১১.২ ধ্রুব বলের দ্বারা সম্পাদিত কাজ (Work Done by a Constant Force)

একই বাক্স উঠানোর দুটি রাস্তা-কোনটায় বেশি কাজ?

মনেকরো, তোমাকে একটা ভারী বাক্স নিচতলা থেকে উঁচু মঞ্চে তুলতে হবে। এক বন্ধু বলল, “দড়ি দিয়ে সোজা উপরে তুলে ফেলি।” আরেক বন্ধু বলল, “একটা ঢালু তক্তা বসাই, কম জোরে ঠেলতে পারব।”

প্রথম পদ্ধতিতে তোমাকে অনেক বেশি বল দিতে হবে, কিন্তু বাক্স কম দূর যাবে। দ্বিতীয় পদ্ধতিতে বল লাগবে কম, কিন্তু বাক্স বেশি পথ পাড়ি দেবে। তাহলে মোট কাজ কার বেশি?

ঘর্ষণ না থাকলে এবং বাক্সটা ধ্রুব বেগে উঠলে উত্তরটা মজার-দুই ক্ষেত্রেই কাজ সমান। কারণ কাজ শুধু বলের ওপর নয়, বল প্রয়োগের সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড বস্তুটা কত দূর আর কোন দিকে সরেছে তার ওপরও নির্ভর করে।

বল ও সরণ একই দিকে থাকলে

ধরো, একটি ধ্রুব বল $F$ বস্তুকে তার বলের দিকেই $s$ দূর সরাল। তাহলে ওই বলের করা কাজ,

এটাই মূল বইয়ের সমীকরণ (১১-১)। এখানে $F$-এর এককবিস্তারিত জানতে দেখো:ভৌত রাশি, মানদণ্ড এবং একক নিউটন, $s$-এর একক মিটার, আর কাজের একক জুল (joule):

তবে একটা ব্যাপার খেয়াল করো: টর্কবিস্তারিত জানতে দেখো:৯.১ টর্ক-এর এককও নিউটন-মিটার, কিন্তু টর্ক আর কাজ একই রাশি নয়।

ঢালু তলে হিসাবটা মিলিয়ে দেখি

বাক্সের ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা $m$, মঞ্চের উচ্চতা $h$। ধ্রুব বেগে সোজা উপরে তুললে টানতে হবে $T=mg$ বল দিয়ে। তাই তোমার কাজ,

এবার ঢালু তলের দৈর্ঘ্যবিস্তারিত জানতে দেখো:দৈর্ঘ্যের মানদণ্ড $L$ আর অনুভূমিকের সঙ্গে কোণ $\theta$। ঢালের বরাবর মহাকর্ষের উপাংশ $mg\sin\theta$ নিচের দিকে। ঘর্ষণ না থাকলে ধ্রুব বেগে ঠেলার জন্য,

তাই,

কিন্তু জ্যামিতি থেকে $h=L\sin\theta$। ফলে,

দেখলে? ঢাল ব্যবহার করলে বল কম লাগে, কিন্তু পথ বড় হয়। মোট কাজ একই। অবশ্য বাস্তবে ঘর্ষণ থাকলে অতিরিক্ত কাজ করতে হতে পারে।

বল যদি সরণের সঙ্গে কোণে থাকে?

ধরো, তুমি একটা স্লেজকে দড়ি দিয়ে টানছো। স্লেজটা মাটির ওপর অনুভূমিক দিকে এগোচ্ছে, কিন্তু দড়িটা উপরের দিকে $\phi$ কোণে। তোমার পুরো বল স্লেজের গতির দিকে নেই। কেবল সামনের দিকে বলের উপাংশ $F\cos\phi$ স্লেজকে এগিয়ে নিতে কাজ করে।

তাই সাধারণ সূত্র,

এটা সমীকরণ (১১-২); $\phi$ হলো প্রয়োগ করা বল আর সরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর ভেক্টর-এর মধ্যকার কোণ। ঢালু তলের কোণ $\theta$-এর সঙ্গে গুলিয়ে ফেলবে না।

কাজ ধনাত্মক, ঋণাত্মক, নাকি শূন্য?

এবার একেকটা পরিস্থিতি কল্পনা করো:

• $\phi=0^\circ$: বল আর সরণ একই দিকে। $W=+Fs$। যেমন ঠেলে ঠেলে বাক্স এগোনো।
• $\phi=180^\circ$: বল সরণের বিপরীতে। $W=-Fs$। যেমন চলন্ত বাক্সের ওপর ঘর্ষণের কাজ।
• $\phi=90^\circ$: বল সরণের লম্ব দিকে। $W=0$। যেমন অনুভূমিক চলার সময় অভিলম্ব বলের কাজ।
• $s=0$ অথবা $F=0$: ওই বলের কাজও শূন্য।

ঢালু তলবিস্তারিত জানতে দেখো:৫.২ টান ও অভিলম্ব বল বেয়ে বাক্স নিচে নামলে মহাকর্ষ ধনাত্মক কাজ করে; ঘর্ষণ ঋণাত্মক কাজ করে; তলের অভিলম্ব বলবিস্তারিত জানতে দেখো:৫.২ টান ও অভিলম্ব বল শূন্য কাজ করে। আবার সুতায় বাঁধা কোনো বস্তু যদি সমদ্রুতিতে বৃত্তে ঘোরে, সুতার টান প্রতিটি মুহূর্তে সরণের লম্ব থাকে-তাই টানের কাজ শূন্য।

মজার প্রশ্ন: মাথার উপরে ভারী ডাম্বেল স্থির ধরে রাখলে তুমি ঘামছো, অথচ ডাম্বেলের ওপর তোমার বলের যান্ত্রিক কাজ শূন্য কেন? কারণ ডাম্বেলের সরণ শূন্য। পেশির ভেতরে শক্তির ব্যবহার হচ্ছে-কিন্তু সেটা আমাদের এই সরল যান্ত্রিক সংজ্ঞার বাইরে।

উদাহরণ ১১-১: ঢাল বেয়ে বাক্স ঠেলে তোলা

একটি $11.7\ \mathrm{kg}$ বাক্সকে ঘর্ষণহীন ঢাল বরাবর $4.65\ \mathrm m$ ঠেলে তোলা হলো। উচ্চতা বেড়েছে $2.86\ \mathrm m$। বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর ধ্রুব। তোমার কাজ কত?

ধাপ ১: প্রয়োজনীয় বল। $\sin\theta=h/s=2.86/4.65$। তাই,

ধাপ ২: তোমার কাজ। বল ও সরণ একই দিকে,

যাচাই: সরাসরি উপরে তুললে $mgh=(11.7)(9.8)(2.86)\approx328\ \mathrm J$। একই উত্তর! এটাই ঢালু তল ব্যবহারের আসল সুবিধা-বল কম, পথ বেশি।

উদাহরণ ১১-২: বাচ্চা স্লেজ টানছে

একটি $5.6\ \mathrm{kg}$ স্লেজ সমতল মাটিতে $12\ \mathrm m$ এগিয়েছে। দড়ির কোণ $45^\circ$, গতীয় ঘর্ষণ সহগবিস্তারিত জানতে দেখো:৫.৩ ঘর্ষণ বল $\mu_k=0.20$। বেগ ধ্রুব। বাচ্চা কত কাজ করেছে?

ধ্রুব বেগ বলে দুই দিকে মোট বল শূন্য:

যেখানে $f=\mu_kN$। দুটি সমীকরণ মিলিয়ে,

অর্থাৎ,

সাবধান-এখানে চিহ্নটি যোগ হবে, কারণ দড়ির উপরের দিকে টান অভিলম্ব বল কমায়। সংখ্যা বসিয়ে,

বাচ্চার কাজ,

মূল বইয়ের মুদ্রিত সমাধান সম্পর্কে: সেখানে $F\approx13\ \mathrm N$ ও $W\approx110\ \mathrm J$ দেওয়া আছে, এবং $F$-এর হরটিতে $\cos\phi+\mu_k\sin\phi$-ই আসে। এখানে যথাযথ সূত্রটি দেখানো হলো। দড়ি ওপরে টানার কারণে $N$ এবং তাই ঘর্ষণ দুটোই কমে।

ডট প্রোডাক্ট দিয়ে আরও সুন্দরভাবে লেখা যায়

আগের অধ্যায়ে ক্রস প্রোডাক্ট ব্যবহার করেছিলাম টর্কের জন্য। সেখানে দুটি ভেক্টর মিলে নতুন একটা ভেক্টর পাওয়া যায়। কিন্তু কাজ হচ্ছে স্কেলার (scalarবিস্তারিত জানতে দেখো:ভেক্টরের সাহায্যে গতির বর্ণনা)-এর মান ও চিহ্ন আছে, আলাদা দিক নেই।

তাই এখানে ব্যবহার করব ডট প্রোডাক্ট (dot product):

এর সাহায্যে কাজের সূত্রটি দাঁড়ায়,

এই সূত্র সমীকরণ (১১-৪)। স্থানাঙ্কে লিখলে,

যেমন $\vec F=(3\hat i+4\hat j)\ \mathrm N$ এবং $\vec s=(2\hat i+5\hat j)\ \mathrm m$ হলে,

খেয়াল করো, $F_x\Delta x$ আর $F_y\Delta y$ কাজের ভেক্টর উপাংশ নয়-কাজের মোট মানের দুটি সংখ্যাগত অবদান।

শেষ কথা: কাজের হিসাব করার আগে তিনটি প্রশ্ন করবে-কোন বল? কোন সরণ? তাদের মাঝের কোণ কত? তাহলেই সঠিক সূত্রটা নিজে থেকেই স্পষ্ট হয়ে যাবে।

মূল বই: অনুচ্ছেদ ১১-২, সমীকরণ (১১-১)–(১১-৬), চিত্র ১১-২–১১-১১ এবং উদাহরণ ১১-১–১১-২।