৭.৩ বহু-কণা ব্যবস্থা (Many-Particle Systems)

হাজার হাজার কণা থাকলে কি সব কণার জন্য আলাদা অঙ্ক করতে হবে?

মনেকরো, কাটুশের স্পেসশীপটা ছোট ছোট অসংখ্য অংশ দিয়ে বানানো। কোনো অংশ ডানে চলছে, কোনো অংশ কম্পন করছে, আবার ইঞ্জিনের একটা অংশ ঘুরছে। এখন তুমি যদি পুরো স্পেসশীপের গতিপথ জানতে চাও, তাহলে কি প্রতিটি নাট-বল্টুর গতি আলাদাভাবে হিসাব করতে হবে?

ভাগ্য ভালো, করতে হবে না! আগের অংশে দুই কণার জন্য যে ভরকেন্দ্রের ধারণা তৈরি করেছি, সেটা যেকোনো সংখ্যক কণার ক্ষেত্রেই ব্যবহার করা যায়।

অনেক কণার ভরকেন্দ্র

ধরো, ব্যবস্থায় মোট $N$টি কণা আছে। তাদের ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা $m_1,m_2,\ldots,m_N$ এবং অবস্থান $\vec r_1,\vec r_2,\ldots,\vec r_N$। মোট ভর,

তাহলে ভরকেন্দ্রের অবস্থানবিস্তারিত জানতে দেখো:৭.২ দুই-কণা ব্যবস্থা,

মনে রাখতে পারো-প্রতিটি কণার অবস্থানকে তার ভর দিয়ে গুণ করো, সব যোগ করো, তারপর মোট ভর দিয়ে ভাগ করো।

তিন মাত্রায় একই সমীকরণ আলাদাভাবে লিখতে পারি:

যে দিকেই হিসাব করো না কেন, নিয়ম একই।

ভরকেন্দ্রের বেগ আর ত্বরণও কি একইভাবে পাওয়া যায়?

হ্যাঁ। ভরগুলো ধ্রুব হলে অবস্থানের সমীকরণকে একবার এবং দুবার সময়ের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ নিলেই পাই,

এবার প্রতিটি কণার জন্য $m_n\vec a_n=\sum\vec F_n$ বসাই। তাহলে,

ডানপাশের বলগুলোর মধ্যে কিছু ব্যবস্থার ভেতরের কণাগুলোর পারস্পরিক বল, আর কিছু বাইরের বল। নিউটনের তৃতীয় সূত্র অনুযায়ী অভ্যন্তরীণ বলগুলো জোড়ায় জোড়ায় বাতিল হয়ে যায়, যখন পুরো ব্যবস্থার সব কণার ওপরের বল যোগ করি।

তাই বাকি থাকে কেবল বাহ্যিক বলবিস্তারিত জানতে দেখো:৭.২ দুই-কণা ব্যবস্থা:

এটাই বহু-কণা ব্যবস্থার জন্য নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র।

জটিল বস্তুর ভরকেন্দ্র সোজা নিয়মে চলে কেন?

মূল বইয়ের চিত্র ৭-৮-এ পৃথিবী আর চাঁদকে একটি ব্যবস্থা হিসেবে দেখানো হয়েছে। চাঁদ পৃথিবীকে কেন্দ্র করে ঘুরছে-এই সাধারণ বর্ণনার আড়ালে আসলে দুটো বস্তু তাদের সাধারণ ভরকেন্দ্রের চারদিকে ঘোরে। সূর্যের আকর্ষণের অধীনে পৃথিবী–চাঁদ ব্যবস্থার ভরকেন্দ্র সূর্যকে প্রদক্ষিণ করে; আর পৃথিবী ও চাঁদ সেই ভরকেন্দ্রকে ঘিরে ঘুরতে থাকে। এই ভরকেন্দ্র পৃথিবীর ভেতরেই অবস্থিত।

আরেকটা চমৎকার উদাহরণ আছে চিত্র ৭-৯-এ। ধরো, একটি প্রক্ষেপণ বস্তু আকাশে যাওয়ার সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড হঠাৎ বিস্ফোরিত হয়ে তিন টুকরো হলো। টুকরোগুলো তিন দিকে ছিটকে গেল। এখন তাদের পথগুলো জটিল হলেও তিন টুকরোর সম্মিলিত ভরকেন্দ্র সেই পুরোনো পরাবৃত্তাকার পথেই যাবে, যেটা বিস্ফোরণ না হলে পুরো বস্তুটি অনুসরণ করত-যতক্ষণ অভিকর্ষ ছাড়া অন্য বাহ্যিক প্রভাব (যেমন বায়ুর বাধা বা মাটির আঘাত) উপেক্ষা করা যায়।

কেন? বিস্ফোরণের বলগুলো ব্যবস্থার অভ্যন্তরীণ বলবিস্তারিত জানতে দেখো:৭.২ দুই-কণা ব্যবস্থা। সেগুলো টুকরোগুলোর আপেক্ষিক গতিবিস্তারিত জানতে দেখো:আপেক্ষিক গতি বদলায়, কিন্তু একা ভরকেন্দ্রের গতি বদলায় না।

উদাহরণ ৭.২: তিন কণার ভরকেন্দ্র এবং ত্বরণ

ধরো, একটি ব্যবস্থায় তিন কণা আছে:

• $m_1=4.1\,\mathrm{kg}$, অবস্থান $(-2,3)\,\mathrm{cm}$;
• $m_2=8.2\,\mathrm{kg}$, অবস্থান $(4,2)\,\mathrm{cm}$;
• $m_3=4.1\,\mathrm{kg}$, অবস্থান $(1,-2)\,\mathrm{cm}$।

তাদের ওপর বাহ্যিক বলগুলো হলো: প্রথম কণার ওপর বামে $6\,\mathrm{N}$, দ্বিতীয় কণার ওপর $45^\circ$ কোণে ডান-ওপরে $12\,\mathrm{N}$, আর তৃতীয় কণার ওপর ডানে $14\,\mathrm{N}$ (চিত্র ৭-১০)।

প্রথম ধাপ-ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক। মোট ভর,

সুতরাং,

দ্বিতীয় ধাপ-বাহ্যিক বলের লব্ধি। $x$-দিকের উপাংশ,

$y$-দিকের উপাংশ,

তাই লব্ধি বলের মান,

এর দিক,

তৃতীয় ধাপ-ভরকেন্দ্রের ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:৭.২ দুই-কণা ব্যবস্থা।

অর্থাৎ এত কণা, এত বল-সব মিলিয়ে পুরো ব্যবস্থার ভরকেন্দ্রের ত্বরণ মাত্র একটা সূত্র ব্যবহার করেই বেরিয়ে গেল।

উদাহরণ ৭.৩: বিস্ফোরণের পরে দ্বিতীয় টুকরোটা কোথায় গেল?

একটি $9.6\,\mathrm{kg}$ ভরের প্রক্ষেপণ বস্তুকে $12.4\,\mathrm{m/s}$ বেগে অনুভূমিকের সঙ্গে $54^\circ$ কোণে ছোড়া হলো। মাঝপথে সেটা দুই টুকরো হলো। ছোড়ার $1.42\,\mathrm{s}$ পরে $6.5\,\mathrm{kg}$ ভরের একটি টুকরো আছে $(13.6,5.9)\,\mathrm{m}$ অবস্থানে। দ্বিতীয় টুকরো কোথায়?

প্রথমেই ভাবো, বিস্ফোরণ না হলে মূল বস্তুটি তখন কোথায় থাকত? সেটাই দুই টুকরোর ভরকেন্দ্রের অবস্থান।

প্রাথমিক বেগের উপাংশ,

$t=1.42\,\mathrm{s}$ পরে,

অন্য টুকরোটির ভর,

ভরকেন্দ্রের সূত্রকে দ্বিতীয় টুকরোর অবস্থানের জন্য সাজাই:

দেখলে? দ্বিতীয় টুকরোটি কোথায় গেছে সেটা জানতে আমাদের বিস্ফোরণের বল কত ছিল তা জানতেই হলো না! শুধু ভরকেন্দ্রের অবস্থান জানাই যথেষ্ট।

মনে রেখো

ভরকেন্দ্রের গতি কেবল লব্ধি বাহ্যিক বল নির্ধারণ করে। ব্যবস্থার ভেতর কণাগুলো কীভাবে ঘুরছে বা একে অপরকে ঠেলছে, সেটা আলাদা বিষয়। তাই কোনো বিস্ফোরণে টুকরোর পথ বদলালেও, শুধু অভ্যন্তরীণ বলের কারণে তাদের ভরকেন্দ্রের পথ বদলায় না।