⚛ Science in Minutes

৯.৪ মহাকর্ষজনিত টর্ক (Torque Due to Gravity)

লাঠিটা হাত থেকে ছেড়ে দিলে একদিকে হেলে পড়ে কেন?

ধরো, একটা লম্বা স্কেল এক প্রান্তে ধরে রেখেছো। ছেড়ে দিলেই সেটা নিচের দিকে ঘুরে পড়ে। তুমি বলবে, “মহাকর্ষ টানছে।” ঠিক। কিন্তু মহাকর্ষ কি কেবল স্কেলের মাঝখানে টান দেয়?

না! স্কেলের প্রতিটি ক্ষুদ্র অংশের ওপরই মহাকর্ষ কাজ করছে। তাহলে ঘূর্ণন বের করতে কি প্রতিটি অংশের টর্ক আলাদা করে যোগ করতে হবে?

সৌভাগ্যবশত, পৃথিবীর কাছাকাছি ছোট কোনো বস্তুর জন্য মহাকর্ষের প্রভাবকে আমরা একটি মাত্র বল দিয়ে প্রকাশ করতে পারি। বলটির মান পুরো বস্তুর ওজন, MgMg, আর সাধারণ অবস্থায় এটি কাজ করে ভরকেন্দ্রে।

কেন পুরো ওজন ভরকেন্দ্রে ধরে নিতে পারি?

ভাবো, বড় বস্তুটা m1,m2,…,mNm_1,m_2,\dots,m_N ভরের ছোট ছোট অংশ নিয়ে তৈরি। প্রত্যেক অংশের উপর মহাকর্ষ বল mig⃗m_i\vec g। মোট মহাকর্ষ বল,

∑iF⃗i=∑imig⃗.\sum_i\vec F_i=\sum_i m_i\vec g.

যদি সব অংশের জন্য g⃗\vec g একই হয়, অর্থাৎ ক্ষেত্রটি সুষম (uniform), তাহলে,

∑iF⃗i=(∑imi)g⃗=Mg⃗.\sum_i\vec F_i=\left(\sum_i m_i\right)\vec g=\boxed{M\vec g}.

এবার কোনো নির্বাচিত OO বিন্দুর সাপেক্ষে মোট টর্ক,

∑iτ⃗i=∑i(r⃗i×mig⃗)=(∑imir⃗i)×g⃗.\begin{aligned} \sum_i\vec\tau_i &=\sum_i(\vec r_i\times m_i\vec g)\\ &=\left(\sum_i m_i\vec r_i\right)\times\vec g. \end{aligned}

সপ্তম অধ্যায়ের ভরকেন্দ্রের সূত্র মনে আছে?

r⃗cm=∑imir⃗iM.\vec r_{\rm cm}=\frac{\sum_i m_i\vec r_i}{M}.

সেটা বসালে,

∑τ⃗g=r⃗cm×(Mg⃗).\boxed{\sum\vec\tau_g=\vec r_{\rm cm}\times(M\vec g)}.

অর্থাৎ পুরো বস্তুর মহাকর্ষজনিত টর্ক ঠিক এমন, যেন সমস্ত ওজন ভরকেন্দ্রের উপর দিয়ে প্রয়োগ করা হয়েছে। এটাই মূল বইয়ের সমীকরণ (৯-২১)।

বিশেষ করে ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে r⃗cm=0\vec r_{\rm cm}=0 হলে মহাকর্ষের মোট টর্কও শূন্য।

ভরকেন্দ্র আর ভারকেন্দ্র কি একই?

আগের অধ্যায়ে তুমি ভরকেন্দ্র (center of mass) জেনেছো। সেটি কেবল ভর কোথায় ছড়িয়ে আছে তার উপর নির্ভর করে। কোনো মহাকর্ষ ক্ষেত্র থাকুক বা না থাকুক, ভরকেন্দ্রের সংজ্ঞা দেওয়া যায়।

এবার নতুন শব্দ ভারকেন্দ্র (center of gravity)-এটি হলো সেই বিন্দু, যেখানে পুরো মহাকর্ষীয় বল কাজ করছে বলে ধরে নিলে বস্তুর উপর একই মোট বল ও টর্ক পাওয়া যায়।

পৃথিবীপৃষ্ঠে স্কেল, বই, চেয়ার বা যন্ত্রের মতো ছোট বস্তুর জন্য gg প্রায় সব জায়গায় সমান। তখন,

ভারকেন্দ্র≈ভরকেন্দ্র.\boxed{\text{ভারকেন্দ্র}\approx\text{ভরকেন্দ্র}}.

কিন্তু খুব লম্বা বস্তু বা অনেক দূরত্বে ছড়িয়ে থাকা ব্যবস্থায় gg সব অংশের জন্য হুবহু এক নাও হতে পারে। তখন দুই কেন্দ্রের অবস্থান আলাদা হতে পারে।

দুটি গোলক দিয়ে ব্যাপারটা বোঝো

মনেকরো, এক লম্বা হালকা দণ্ডের দুই প্রান্তে সমান ভরের দুটি গোলক রয়েছে। ভরকেন্দ্র নিঃসন্দেহে মাঝখানে। এখন দণ্ডটা একটু তির্যকভাবে ধরলে নিচের গোলক পৃথিবীর কেন্দ্রের সামান্য কাছে থাকে। তার উপর মহাকর্ষের বলও সামান্য বেশি। ফলে ভারকেন্দ্র মাঝখান থেকে নিচের গোলকের দিকে সামান্য সরে যায়।

মূল বইয়ের চিত্র ৯-১৯-এ এই উদাহরণটি দেখানো হয়েছে। বইয়ের হিসেবে, পৃথিবীপৃষ্ঠে 1 m1\ \mathrm m দৈর্ঘ্যের এমন একটি ব্যবস্থা 45∘45^\circ কোণে থাকলে ভরকেন্দ্র ও ভারকেন্দ্রের পার্থক্য প্রায় 55 nm55\ \mathrm{nm}-এত ক্ষুদ্র যে সাধারণ বলবিদ্যার অঙ্কে উপেক্ষা করা যায়।

একটা বস্তুকে ঝুলিয়ে ভারকেন্দ্র খুঁজে পাওয়া যায়!

ধরো, তোমার হাতে অনিয়মিত আকৃতির একটা পাতলা ধাতুর টুকরো। এর ভরকেন্দ্র কোথায় তুমি জানো না। একটা বিন্দুতে সুতো বেঁধে ঝুলিয়ে দাও। বস্তুটি স্থির হলে সুতো বরাবর নিচে একটি উল্লম্ব রেখা আঁকো। ভারকেন্দ্র ওই রেখাতেই থাকতে হবে। কেন?

কারণ ভারকেন্দ্র ওই রেখার বাইরে হলে ওজন আর সুতোর টান আলাদা ক্রিয়ারেখায় কাজ করে টর্ক তৈরি করত; বস্তুটা স্থির থাকতে পারত না।

এবার টুকরোটা অন্য বিন্দু থেকে ঝুলিয়ে আবার একটি উল্লম্ব রেখা আঁকো। দুটি রেখার ছেদবিন্দুই ভারকেন্দ্র (সুষম মহাকর্ষ ক্ষেত্রে ভরকেন্দ্রও)। মূল বইয়ের চিত্র ৯-২০-এ কৌশলটি দেখানো আছে।

একই কারণে তোমার আঙুলের ডগায় লম্বা স্কেল খাড়া করে রাখতে গেলে বারবার হাত নাড়াতে হয়। স্কেলের ভারকেন্দ্রের ঠিক নিচে হাত রাখতে পারলে টর্ক শূন্য রাখা যায়। সামান্য এদিক-সেদিক হলেই স্কেল হেলে পড়ে।

একটু ভেবে দেখো

একটি সমসত্ত্ব স্কেলকে তার মাঝখানে সুতো দিয়ে ঝুলিয়ে রাখলে কেন যেকোনো দিকে ঘুরিয়ে দেওয়া অবস্থাতেও (শুধু মহাকর্ষের টর্ক বিবেচনা করলে) সেটি নিজে নিজে কোনো দিকে ঘুরতে চাইবে না? অক্ষটি যদি মাঝখান থেকে সরিয়ে দাও, কী বদলাবে?

মনে রেখো

  • ভরকেন্দ্র নির্ধারণ করে বস্তুর ভরবণ্টন।
  • ভারকেন্দ্র নির্ধারণে মহাকর্ষ ক্ষেত্রের বণ্টনও গুরুত্বপূর্ণ।
  • g⃗\vec g সুষম হলে পুরো ওজনকে ভরকেন্দ্রে কেন্দ্রীভূত ধরে টর্ক হিসাব করা যায়।

এই ধারণাটিই পরের অংশে সেতু, মই, বিম আর অন্যান্য স্থির কাঠামোর সাম্যাবস্থা নির্ণয়ে দারুণ কাজে লাগবে।