১০.৫ ঘূর্ণায়মান লাটিম (The Spinning Top)

লাটিমটা হেলে আছে, তবু সোজা পড়ে যাচ্ছে না কেন?

ছোটবেলায় লাটিম ঘুরিয়েছো? একটা লাটিম খুব দ্রুত ঘুরছে। তার মাথা একটু হেলে গেল, কিন্তু অদ্ভুতভাবে মাটিতে পড়ে না গিয়ে নিজের অক্ষটা চারদিকে ঘুরাতে থাকে।

তুমি যদি ঘোরা বন্ধ একটা লাটিম একইভাবে হেলিয়ে রাখো, সেটা পড়ে যাবে। তাহলে দ্রুত ঘুরছে বলেই কেন এমন অদ্ভুত আচরণ?

উত্তরটা আছে টর্কবিস্তারিত জানতে দেখো:৯.১ টর্ক আর কৌণিক ভরবেগের ভেক্টর পরিবর্তন-এর মধ্যে। এই বিশেষ গতির নাম প্রিসেশন (precession)।

মহাকর্ষ আসলে কী করতে চায়?

ধরো, লাটিমটির নিচের মাথা মাটির একটি বিন্দু $O$-তে ঠেকানো। তার ভরকেন্দ্র $O$ থেকে $r$ দূরে। লাটিমটির অক্ষ উল্লম্বের সঙ্গে $\theta$ কোণে হেলে আছে।

মহাকর্ষ বলবিস্তারিত জানতে দেখো:৫.১ বলের সূত্রসমূহ $Mg$ ভরকেন্দ্রে নিচের দিকে কাজ করছে। ফলে $O$-এর সাপেক্ষে টর্কের মান,

এটাই মূল বইয়ের সমীকরণ (১০-১৮)। বলটা নিচের দিকে হলেও টর্কের ভেক্টর থাকবে $\vec r$ আর $M\vec g$-এর সমতলের লম্ব দিকে।

লাটিম ঘুরছে তার প্রায় প্রতিসম অক্ষ বরাবর। তাই দ্রুত ঘূর্ণনে তার স্পিনজনিত কৌণিক ভরবেগ $\vec L$ প্রায় ওই অক্ষ বরাবর থাকে। মহাকর্ষের টর্কটি $\vec L$-এর লম্ব দিকে। অর্থাৎ এটি সরাসরি $L$-এর মান বাড়াচ্ছে না, বরং তার দিক ঘুরিয়ে দিচ্ছে।

কৌণিক ভরবেগের মাথা একটি বৃত্ত আঁকে

কল্পনা করো, $\vec L$ একটা তিরচিহ্ন। টর্কের জন্য খুব অল্প সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড $dt$-এ,

এটি সমীকরণ (১০-১৯)। যেহেতু $d\vec L$ আগের $\vec L$-এর লম্ব, নতুন ভেক্টরের দিক একটু পাশের দিকে সরে যায়। পরের ক্ষণেও একই ঘটনা ঘটে। এভাবে $\vec L$-এর মাথা উল্লম্ব অক্ষকে ঘিরে একটা বৃত্ত আঁকে।

লাটিমের নিজের অক্ষও তার সঙ্গে সঙ্গে দিক বদলায়। অর্থাৎ লাটিম একই সঙ্গে দুটো গতি করছে:

1. Spin: নিজের অক্ষের চারপাশে দ্রুত ঘুরছে।
2. Precession: সেই ঘূর্ণন অক্ষটি উল্লম্ব দিকের চারপাশে ধীরে ঘুরছে।

মূল বইয়ের চিত্র ১০-১৮ (ক)–(ঘ)-এ লাটিমের ঝোঁক, মহাকর্ষের টর্ক, কৌণিক ভরবেগ এবং প্রিসেশনের জ্যামিতি একে একে দেখানো হয়েছে।

প্রিসেশনের কৌণিক বেগ বের করি

প্রিসেশনের কৌণিক বেগের মানকে $\Omega_P$ ধরি। খুব ছোট সময়ে লাটিমের অক্ষ উল্লম্বের চারপাশে $d\phi$ কোণে ঘুরলে,

এটি মূল বইয়ের সমীকরণ (১০-২০)।

কৌণিক ভরবেগ ভেক্টরটির দৈর্ঘ্যবিস্তারিত জানতে দেখো:দৈর্ঘ্যের মানদণ্ড $L$ এবং উল্লম্বের সঙ্গে কোণ $\theta$। তাই ভেক্টরের মাথা যে বৃত্তে ঘুরছে, তার ব্যাসার্ধ $L\sin\theta$। ক্ষুদ্র সময়ের জ্যামিতি থেকে,

এখন $dL=\tau\,dt$ হলো ভেক্টরের পরিবর্তনের ক্ষুদ্র মান, মোট ভেক্টরের মান বদলানো নয়। তাই,

$\tau=Mgr\sin\theta$ বসালে,

দুই পাশের $\sin\theta$ কেটে যায়। আমরা পাই,

এটাই বইয়ের সমীকরণ (১০-২২)-দ্রুত ঘূর্ণনশীল, প্রায় প্রতিসম লাটিমের আদর্শ ধীর প্রিসেশনের সম্পর্ক। $L\approx I\omega$ হলে,

ফলটা খুব মজার:

• লাটিম যত দ্রুত ঘোরে ($\omega$ বেশি), তার প্রিসেশন তত ধীরে হয়।
• ঘর্ষণে লাটিমের স্পিন কমে গেলে প্রিসেশনের হার বাড়তে পারে।

এই শেষ অবস্থাতেই লাটিমের মাথা অনেক সময় দ্রুত বৃত্ত আঁকতে আঁকতে শেষে পড়ে যায়। বাস্তবে পড়ে যাওয়ার সময় আরও জটিল গতিও ঘটে, তাই উপরের সরল সূত্র সব পর্যায়ে খাটবে না।

ভেক্টর আকারে প্রিসেশনের সমীকরণ

মূল বইয়ের সমীকরণ (১০-২৩)-এ সম্পর্কটি আরও সুন্দরভাবে লেখা হয়েছে,

এখানে $\vec\Omega_P$ প্রিসেশনের ঘূর্ণন অক্ষ বরাবর, আর $\vec L$ লাটিমের নিজের অক্ষের কাছাকাছি। ডান হাতের নিয়মে তাদের cross product-এর দিক মহাকর্ষের টর্কের সঙ্গে মিলে যায়।

এই সমীকরণ দেখে একটা ভুল ধারণা দূর করা যায়: টর্ক সবসময় বস্তুটাকে টর্কের নিজের দিকেই ঘুরিয়ে দেয় না। টর্ক কৌণিক ভরবেগের ভেক্টর কীভাবে পরিবর্তিত হবে, সেটা বলে। ফলাফল হতে পারে ঘূর্ণন অক্ষের পাশের দিকে ঘোরা।

নিউটেশন (Nutation) কী?

এতক্ষণ আমরা ধরে নিয়েছি, লাটিম খুব দ্রুত স্পিন করছে এবং তার মোট কৌণিক ভরবেগ প্রায় নিজের অক্ষ বরাবর। কিন্তু বাস্তবে প্রিসেশনেরও কিছু কৌণিক ভরবেগ আছে। ফলে মোট $\vec L$ সবসময় পুরোপুরি লাটিমের প্রতিসম অক্ষ বরাবর হয় না।

এর ফল হতে পারে ছোট ছোট দুলুনি-অক্ষটি বৃত্তের পথ অনুসরণ করতে করতে একবার একটু ওপরে, আবার একটু নিচে সরে। এই দুলুনির নাম নিউটেশন (nutation)।

তাহলে তিনটি শব্দ আলাদা করে মনে রাখো:

• Spin: লাটিমের নিজের অক্ষের চারপাশে ঘোরা।
• Precession: অক্ষটির অন্য একটি অক্ষকে ঘিরে দিক বদলানো।
• Nutation: প্রিসেশনের সঙ্গে অক্ষের ঝোঁক সামান্য ওঠানামা বা দুলুনি।

পৃথিবীও কি বিশাল এক লাটিম?

এক অর্থে হ্যাঁ! পৃথিবীর নিজের ঘূর্ণন অক্ষ প্রায় $23.5^\circ$ হেলে আছে। সূর্য ও চাঁদের মহাকর্ষীয় প্রভাবে পৃথিবীর বিষুবীয় স্ফীতির উপর টর্ক পড়ে। তার কারণে অক্ষটি খুব ধীরে শঙ্কুর পৃষ্ঠ বরাবর ঘুরে-একে বলে বিষুববিন্দুর প্রিসেশন (precession of the equinoxes)।

বইয়ের আলোচনায় একটি পূর্ণ চক্রের সময় প্রায় ২৬,০০০ বছর বলা হয়েছে। অর্থাৎ সাধারণ দিনের হিসেবে কিছু টের না পেলেও বহু হাজার বছরে পৃথিবীর অক্ষের দিক ধীরে ধীরে বদলায়।

একটু ভেবে দেখো

দুটি একই ধরনের লাটিম আছে। একটিকে খুব দ্রুত, অন্যটিকে তুলনামূলক ধীরে ঘুরিয়ে একই কোণে হেলানো হলো। আদর্শ প্রিসেশনের সূত্র অনুযায়ী কোন লাটিমের অক্ষ দ্রুত চারদিকে ঘুরবে? ঘর্ষণে ঘূর্ণন ধীর হলে কী পরিবর্তন আশা করবে?

মনে রেখো

লাটিমের প্রিসেশন ঘটে কারণ মহাকর্ষের টর্ক কৌণিক ভরবেগের মান বদলানোর চেয়ে তার দিক বদলায়। দ্রুত ঘূর্ণনশীল লাটিমের সহজ মডেলে $\Omega_P=Mgr/L$।