৪.২: ত্রিমাত্রিক ভেক্টরে নিউটনের সূত্র

Newton’s Laws in Three-Dimensional Vector Form

মনেকরো, কাটুশ একটা বড় বাক্স ঠেলছে। কিন্তু সে একা নয়, তার বন্ধু আরেক পাশ থেকে বাক্সটাকে অন্য দিকে ঠেলছে। এবার বাক্সটা কোন দিকে যাবে?

শুধু একজন কত নিউটন বল দিচ্ছে সেটা জানলেই কিন্তু হবে না। কে কোন দিকে বল দিচ্ছে, সেটাও জানতে হবে। এই কারণেই বলকে ভেক্টর দিয়ে প্রকাশ করা এত সুবিধার।

বল যে ভেক্টর, সেটা বুঝবো কীভাবে?

ধরো, একটা $1\,\mathrm{kg}$ ভরের বস্তুর ওপর x-অক্ষ বরাবর $4\,\mathrm N$ বল প্রয়োগ করলে $4\,\mathrm{m/s^2}$ ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর হলো। এবার একই বস্তুর ওপর y-অক্ষ বরাবর $3\,\mathrm N$ বল প্রয়োগ করলে $3\,\mathrm{m/s^2}$ ত্বরণ হচ্ছে।

এবার দুই বল একই সঙ্গে প্রয়োগ করলাম। কী হবে?

পরীক্ষায় দেখা যাবে, বস্তুটি একটা তির্যক দিকে ত্বরণ পাচ্ছে, যার উপাংশ,

ফলে ত্বরণের মান,

আর দিক,

একই ফল পাওয়া যেত যদি x-অক্ষের সঙ্গে $37^\circ$ কোণে একটা $5\,\mathrm N$ বল দেওয়া হতো। অর্থাৎ বলগুলোকে ভেক্টর যোগের নিয়মে যোগ করলেই নিট বলবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র পাওয়া যাচ্ছে। বইয়ের চিত্র ৪-২-এ এই পরীক্ষাটা দেখানো আছে।

বলের ভেক্টর ধর্ম

বলের মান ও দিক দুটোই আছে এবং একাধিক বল ভেক্টর যোগের নিয়ম মেনে যুক্ত হয়। তাই বল একটি ভেক্টর রাশি।

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র তিন মাত্রায়

আগের অধ্যায়ে দেখেছিলাম,

যদি বলগুলো বিভিন্ন দিকে কাজ করে, তাহলে তিনটি অক্ষের জন্য আলাদা সমীকরণ লিখতে পারি,

এখানে $\sum\vec F$ হচ্ছে বস্তুর ওপর কাজ করা সব বাহ্যিক বলের ভেক্টর যোগফল, একটা নির্দিষ্ট বল নয়।

যেহেতু ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা $m$ একটা স্কেলার রাশিবিস্তারিত জানতে দেখো:ভেক্টরের সাহায্যে গতির বর্ণনা, তাই নিট বলের দিক আর ত্বরণের দিক একই হবে।

মনে রেখো, এই তিনটি সমীকরণ আলাদা করে সমাধান করা যায়। তবে বস্তুর শেষ বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর বা অবস্থান জানতে হলে সেগুলো আবার মিলিয়ে দেখতে হয়।

নিউটনের তৃতীয় সূত্রও ভেক্টর সমীকরণ

মনেকরো, কাটুশ তার বন্ধুকে ডানদিকে ঠেলা দিলো। ঠিক একই সময়ে বন্ধু কাটুশকেও সমান মানের বল দিয়ে বাঁদিকে ঠেলছে। এই দুটো বল আলাদা দুটি বস্তুর ওপর কাজ করছে।

তাই নিউটনের তৃতীয় সূত্রকে লিখতে পারি,

এখানে $\vec F_{AB}$ বোঝাচ্ছে B-এর দ্বারা A-এর ওপর বল, আর $\vec F_{BA}$ বোঝাচ্ছে A-এর দ্বারা B-এর ওপর বল। মাইনাস চিহ্নের অর্থ, দিক বিপরীত। পৃথিবীর যেকোনো দিকে বল দুটো কাজ করুক না কেন, সম্পর্কটি ঠিক থাকবে।

উদাহরণ ৪-২: দুই বন্ধু একসঙ্গে বাক্স ঠেলছে

ধরো, কাটুশ একটা $62\,\mathrm{kg}$ ভরের বাক্সকে ঘর্ষণহীন মেঝেতে ঠেলে ছেড়ে দিলো। বাক্সটা প্রথমে $6.4\,\mathrm{m/s}$ বেগে x-অক্ষের ধনাত্মক দিকে চলছে।

এবার দুই বন্ধু এসে বাক্সটাকে অন্যদিকে ঘোরানোর চেষ্টা করলো। একজন (Tom) শুরুর গতির উল্টোদিকে $81\,\mathrm N$ বল দিলো। আরেকজন (Jane) তার লম্বদিকে, অর্থাৎ $+y$ বরাবর $105\,\mathrm N$ বল দিলো। দুজনেই $3.0\,\mathrm s$ ধরে ঠেললো।

প্রশ্ন হচ্ছে, ঠেলা শেষ হলে বাক্সটা কোন দিকে চলবে?

প্রথমে x-অক্ষ বরাবর নিট বল,

আর y-অক্ষ বরাবর,

তাহলে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র থেকে,

এবার বেগের উপাংশ হিসাব করো। প্রথমে $v_{0x}=6.4\,\mathrm{m/s}$, $v_{0y}=0$।

দেখো, x-অক্ষ বরাবর বেগ এখনও ধনাত্মক। অর্থাৎ Tom বিপরীত দিকে ঠেললেও বাক্সটাকে পুরো থামাতে পারেনি। তবে Jane-এর ধাক্কায় y-অক্ষ বরাবর বেগ তৈরি হয়েছে।

মোট বেগ,

আর দিক,

সুতরাং তিন সেকেন্ড পরে বাক্সটা ধনাত্মক x-অক্ষের সঙ্গে প্রায় $64^\circ$ কোণে $5.7\,\mathrm{m/s}$ বেগে চলছে।

বইয়ের চিত্র ৪-৩-এ দুই বন্ধুর বল, বাক্সের Free-Body Diagram আর বাঁকানো গতিপথ দেখানো হয়েছে। সেখানে শেষ মুহূর্তের বেগ ভেক্টরটা গতিপথের স্পর্শক বরাবর রয়েছে।

একটা সাধারণ ভুল

বাক্সের ওপর নিট বল যে দিকে, বেগও সবসময় ঠিক সেদিকেই হবে-এমন ভাববে না। নিট বল ত্বরণের দিক নির্ধারণ করে। আগে থেকে বেগ থাকলে সেই বেগের সঙ্গে ত্বরণের কারণে তৈরি পরিবর্তন যোগ করে নতুন বেগ বের করতে হয়।

একটু নিজে করে দেখো

একই হিসাব থেকে $t=3.0\,\mathrm s$-এ বাক্সের $x$ ও $y$ অবস্থান বের করতে পারবে? ধরা যায়, শুরুর অবস্থান $x_0=y_0=0$। আগের পরিচ্ছেদের $\vec r=\vec r_0+\vec v_0t+\frac12\vec at^2$ সূত্র ব্যবহার করলেই হবে।