⚛ Science in Minutes

১১.৭ ঘূর্ণন গতিতে কাজ ও গতিশক্তি (Work and Kinetic Energy in Rotational Motion)

সাইকেলের চাকাকে ঘোরাতেও কি কাজ করতে হয়?

ধরো, সাইকেল উল্টে রেখে একটা চাকা হাতে ঘোরাচ্ছো। শুরুতে চাকা থেমে ছিল। হাত দিয়ে ধাক্কা দিলে ঘুরতে শুরু করল। আরও ধাক্কা দিলে আরও দ্রুত ঘুরল।

আগের পাঠে আমরা শিখেছি, সোজা পথে বল প্রয়োগ করে বস্তু সরালে কাজ হয়। কিন্তু চাকা তো নিজের অক্ষের চারপাশে ঘুরছে-কোনো নির্দিষ্ট কেন্দ্র থেকে তার সব অংশ সরছে না। তাহলে এখানে কাজের সূত্র কী?

আসলে আগের ধারণাটাকেই নতুন ভাষায় লেখা যায়: বল বদলে টর্ক, আর সোজা সরণ বদলে কৌণিক সরণ।

টর্ক দিয়ে কাজ

ধরো, ঘূর্ণন অক্ষ থেকে rr দূরে কোনো PP বিন্দুতে বল FF প্রয়োগ করেছো। অবস্থান ভেক্টর আর বলের মধ্যকার কোণ ϕ\phi। বলের ঘোরানোর উপযোগী উপাংশ,

Ft=Fsin⁡ϕ.F_t=F\sin\phi.

চাকা অল্প কোণ dθd\theta ঘুরলে PP বিন্দুর পথের দৈর্ঘ্য,

ds=r dθ.ds=r\,d\theta.

তাই ক্ষুদ্র কাজ,

dW=Ft ds=(Fsin⁡ϕ)(r dθ)=(rFsin⁡ϕ)dθ.\begin{aligned} dW&=F_t\,ds\\ &=(F\sin\phi)(r\,d\theta)\\ &=(rF\sin\phi)d\theta. \end{aligned}

কিন্তু rFsin⁡ϕ=τzrF\sin\phi=\tau_z হলো ঘূর্ণন অক্ষ বরাবর টর্ক। অর্থাৎ,

dW=τz dθ.\boxed{dW=\tau_z\,d\theta.}

পুরো ঘূর্ণনের জন্য,

W=∫θiθfτz dθ.\boxed{W=\int_{\theta_i}^{\theta_f}\tau_z\,d\theta.}

এটাই সমীকরণ (১১-২৫)। টর্ক ধ্রুব হলে,

W=τzΔθ.\boxed{W=\tau_z\Delta\theta.}

মনে রেখো, এখানে Δθ\Delta\theta রেডিয়ানে বসাতে হবে, ডিগ্রিতে নয়।

ঘূর্ণনের ক্ষমতা

আগে শিখেছিলে, তাৎক্ষণিক ক্ষমতা P=dW/dtP=dW/dt। তাই,

P=dWdt=τzdθdt.P=\frac{dW}{dt}=\tau_z\frac{d\theta}{dt}.

যেহেতু ωz=dθ/dt\omega_z=d\theta/dt,

P=τzωz.\boxed{P=\tau_z\omega_z.}

যে মোটরের টর্ক বেশি বা একই টর্কে ঘূর্ণনের হার বেশি, তার ঘূর্ণনগত ক্ষমতা বেশি হতে পারে। টর্ক আর ঘূর্ণনের দিক বিপরীত হলে ক্ষমতা ঋণাত্মক-এভাবে ব্রেক ঘূর্ণনের শক্তি কমায়।

ঘূর্ণমান বস্তুর গতিশক্তি

মনেকরো, একটা শক্ত চাকাকে অনেক ক্ষুদ্র কণার সমষ্টি ধরলাম। চাকাটা ω\omega কৌণিক দ্রুতিতে ঘুরছে। অক্ষ থেকে rnr_n দূরের mnm_n ভরের কণাটির স্পর্শকীয় দ্রুতি,

vn=rnω.v_n=r_n\omega.

তাই ওই কণাটির গতিশক্তি,

Kn=12mnvn2=12mnrn2ω2.K_n=\frac12m_nv_n^2=\frac12m_nr_n^2\omega^2.

সব কণার গতিশক্তি যোগ করলে,

K=∑n12mnrn2ω2=12(∑nmnrn2)ω2.\begin{aligned} K&=\sum_n\frac12m_nr_n^2\omega^2\\ &=\frac12\left(\sum_nm_nr_n^2\right)\omega^2. \end{aligned}

আগেই জানি, I=∑nmnrn2I=\sum_nm_nr_n^2। কাজেই,

Krot=12Iω2.\boxed{K_\mathrm{rot}=\frac12I\omega^2.}

এটা সমীকরণ (১১-২৯)।

দেখো কেমন মিল:

সরণ গতিঘূর্ণন গতি
W=∫Fx dxW=\int F_x\,dxW=∫τz dθW=\int\tau_z\,d\theta
P=FxvxP=F_xv_xP=τzωzP=\tau_z\omega_z
K=12mv2K=\frac12mv^2K=12Iω2K=\frac12I\omega^2
Wnet=ΔKW_\mathrm{net}=\Delta KWnet=ΔKW_\mathrm{net}=\Delta K

এগুলো মূল বইয়ের সারণি ১১-১-এর তুলনা। ঘূর্ণনগত গতিশক্তি একেবারে নতুন ধরনের শক্তি নয়-বস্তুর প্রতিটি কণার সাধারণ গতিশক্তি যোগ করলেই এই সূত্র পাওয়া যায়।

উদাহরণ ১১-১০: মহাকাশযানের ঘূর্ণন কমাতে কত বল লাগবে?

একটি গোলাকার, পাতলা খোলের মতো মহাকাশ অনুসন্ধানযানের ভর M=245 kgM=245\ \mathrm{kg}, ব্যাসার্ধ R=1.7 mR=1.7\ \mathrm m। শুরুতে এটি নিজ অক্ষের চারপাশে 2.4 rev/s2.4\ \mathrm{rev/s} হারে ঘুরছে। বিপরীতমুখী থ্রাস্টার দিয়ে 3.03.0 পাক ঘোরার মধ্যে ঘূর্ণন কমাতে হবে। কত ধ্রুব স্পর্শকীয় বল লাগবে?

ধাপ ১: ঘূর্ণন জড়তা। পাতলা গোলকীয় খোলের জন্য,

I=23MR2=23(245)(1.7)2≈472 kg m2.I=\frac23MR^2=\frac23(245)(1.7)^2\approx472\ \mathrm{kg\,m^2}.

ধাপ ২: কৌণিক সরণ।

Δθ=3.0(2π)=6π rad.\Delta\theta=3.0(2\pi)=6\pi\ \mathrm{rad}.

ধাপ ৩: কাজ–শক্তি। থ্রাস্টার ঘূর্ণনের বিপরীতে কাজ করে, তাই,

−RFΔθ=12I(ωf2−ωi2).-RF\Delta\theta=\frac12I(\omega_f^2-\omega_i^2).

এখন উৎসের একটা ছোট কিন্তু গুরুত্বপূর্ণ অসঙ্গতি আছে। প্রশ্নের বর্ণনায় চূড়ান্ত ঘূর্ণন 1.8 rev/s1.8\ \mathrm{rev/s}, কিন্তু মুদ্রিত সমাধানে 1.7 rev/s1.7\ \mathrm{rev/s} বসানো হয়েছে। তাই দুটি ফল আলাদা করে দেখি।

প্রশ্নে দেওয়া 1.8 rev/s1.8\ \mathrm{rev/s} ব্যবহার করলে:

ΔK=12(472)[(1.8×2π)2−(2.4×2π)2]≈−2.35×104 J.\Delta K=\frac12(472)\left[(1.8\times2\pi)^2-(2.4\times2\pi)^2\right] \approx-2.35\times10^4\ \mathrm J.

অতএব,

F=∣ΔK∣RΔθ≈733 N.\boxed{F=\frac{|\Delta K|}{R\Delta\theta}\approx733\ \mathrm N.}

মুদ্রিত সমাধানের 1.7 rev/s1.7\ \mathrm{rev/s} ব্যবহার করলে:

ΔK≈−2.67×104 J,F≈833 N.\Delta K\approx-2.67\times10^4\ \mathrm J, \qquad \boxed{F\approx833\ \mathrm N.}

অর্থাৎ মূল বইয়ের 833 N833\ \mathrm N উত্তরটি তার সমাধানে বসানো 1.7 rev/s1.7\ \mathrm{rev/s}-এর সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ, কিন্তু প্রশ্নের 1.8 rev/s1.8\ \mathrm{rev/s}-এর সঙ্গে নয়। তোমার পড়ার সময় দুটো আলাদা করে রাখা উচিত।

কাজ–শক্তি উপপাদ্যের ঘূর্ণন সংস্করণ

ঘূর্ণমান কঠিন বস্তুর জন্য,

Wnet=ΔKrot=12Iωf2−12Iωi2\boxed{W_{\mathrm{net}}=\Delta K_{\mathrm{rot}}=\frac12I\omega_f^2-\frac12I\omega_i^2}

যদি একই সঙ্গে বস্তুর ভরকেন্দ্রও সরে, তবে গতিশক্তির হিসেবে সরণগত ও ঘূর্ণনগত উভয় অংশ বিবেচনা করতে হয়। পরের অধ্যায়ে এমন গতির শক্তির কথা আরও আসবে।

মনে রেখো: সরণের জন্য বলের ভূমিকা যেমন, ঘূর্ণনের জন্য টর্কের ভূমিকা তেমন; আর ভরের জায়গায় আছে ঘূর্ণন জড়তা।

মূল বই: অনুচ্ছেদ ১১-৭; সমীকরণ (১১-২৫)–(১১-২৯), সারণি ১১-১ এবং উদাহরণ ১১-১০। সংখ্যাগত অসঙ্গতিটি মূল PDF-এ যেমন আছে, তা উপরে স্পষ্ট করা হয়েছে।