⚛ Science in Minutes

১১.৬ গতিশক্তি ও কাজ-শক্তি উপপাদ্য (Kinetic Energy and the Work–Energy Theorem)

গাড়িকে ধাক্কা দিয়ে দ্রুত করলে শক্তি কোথা থেকে আসে?

ধরো, মাঠে একটা ছোট ঠেলাগাড়ি দাঁড়িয়ে আছে। তুমি ধাক্কা দিলে, গাড়িটা চলতে শুরু করল। আরও কিছুটা পথ ঠেললে তার গতি বাড়তে লাগল।

এখন একটা প্রশ্ন করি: তোমার ধাক্কার সঙ্গে গাড়ির গতির পরিবর্তনের সম্পর্ক কী?

নিউটনের সূত্র দিয়ে আমরা F=maF=ma লিখতে পারি। কিন্তু আরেকটা চমৎকার উপায় আছে। তোমার বল গাড়িটাকে যতটা সরিয়েছে, সেই সময় করা মোট কাজ সরাসরি গাড়িটির গতিশক্তির পরিবর্তনের সঙ্গে যুক্ত।

গতিশক্তির সূত্র

mm ভরের কোনো বস্তু vv দ্রুতি নিয়ে চললে তার গতিশক্তি,

K=12mv2.\boxed{K=\frac12mv^2.}

এটা সমীকরণ (১১-২৩)। গতিশক্তি স্কেলার, একক জুল। বেগের দিক বদলে গেলেও যদি দ্রুতি অপরিবর্তিত থাকে, গতিশক্তি একই থাকে।

একই ভরের বস্তু দ্বিগুণ দ্রুত চললে গতিশক্তি চার গুণ:

K∝v2.K\propto v^2.

তাই দ্রুতগামী ট্রাক থামানো ধীরগতির ট্রাক থামানোর চেয়ে অনেক বেশি কঠিন হতে পারে।

কাজ–শক্তি উপপাদ্য কোথা থেকে আসে?

চলো সরল একমাত্রিক উদাহরণ ধরি। কোনো বস্তুর ওপর লব্ধি বল Fnet=maF_\mathrm{net}=ma কাজ করছে। বলের দিকেই বস্তু ss দূর সরে গেল। ধ্রুব ত্বরণে,

vf2=vi2+2as.v_f^2=v_i^2+2as.

তাই,

as=vf2−vi22.as=\frac{v_f^2-v_i^2}{2}.

লব্ধি বলের কাজ,

Wnet=Fnets=mas=12mvf2−12mvi2.\begin{aligned} W_\mathrm{net}&=F_\mathrm{net}s=mas\\ &=\frac12mv_f^2-\frac12mv_i^2. \end{aligned}

সুতরাং,

Wnet=Kf−Ki=ΔK.\boxed{W_\mathrm{net}=K_f-K_i=\Delta K.}

এই হচ্ছে কাজ–শক্তি উপপাদ্য (work–energy theorem), বইয়ের সমীকরণ (১১-২৪)।

কথায়: কোনো কণার ওপর কাজ করা সব বলের মোট কাজ সমান তার গতিশক্তির পরিবর্তন।

  • Wnet>0W_\mathrm{net}>0 হলে গতিশক্তি বাড়ে।
  • Wnet<0W_\mathrm{net}<0 হলে গতিশক্তি কমে।
  • Wnet=0W_\mathrm{net}=0 হলে গতিশক্তি অপরিবর্তিত (যদিও বেগের দিক বদলাতে পারে)।

গুরুত্বপূর্ণ: এটা নিউটনের সূত্রের বাইরে কোনো আলাদা নতুন মৌলিক সূত্র নয়। নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র থেকেই পাওয়া যায়।

বল বদলালেও কি সূত্র ঠিক থাকে?

হ্যাঁ, কণার ক্ষেত্রে পরিবর্তনশীল বলের জন্যও। আগের পাঠে শিখেছিলে,

Wnet=∫xixfFnet,x dx.W_\mathrm{net}=\int_{x_i}^{x_f}F_{\mathrm{net},x}\,dx.

এখন চেইন রুল অনুযায়ী,

ax=dvxdt=dvxdxdxdt=vxdvxdx.a_x=\frac{dv_x}{dt}=\frac{dv_x}{dx}\frac{dx}{dt}=v_x\frac{dv_x}{dx}.

নিউটনের সূত্র বসালে,

Wnet=∫xixfmax dx=∫vxivxfmvx dvx=12m(vxf2−vxi2).\begin{aligned} W_\mathrm{net}&=\int_{x_i}^{x_f}ma_x\,dx\\ &=\int_{v_{xi}}^{v_{xf}}mv_x\,dv_x\\ &=\frac12m(v_{xf}^2-v_{xi}^2). \end{aligned}

তাই আগের ফলটিই আবার এলো। দুই বা তিন মাত্রাতেও F⃗⋅ds⃗\vec F\cdot d\vec s ব্যবহার করে একই উপপাদ্য পাওয়া যায়।

উদাহরণ ১১-৬: নিউট্রনের গতিশক্তি শুধু সময় মেপে!

গবেষণাগারে খুব ছোট কণার গতি জানতে অনেক সময় time-of-flight পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। দুটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব d=6.2 md=6.2\ \mathrm m। একটি নিউট্রনের ওই পথ পাড়ি দিতে লেগেছে 160 μs160\ \mu\mathrm s। নিউট্রনের ভর 1.67×10−27 kg1.67\times10^{-27}\ \mathrm{kg}। গতিশক্তি কত?

প্রথমে দ্রুতি,

v=dt=6.2160×10−6≈3.88×104 m/s.v=\frac dt=\frac{6.2}{160\times10^{-6}}\approx3.88\times10^4\ \mathrm{m/s}.

এখন,

K=12mv2=12(1.67×10−27)(3.88×104)2.K=\frac12mv^2 =\frac12(1.67\times10^{-27})(3.88\times10^4)^2.

ফলে,

K≈1.26×10−18 J≈7.9 eV.\boxed{K\approx1.26\times10^{-18}\ \mathrm J\approx7.9\ \mathrm{eV}.}

অর্থটা কী? নিউট্রন খুব দ্রুত চললেও ভর অতি ক্ষুদ্র বলে তার শক্তি জুলে খুব ছোট। পারমাণবিক পদার্থবিজ্ঞানে তাই ইলেকট্রন-ভোল্ট একক ব্যবহার সুবিধাজনক।

উদাহরণ ১১-৭: ১০.৫ মিটার থেকে পড়লে কত দ্রুতি?

একটি 4.5 g4.5\ \mathrm g বস্তু স্থির অবস্থা থেকে h=10.5 mh=10.5\ \mathrm m উপর থেকে পড়ল। বায়ুর বাধা উপেক্ষা করো। মাটিতে লাগার ঠিক আগে দ্রুতি কত?

মহাকর্ষের ধনাত্মক কাজ,

Wg=mgh.W_g=mgh.

প্রথমে গতিশক্তি শূন্য, শেষে 12mv2\tfrac12mv^2। তাই,

mgh=12mv2.mgh=\frac12mv^2.

দু’পাশ থেকে mm কেটে যায়:

v=2gh=2(9.80)(10.5)≈14.3 m/s.\boxed{v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2(9.80)(10.5)}\approx14.3\ \mathrm{m/s}.}

বস্তুর ভর দেওয়া ছিল 4.5 g4.5\ \mathrm g, কিন্তু উত্তর বের করতে সেটা লাগল না। বায়ুর বাধা না থাকলে একই উচ্চতা থেকে ছাড়া সব বস্তুর পড়ার দ্রুতি একই-আগেও দেখেছিলে, এবার কাজ–শক্তি দিয়ে দেখলে।

উদাহরণ ১১-৮: চলন্ত ব্লক স্প্রিং চাপ দিয়ে থামল

একটি m=3.63 kgm=3.63\ \mathrm{kg} ব্লক ঘর্ষণহীন টেবিলে v=1.22 m/sv=1.22\ \mathrm{m/s} বেগে চলছে। সামনে k=135 N/mk=135\ \mathrm{N/m} স্প্রিং। ব্লক স্প্রিং চাপতে চাপতে থামল। স্প্রিং কতটা সংকুচিত হলো?

ব্লকের প্রাথমিক গতিশক্তি,

Ki=12mv2.K_i=\frac12mv^2.

শেষে Kf=0K_f=0। স্প্রিংয়ের কাজ Ws=−12kd2W_s=-\tfrac12kd^2। কাজ–শক্তি উপপাদ্য অনুযায়ী,

−12kd2=−12mv2.-\frac12kd^2=-\frac12mv^2.

অতএব,

d=vmk=(1.22)3.63135=0.200 m.\boxed{d=v\sqrt{\frac mk}=(1.22)\sqrt{\frac{3.63}{135}}=0.200\ \mathrm m.}

অর্থাৎ স্প্রিং ২০.০ সেন্টিমিটার সংকুচিত হবে। পরে এই শক্তিকে আমরা স্প্রিংয়ে সঞ্চিত বিভবশক্তির ভাষায়ও দেখব।

এবার একটু চমক: পর্যবেক্ষক বদলালে কাজও বদলাতে পারে!

মনেকরো, চলন্ত ট্রেনের বগির ওপর একটা বাক্সকে সামনে ঠেলা হচ্ছে। ট্রেনের ভেতর বসা পর্যবেক্ষক দেখবে বাক্সটা অল্প দূর গেছে। কিন্তু প্ল্যাটফর্মে দাঁড়ানো মানুষ দেখবে, ওই একই সময়ে ট্রেনটাও সামনে গেছে-তাই বাক্সের মোট সরণ অনেক বেশি।

দুজন একই বল মাপলেও সরণ আলাদা মাপতে পারে। কাজ W=F⃗⋅s⃗W=\vec F\cdot\vec s; তাই কাজের সংখ্যাও আলাদা হবে। গতিশক্তির মানও আলাদা হবে, কারণ বেগ আলাদা।

তাহলে কি কাজ–শক্তি উপপাদ্য ভুল? মোটেই না! প্রতিটি জড় প্রসঙ্গ কাঠামোয় উপপাদ্যটি একইভাবে সত্য:

W=ΔK.W=\Delta K.

উদাহরণ ১১-৯: চলন্ত ট্রেনের ওপর বাক্স ঠেলা

একজন শ্রমিক m=12.0 kgm=12.0\ \mathrm{kg} বাক্সকে ঘর্ষণহীন সমতলে F=5.63 NF=5.63\ \mathrm N বল দিয়ে ট্রেনের সামনের দিকে ঠেলছেন। ট্রেনের গতি 15.0 m/s15.0\ \mathrm{m/s}। ট্রেনের পর্যবেক্ষক দেখেন বাক্স স্থির থেকে 2.4 m2.4\ \mathrm m এগিয়েছে।

ট্রেনের পর্যবেক্ষকের হিসাব:

W=Fs=(5.63)(2.4)≈13.5 J.W=Fs=(5.63)(2.4)\approx13.5\ \mathrm J.

তাই,

12mvf2=13.5⇒vf=1.50 m/s.\frac12mv_f^2=13.5\quad\Rightarrow\quad\boxed{v_f=1.50\ \mathrm{m/s}}.

এই বেগ ট্রেনের সাপেক্ষে।

প্ল্যাটফর্মের পর্যবেক্ষকের হিসাব:

বাক্সকে ঠেলার সময়,

t=mvfF=(12.0)(1.50)5.63≈3.20 s.t=\frac{mv_f}{F}=\frac{(12.0)(1.50)}{5.63}\approx3.20\ \mathrm s.

ট্রেন এই সময়ে 15.0×3.20=48.0 m15.0\times3.20=48.0\ \mathrm m এগিয়েছে। তাই প্ল্যাটফর্ম থেকে বাক্সের মোট সরণ,

s′=48.0+2.4=50.4 m.s'=48.0+2.4=50.4\ \mathrm m.

এই পর্যবেক্ষকের হিসাবে কাজ,

W′=Fs′=(5.63)(50.4)≈284 J.\boxed{W'=Fs'=(5.63)(50.4)\approx284\ \mathrm J.}

বাক্সের প্রাথমিক দ্রুতি 15.0 m/s15.0\ \mathrm{m/s}, শেষ দ্রুতি 16.5 m/s16.5\ \mathrm{m/s}। তাই,

ΔK′=12(12.0)(16.52−15.02)≈284 J.\begin{aligned} \Delta K'&=\frac12(12.0)(16.5^2-15.0^2)\\ &\approx284\ \mathrm J. \end{aligned}

দেখো, প্রথমজন বলছে কাজ 13.5 J13.5\ \mathrm J, দ্বিতীয়জন বলছে 284 J284\ \mathrm J-দুজনের হিসাবই নিজের জড় প্রসঙ্গ কাঠামোয় ঠিক, এবং দুজনের ক্ষেত্রেই W=ΔKW=\Delta K।

উপপাদ্যটি কোথায় সরাসরি ব্যবহার করা যায় না?

এখানে একটা গুরুত্বপূর্ণ সতর্কতা। আমরা যে সরল Wnet=ΔKW_\mathrm{net}=\Delta K সম্পর্কটি বের করেছি, সেটি একটি কণা বা কণার মতো চলা বস্তুর জন্য। কোনো বড় বস্তু ধাক্কা খেয়ে যদি বেঁকে যায়, চূর্ণ হয়, গরম হয় বা ভেতরে শক্তি সঞ্চয় করে, তখন শুধু তার কেন্দ্রের গতিশক্তি ধরে এই সরল সূত্র ব্যবহার করলে ভুল হতে পারে।

ধরো, একটা গাড়ি কংক্রিটের দেয়ালে ধাক্কা খেল। গাড়ি থামল, কিন্তু তার গায়ে ভাঁজ পড়ল, শব্দ হলো, তাপ উৎপন্ন হলো। কেবল সরল যান্ত্রিক কাজ আর গাড়ির গতি বিবেচনা করে পুরো ঘটনাটা বোঝানো যাবে না। একইভাবে ঘর্ষণযুক্ত পৃষ্ঠে পিছলে চলা ব্লকের ক্ষেত্রে অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন গুরুত্বপূর্ণ।

এই ধরনের প্রসারিত সিস্টেমের জন্য পরে আরও সাধারণ শক্তি-সংরক্ষণ নীতি শিখব। তাই বল-সরণ দিয়ে কাজ এবং গতিশক্তি গণনা করার সময় পরিষ্কার করে দেখবে, সিস্টেমের ভেতরে অন্য ধরনের শক্তি বদলাচ্ছে কি না।

মনে রেখো: লব্ধি কাজ এবং গতিশক্তির পরিবর্তন সরাসরি যুক্ত। কিন্তু প্রসঙ্গ কাঠামো, সিস্টেমের সীমানা আর ভেতরের শক্তির পরিবর্তন উপেক্ষা করলে সমীকরণের ভুল ব্যবহার হতে পারে।

মূল বই: অনুচ্ছেদ ১১-৬; সমীকরণ (১১-২১)–(১১-২৪), সাধারণ প্রমাণ, উদাহরণ ১১-৬–১১-৯ এবং চিত্র ১১-১৮।