৪.১: ত্রিমাত্রিক সমত্বরণে গতি

Motion in Three Dimensions with Constant Acceleration

ত্বরণ তিন দিকে হলে কী হবে?

ধরো, একটা স্পেসশীপের ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর সবসময় একই আছে, অর্থাৎ ত্বরণের মান এবং দিক কোনোটাই সময়ের সঙ্গে বদলাচ্ছে না। ত্বরণ ভেক্টরটা লিখতে পারি,

এখানে $a_x$, $a_y$ আর $a_z$ হলো তিন অক্ষ বরাবর ত্বরণের উপাংশ। প্রত্যেকটি উপাংশ ধ্রুবক।

ত্রিমাত্রিক সমত্বরণ

কোনো বস্তুর ত্বরণ ভেক্টরের মান ও দিক সময়ের সঙ্গে অপরিবর্তিত থাকলে তাকে ধ্রুব বা সমত্বরণের গতি বলবো। তিন মাত্রায় এর অর্থ হলো $a_x$, $a_y$ এবং $a_z$-প্রতিটি উপাংশ ধ্রুবক।

শুরুর বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর যদি হয়,

তাহলে একমাত্রিক গতির $v=v_0+at$ সূত্র তিন দিকে আলাদা করে লিখতে পারি,

এই তিনটা সমীকরণকে একসঙ্গে একটা ভেক্টর সমীকরণে লেখা যায়,

এবার অবস্থানের কথা ভাবো। শুরুতে অবস্থান ভেক্টরবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর $\vec r_0$ হলে আগের অধ্যায়ের $x=x_0+v_0t+\frac12at^2$ সূত্র ব্যবহার করে পাই,

অর্থাৎ,

একটু খেয়াল করো, আগের পরিচ্ছেদের একই সমীকরণ! শুধু সংখ্যা দিয়ে বেগ আর ত্বরণ না লিখে আমরা ভেক্টর ব্যবহার করেছি।

x-অক্ষের ত্বরণ কি y-অক্ষের বেগ বদলাবে?

মনেকরো, কাটুশ স্পেসশীপের শুধু ডানদিকের ইঞ্জিনটা চালু করলো, যাতে x-অক্ষ বরাবর ত্বরণ তৈরি হয়। তাহলে কি y-অক্ষ বরাবর বেগও বদলে যাবে?

না। কার্টেশীয় কো-অর্ডিনেট সিস্টেমে আমরা প্রতিটি উপাংশকে আলাদাভাবে বিশ্লেষণ করতে পারি। $a_x$ সরাসরি $v_x$ বদলায়, $a_y$ বদলায় $v_y$, আর $a_z$ বদলায় $v_z$। অবশ্য সব উপাংশ মিলেই স্পেসশীপটার সামগ্রিক গতি ও গতিপথ তৈরি হয়।

মনে রাখার কৌশল

একাধিক দিকে গতি থাকলে আগে প্রতিটি অক্ষ বরাবর সমীকরণ লিখো। তারপর প্রয়োজন হলে উপাংশগুলো ভেক্টর যোগ করে মোট বেগ, সরণ কিংবা তাদের দিক বের করো।

উদাহরণ ৪-১: স্পেসশীপ আর Tractor Beam

ধরো, কাটুশের স্পেসশীপ মহাকাশে $15.0\,\mathrm{km/s}$ বেগে সামনে ছুটছে। আশপাশে মহাকর্ষের প্রভাব আপাতত উপেক্ষা করলাম। হঠাৎ একটা Tractor Beam পাশ থেকে টানতে শুরু করলো। টানের ফলে স্পেসশীপটা আগের বেগের লম্বদিকে $4.2\,\mathrm{km/s^2}$ ত্বরণ পেল।

প্রথম $4.0\,\mathrm s$ শুধু Tractor Beam কাজ করলো। তারপর স্পেসশীপের ইঞ্জিনও চালু হলো এবং সামনের দিকে আরও $18.0\,\mathrm{km/s^2}$ ত্বরণ তৈরি করলো। পরের $3.0\,\mathrm s$ দুই ত্বরণই কাজ করেছে। এরপর দুটোই বন্ধ হয়ে গেল। এখন কাটুশ জানতে চায়, মোট ৭ সেকেন্ড পরে স্পেসশীপের বেগ কত এবং শুরুর জায়গা থেকে কোথায় পৌঁছেছে?

আগের বেগের দিককে $+x$ আর Tractor Beam-এর টানের দিককে $+y$ ধরলাম। Tractor Beam চালু হওয়ার জায়গাটাকেই কেন্দ্রবিন্দু ধরি।

প্রথম ৪ সেকেন্ড

শুরুতে $v_{0x}=15.0$, $v_{0y}=0$, $a_x=0$, $a_y=4.2$ (দৈর্ঘ্যবিস্তারিত জানতে দেখো:দৈর্ঘ্যের মানদণ্ড ও সময়ের এককবিস্তারিত জানতে দেখো:ভৌত রাশি, মানদণ্ড এবং একক যথাক্রমে km ও s)।

তাই,

অবস্থান,

অর্থাৎ চার সেকেন্ড পরে স্পেসশীপটা আগের পথ বরাবর $60$ কিলোমিটার সামনে আর পাশের দিকে $33.6$ কিলোমিটার সরে গেছে।

পরের ৩ সেকেন্ড

এখন ইঞ্জিনও চালু হয়েছে। তাই $a_x=18.0$, $a_y=4.2\,\mathrm{km/s^2}$। কিন্তু এই অংশের শুরুর বেগ আর অবস্থান আগের হিসাব থেকে নিতে হবে। ঘড়িটা এই অংশের জন্য নতুন করে $t'=0$ ধরলাম, তবে কেন্দ্রবিন্দু বদলাবো না।

অবস্থান,

এবার বেগের মান,

বেগটা x-অক্ষের সঙ্গে যে কোণ তৈরি করেছে,

অর্থাৎ ৭ সেকেন্ড পরে স্পেসশীপের বেগ প্রায় $75\,\mathrm{km/s}$, আগের চলার দিকের সঙ্গে $23^\circ$ কোণে। শুরুর জায়গার সাপেক্ষে এর অবস্থান $x=186\,\mathrm{km}$ এবং $y\approx103\,\mathrm{km}$। অবস্থান ভেক্টরের মান প্রায় $213\,\mathrm{km}$।

এখানে কিন্তু বেগের দিক আর অবস্থান ভেক্টরের দিক একই নয়! বেগ হলো এখন কোন দিকে চলছে, আর অবস্থান হলো শুরুর জায়গা থেকে এখন কোথায় আছে। বইয়ের চিত্র ৪-১-এ পুরো গতিপথ ও কয়েক সেকেন্ড পরপর অবস্থান দেখানো হয়েছে।

একটু চিন্তা করো

যদি Tractor Beam-টা না থাকতো, তাহলে ৭ সেকেন্ড পরে x-অক্ষ বরাবর অবস্থান আর বেগের উপাংশ কি বদলাতো? সূত্রগুলো দেখে মিলিয়ে নাও।