৪.৬: আপেক্ষিক গতি

Relative Motion

মনেকরো, কাটুশ একটা চলন্ত ট্রেনের জানালার পাশে বসে আছে। সে দেখলো, তার পাশের সিটে একটা ব্যাগ রাখা আছে। কাটুশের কাছে ব্যাগটা একদম স্থির। কিন্তু প্ল্যাটফর্মে দাঁড়িয়ে থাকা তার বন্ধুর কাছে সেই একই ব্যাগ ট্রেনের সঙ্গে এগিয়ে চলছে।

এখন প্রশ্ন হচ্ছে, ব্যাগটা আসলে স্থির নাকি গতিশীল?

দুটো কথাই ঠিক-কারণ তুমি কার সাপেক্ষে দেখছো, তার ওপর উত্তরটা নির্ভর করছে।

আগের অধ্যায়ে আমরা শিখেছি, অবস্থান আর বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর নির্ণয়ের জন্য একটা কো-অর্ডিনেট সিস্টেম বা প্রসঙ্গ কাঠামোবিস্তারিত জানতে দেখো:৬.২ রৈখিক ভরবেগ (Reference Frame) নির্বাচন করতে হয়। এবার দেখবো, একই বস্তুর গতি দুটি ভিন্ন প্রসঙ্গ কাঠামোতে কীভাবে প্রকাশ করা যায়।

দুই পর্যবেক্ষকের অবস্থান কেন আলাদা?

ধরো, কাটুশ ট্রেনের ভেতরে বসে আছে। তার বন্ধু প্ল্যাটফর্মে দাঁড়িয়ে। বন্ধু যে কো-অর্ডিনেট সিস্টেম ব্যবহার করছে সেটার নাম দিলাম $S$, আর কাটুশের ট্রেনের সঙ্গে চলতে থাকা সিস্টেমের নাম $S'$।

এবার ট্রেনের ভেতরে একটি বলের নাম দিলাম $P$।

• প্ল্যাটফর্মের সাপেক্ষে বলটার অবস্থান $\vec r_{PS}$।
• ট্রেনের সাপেক্ষে বলটার অবস্থান $\vec r_{PS'}$।
• প্ল্যাটফর্মের সাপেক্ষে ট্রেনের কো-অর্ডিনেট সিস্টেমের কেন্দ্রের অবস্থান $\vec r_{S'S}$।

বন্ধুর জায়গা থেকে বলটার কাছে যেতে হলে প্রথমে ট্রেনের কেন্দ্র পর্যন্ত, তারপর ট্রেনের ভেতরে বলটার জায়গায় যেতে পারি। তাই ভেক্টর যোগের নিয়মে,

একটু খেয়াল করো, নিচের সাবস্ক্রিপ্টগুলোর ক্রম খুব গুরুত্বপূর্ণ। যেমন $\vec r_{PS'}$ মানে $S'$-এর সাপেক্ষে P-এর অবস্থান। আর $\vec r_{S'S}$ মানে S-এর সাপেক্ষে $S'$-এর অবস্থান।

বইয়ের চিত্র ৪-১৭-এ দুইটি আলাদা কো-অর্ডিনেট সিস্টেম এঁকে এই তিনটি অবস্থান ভেক্টরবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর দেখানো হয়েছে।

এবার বেগ বের করি

আগের পরিচ্ছেদে আমরা জেনেছি, অবস্থান ভেক্টরকে সময়ের সাপেক্ষে ডিফারেনশিয়েট করলে বেগ পাওয়া যায়,

তাই আগের অবস্থানের সমীকরণের দুই পাশ সময়ের সাপেক্ষে ডিফারেনশিয়েট করলে,

অর্থাৎ,

এটাই আপেক্ষিক বেগের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক। একে বলে Galilean Velocity Transformation বা গ্যালিলীয় বেগ রূপান্তর।

আপেক্ষিক বেগ

একটি বস্তুর বেগ ভিন্ন দুটি প্রসঙ্গ কাঠামোতে আলাদা হতে পারে। একটা কাঠামোতে বস্তুর বেগের সঙ্গে সেই কাঠামোর অন্য কাঠামোর সাপেক্ষে বেগ ভেক্টর হিসেবে যোগ করলে অন্য কাঠামোতে বস্তুর বেগ পাওয়া যায়।

ধরো, ট্রেনটা পূর্বদিকে $20\,\mathrm{m/s}$ বেগে চলছে। কাটুশ ট্রেনের ভেতরে পূর্বদিকে $2\,\mathrm{m/s}$ বেগে হাঁটছে। তাহলে প্ল্যাটফর্মে দাঁড়ানো বন্ধুর কাছে কাটুশের বেগ,

এবার কাটুশ ট্রেনের ভেতরে পশ্চিমদিকে $2\,\mathrm{m/s}$ বেগে হাঁটতে শুরু করলো। পূর্বদিকে ধনাত্মক ধরলে,

দেখো, ট্রেনের ভেতরে কাটুশ পশ্চিমদিকে হাঁটলেও মাটিতে দাঁড়িয়ে থাকা বন্ধুর কাছে সে এখনও পূর্বদিকেই চলছে। কারণ ট্রেনের বেগ তার হাঁটার বেগের চেয়ে বেশি।

আর যদি ট্রেন না হয়ে বিমান হয়, আর বাতাসের বেগ একেবারে লম্বদিকে কাজ করে? তখন কিন্তু শুধু সংখ্যা যোগ-বিয়োগ করলেই হবে না, ভেক্টর যোগবিস্তারিত জানতে দেখো:ভেক্টরের ধর্ম ও উপাংশ করতে হবে। সেটা একটু পরেই দেখবো।

ত্বরণ কি দুই পর্যবেক্ষকের কাছে একই হবে?

এবার একটা বিশেষ শর্ত ধরো। ট্রেনটা স্থির বেগে, অর্থাৎ একই মান ও একই দিকে চলছে। তাহলে $\vec v_{S'S}$ ধ্রুবক।

আমাদের আপেক্ষিক বেগের সমীকরণ,

দুই পাশে আবার ডিফারেনশিয়েট করলে,

কিন্তু $\vec v_{S'S}$ ধ্রুব বলে,

তাই,

অর্থাৎ একটি জড় প্রসঙ্গ কাঠামোর সাপেক্ষে আরেকটি কাঠামো ধ্রুব বেগে চললে, দুই পর্যবেক্ষক একই বস্তুর ত্বরণের মান ও দিক নিয়ে একমত হবে।

এ কারণেই নিউটনের সূত্র দুটি জড় প্রসঙ্গ কাঠামোবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের প্রথম গতিসূত্র ও জড়তা থেকেই সমানভাবে প্রয়োগ করা যায়। তবে ট্রেন হঠাৎ ব্রেক করলে বা বাঁক নিলে ট্রেনের সাপেক্ষে কাঠামোটি আর জড় কাঠামো থাকবে না; তখন এই সহজ ফল সরাসরি ব্যবহার করা যাবে না।

কী একই, কী আলাদা?

দুই জড় প্রসঙ্গ কাঠামো একে অপরের সাপেক্ষে ধ্রুব বেগে চললে একই বস্তুর অবস্থান ও বেগের মান আলাদা হতে পারে; কিন্তু তার ত্বরণ একই হবে। এখানে আমরা সাধারণ গতি নিয়ে গ্যালিলীয় বলবিদ্যার কাঠামোতে আলোচনা করছি।

উদাহরণ ৪-৭: বাতাসে বিমান কোন দিকে যাবে?

এবার কাটুশ একটা বিমানে উঠলো। বিমানের কম্পাস দেখাচ্ছে, বিমানটা একেবারে পূর্বদিকে চলছে। বাতাসের সাপেক্ষে বিমানের দ্রুতিবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর $215\,\mathrm{km/h}$। কিন্তু উত্তরের দিকে $65\,\mathrm{km/h}$ বেগে একটা বাতাস বইছে।

প্রশ্ন হচ্ছে, মাটিতে দাঁড়িয়ে থাকা পর্যবেক্ষকের কাছে বিমানটা কোন দিকে, কত বেগে চলছে? আর কাটুশ যদি একেবারে পূর্বদিকেই যেতে চায়, তাহলে বিমানটা কোন দিকে মুখ করে চালাতে হবে?

এখানে তিনটি ভেক্টর আছে:

• $\vec v_{PG}$: মাটির সাপেক্ষে বিমানের বেগ।
• $\vec v_{PA}$: বাতাসের সাপেক্ষে বিমানের বেগ।
• $\vec v_{AG}$: মাটির সাপেক্ষে বাতাসের বেগ।

তাই,

(ক) বিমান পূর্বদিকে মুখ করে চলছে

বাতাসের সাপেক্ষে পূর্বদিকে বেগ $215$, আর বাতাস উত্তরে $65\,\mathrm{km/h}$। যেহেতু দুই দিক একে অপরের লম্ব, তাই মাটির সাপেক্ষে বেগের মান,

পূর্বদিকের সঙ্গে কোণ,

অর্থাৎ বিমানটা কম্পাস অনুযায়ী পূর্বদিকে মুখ করে থাকলেও বাস্তবে পূর্ব থেকে প্রায় $16.8^\circ$ উত্তর দিকে সরে যাচ্ছে, আর মাটির সাপেক্ষে এর দ্রুতি প্রায় $225\,\mathrm{km/h}$।

(খ) ঠিক পূর্বদিকে যেতে হলে?

কাটুশ এবার চায় বাতাস যেন তাকে উত্তরে সরিয়ে দিতে না পারে। সেজন্য বিমানটাকে একটু দক্ষিণ দিকে ঘুরিয়ে চালাতে হবে।

এবার বিমানের বায়ুর সাপেক্ষে বেগের দক্ষিণমুখী উপাংশ বাতাসের উত্তরমুখী $65\,\mathrm{km/h}$ উপাংশকে বাতিল করবে। বিমানকে পূর্বদিকের দক্ষিণে $\beta$ কোণে চালালে,

তাই,

অর্থাৎ পূর্বদিক থেকে $17.6^\circ$ দক্ষিণে মুখ করে বিমান চালাতে হবে। তখন মাটির সাপেক্ষে বেগ একেবারে পূর্বদিকে হবে।

এই অবস্থায় মাটির সাপেক্ষে দ্রুতি,

দেখলে, এবার গন্তব্যের দিকে ঠিক যাচ্ছে, কিন্তু বাতাসের সাপেক্ষে গতির তুলনায় মাটির সাপেক্ষে দ্রুতি কমে গেছে। বইয়ের চিত্র ৪-১৮-এ দুই অবস্থার ভেক্টর ত্রিভুজ দেখানো হয়েছে।

কাটুশের জন্য আরেকটা সমস্যা

ধরো, উত্তরের বদলে বাতাস $65\,\mathrm{km/h}$ বেগে দক্ষিণদিকে বইতো। একই $215\,\mathrm{km/h}$ বায়ুর সাপেক্ষে দ্রুতিতে একেবারে পূর্বদিকে যেতে হলে কাটুশকে এবার কোন দিকে বিমান ঘোরাতে হতো?

এই হলো আপেক্ষিক গতির মূল ব্যাপার। একই বস্তুর বেগ একেকজন একেকভাবে মাপতে পারে, কিন্তু ঠিকমতো ভেক্টর যোগ করলে তাদের হিসাবগুলো সুন্দরভাবে একে অপরের সঙ্গে মিলে যাবে।