⚛ Science in Minutes

১১.৫ পরিবর্তনশীল বলের কাজ: দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্র (ঐচ্ছিক)

সোজা পথে নয়-বাঁকা পথে টানলে কাজের হিসাব কীভাবে করবে?

মনেকরো, একটা ছোট পুঁতি একটা বাঁকানো তারের ওপর দিয়ে সরে যাচ্ছে। পুঁতিটাকে তুমি এমনভাবে টানছো যে পথের একেক জায়গায় তোমার বলের দিকও বদলাচ্ছে, মানও বদলাচ্ছে।

আগের পাঠে আমরা xx-অক্ষ বরাবর চলার জন্য শিখেছি,

W=∫xixfFx(x) dx.W=\int_{x_i}^{x_f}F_x(x)\,dx.

কিন্তু এখানে পুঁতিটা কখনো ডানে, কখনো উপরে, কখনো তির্যকভাবে যাচ্ছে। শুধু dxdx দিয়ে সম্পূর্ণ সরণ বোঝানো যাবে না। এবার দরকার দ্বিমাত্রিক সরণ ভেক্টর।

বাঁকা পথকে অসংখ্য ক্ষুদ্র সরলরেখা ভাবো

যেকোনো মসৃণ বাঁকা পথকে খুব কাছে গিয়ে দেখলে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র প্রায়-সরল টুকরোর মতো লাগে। প্রত্যেক টুকরোয় পুঁতির সরণ ds⃗d\vec s ওই জায়গার পথের স্পর্শক বরাবর।

ওই ক্ষুদ্র অংশে বল F⃗\vec F এবং সরণের মাঝের কোণ ϕ\phi হলে,

dW=F⃗⋅ds⃗=Fcos⁡ϕ ds.dW=\vec F\cdot d\vec s=F\cos\phi\,ds.

সব অংশ যোগ করে সীমা নিলে,

W=∫ifF⃗⋅ds⃗.\boxed{W=\int_{i}^{f}\vec F\cdot d\vec s.}

এটাই মূল বইয়ের সমীকরণ (১১-১৯)। এমন সমাকলনকে বলে রেখা সমাকলন (line integral)। এর মান বের করার জন্য জানতে হয়, বল আর পথের সম্পর্কটা ঠিক কী।

যদি F⃗=Fxi^+Fyj^\vec F=F_x\hat i+F_y\hat j এবং ds⃗=dxi^+dyj^d\vec s=dx\hat i+dy\hat j হয়, তাহলে ডট প্রোডাক্ট দিয়ে,

W=∫if(Fx dx+Fy dy).\boxed{W=\int_i^f(F_x\,dx+F_y\,dy).}

এটা সমীকরণ (১১-২০)। চাইলে তিন মাত্রায় একইভাবে Fz dzF_z\,dz যোগ করা যায়।

উদাহরণ ১১-৫: ঝুলন্ত বলকে ধীরে ধীরে পাশে সরাও

ধরো, LL দৈর্ঘ্যের সুতোয় mm ভরের একটা ছোট বল ঝুলছে। তুমি বলটাকে সবসময় অনুভূমিক দিকে বল দিয়ে টানছো। আস্তে আস্তে টেনে সুতোটাকে উল্লম্বের সঙ্গে ϕm\phi_m কোণে নিয়ে গেলে। বলটা একটি বৃত্তচাপ বরাবর গেছে। তোমার, মহাকর্ষের আর সুতার টানের কাজ কত?

ধাপ ১: বলগুলো দেখি। বলের ওপর তিনটি বল কাজ করছে:

বেগ খুব ছোট ও ধ্রুব ধরে প্রতি মুহূর্তে সাম্যাবস্থা:

F−Tsin⁡ϕ=0,Tcos⁡ϕ−mg=0.F-T\sin\phi=0,\qquad T\cos\phi-mg=0.

দুটি সমীকরণ ভাগ করলে,

F=mgtan⁡ϕ.F=mg\tan\phi.

ধাপ ২: তোমার কাজ। যেহেতু বল অনুভূমিক, dWF=F dxdW_F=F\,dx। জ্যামিতি থেকে,

x=Lsin⁡ϕ,dx=Lcos⁡ϕ dϕ.x=L\sin\phi,\qquad dx=L\cos\phi\,d\phi.

তাই,

WF=∫0ϕmmgtan⁡ϕ (Lcos⁡ϕ) dϕ=mgL∫0ϕmsin⁡ϕ dϕ=mgL(1−cos⁡ϕm).\begin{aligned} W_F&=\int_0^{\phi_m}mg\tan\phi\,(L\cos\phi)\,d\phi\\ &=mgL\int_0^{\phi_m}\sin\phi\,d\phi\\ &=mgL(1-\cos\phi_m). \end{aligned}

কিন্তু বলটি যতটা উঁচুতে উঠেছে,

h=L(1−cos⁡ϕm).h=L(1-\cos\phi_m).

সুতরাং,

WF=+mgh.\boxed{W_F=+mgh.}

ধাপ ৩: মহাকর্ষের কাজ। বলটি উপরে উঠেছে, কিন্তু মহাকর্ষ নিচের দিকে। তাই,

Wg=−mgh.\boxed{W_g=-mgh.}

ধাপ ৪: সুতার টান। সুতার টান সবসময় ব্যাসার্ধ বরাবর; বলের ক্ষুদ্র সরণ বৃত্তের স্পর্শক বরাবর। দুটো পরস্পর লম্ব। তাই,

WT=0.\boxed{W_T=0.}

মোট কাজ,

Wnet=WF+Wg+WT=mgh−mgh+0=0.W_{\mathrm{net}}=W_F+W_g+W_T=mgh-mgh+0=0.

কারণ বলের বেগ ধ্রুব-গতিশক্তি বদলায়নি। তিনটি বলের কাজ যোগ করেই সেটা দেখা গেল।

তাহলে এই পাঠ থেকে কী শিখলে?

সরণ বাঁকা হলে শুধু প্রারম্ভিক ও শেষ অবস্থানের সোজা দূরত্ব নিয়ে FsFs বসানো যায় না, বিশেষ করে বল যদি জায়গায় জায়গায় বদলায়। তখন পথের প্রতিটি ক্ষুদ্র সরণে F⃗⋅ds⃗\vec F\cdot d\vec s হিসাব করতে হবে।

আর যে বল প্রতিটি মুহূর্তে গতির লম্ব, সে পথ যত বাঁকাই হোক-কাজ শূন্য।

মূল বই: ঐচ্ছিক অনুচ্ছেদ ১১-৫; সমীকরণ (১১-১৮)–(১১-২০), চিত্র ১১-১৬–১১-১৭ এবং উদাহরণ ১১-৫।