষের দিক ঘুরে যায়।

বইয়ের চিত্র ১০-৩ ও ১০-৪-এ প্রথমে সরল ভরবেগের ক্ষেত্রে, তারপর কৌণিক ভরবেগের ক্ষেত্রে এই দুই ধরনের পরিবর্তনের ভেক্টর ছবি দেখানো হয়েছে।

সাইকেলের চাকার অদ্ভুত পরীক্ষা

মূল বইয়ের চিত্র ১০-৫-এ একটি সাইকেলের চাকার অক্ষের এক প্রান্ত একটি খুঁটিতে রাখা, আর অন্য প্রান্ত হাতে ধরে রাখা।

প্রথমে একজন চাকার কিনারা স্পর্শক বরাবর ঠেলে দেয়। টর্ক কৌণিক ভরবেগের সমান্তরাল-তাই চাকা আরও দ্রুত ঘোরে।

এরপর হাতের সমর্থন সরিয়ে নেওয়া হয়। এখন ওজনের জন্য যে টর্ক তৈরি হচ্ছে, সেটি চাকার কৌণিক ভরবেগের লম্ব। তাই কৌণিক ভরবেগের দিক বদলায়; অক্ষটি পাশের দিকে সরে যেতে থাকে। এটিই লাটিমের প্রিসেশন (precession) বোঝার প্রাথমিক ছবি।

সতর্কতা: এখানে ‘লম্ব টর্ক মানেই কৌণিক ভরবেগের মান একেবারে বদলায় না’ কথাটি আদর্শ ক্ষুদ্র সময়ের এবং নির্দিষ্ট জ্যামিতির আলোচনা। সাধারণ টর্ক থাকলে একই সঙ্গে মান ও দিক দুটোই বদলাতে পারে।

ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে হিসাব কেন সুবিধাজনক?

মনেকরো, একটা বল আকাশে ছুড়লে সেটা সামনে এগোয়, আবার নিজের অক্ষেও ঘোরে। এর গতি বোঝার সবচেয়ে সহজ পথ হলো দুই ভাগ করা:

  1. ভরকেন্দ্র কীভাবে সামনে এগোচ্ছে-রৈখিক গতির সূত্রে।
  2. ভরকেন্দ্রের চারপাশে বলটি কীভাবে ঘুরছে-টর্ক ও কৌণিক ভরবেগের সূত্রে।

বই বলছে, কৌণিক ভরবেগের সূত্র একটি সিস্টেমের ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে ব্যবহার করাও সম্ভব-ভরকেন্দ্র নিজে ত্বরণযুক্ত হলেও। এই সুবিধাই ঘূর্ণন ও সরণগতিকে আলাদা বিশ্লেষণ করতে দেয়।

একটু ভেবে দেখো

দুটি স্কেটার হাত ধরে নিজেদের চারপাশে ঘুরছে। তারা একে অন্যকে টেনে আরও কাছে এলো। তাদের টান অভ্যন্তরীণ বল। বাইরে থেকে উল্লেখযোগ্য টর্ক না এলে মোট কৌণিক ভরবেগের কী হবে? আর ঘোরার দ্রুতি কী হতে পারে-পরের অংশগুলোতে এর উত্তর বের করব।

মনে রেখো

ব্যবস্থার মোট কৌণিক ভরবেগ হলো কণাগুলোর কৌণিক ভরবেগের ভেক্টর যোগফল; এর সময়ের পরিবর্তন ঘটায় নিট বাহ্যিক টর্ক। ভেতরের বল ব্যবস্থার অংশগুলোর গতি বদলাতে পারে, কিন্তু প্রাসঙ্গিক শর্ত পূরণ হলে মোট কৌণিক ভরবেগ বদলাতে পারে না।