৫.২ টান ও অভিলম্ব বল (Tension and Normal Forces)

একটা দড়ি কীভাবে বল পৌঁছে দেয়?

ধরো, মেঝের ওপর একটা বাক্স আছে। তুমি বাক্সটাকে সরাসরি ঠেলছো না, বরং একটা দড়ি দিয়ে টানছো। তাহলে বাক্সটার ওপর বল দিচ্ছে কে?

তুমি দড়িতে বল দিচ্ছো। আর দড়ি বাক্সের ওপর বল প্রয়োগ করছে। দড়ির মাধ্যমে যে টান পৌঁছায়, তার নাম Tension। একে $T$ দিয়ে প্রকাশ করি।

আদর্শ দড়ি (ideal string) বলতে আপাতত ধরে নিচ্ছি:

• দড়ির ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা নগণ্য।
• দড়ি টানলেও লম্বা হয় না।
• টান সবসময় দড়ির বরাবর কাজ করে।

দড়ির এক প্রান্তে ডানদিকে $P$ বল প্রয়োগ করলে অন্য প্রান্তে কত বল পৌঁছাবে? দড়ির ওপর নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র প্রয়োগ করি:

অতএব,

অর্থাৎ আদর্শ, ভরহীন দড়ি বলের মান না বদলে এক প্রান্ত থেকে অন্য প্রান্তে পৌঁছে দেয়। বাক্সটার ভর $m$ হলে, ঘর্ষণবিহীন মেঝেতে তার ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর

এবার ভাবো, একটি বাক্সের বদলে পরপর দুটি বাক্স দড়ি দিয়ে যুক্ত করলে কী হবে? সামনের বাক্সের ভর $m_1$, পেছনেরটির $m_2$। তুমি $P$ বল দিয়ে সামনের বাক্সটি টানছো। দুই বাক্সের সংযোগকারী দড়ির টান $T_2$।

প্রথম বাক্সের জন্য,

দ্বিতীয় বাক্সের জন্য,

দুটো সমীকরণ যোগ করলে,

অর্থাৎ

দেখলে? বাইরে থেকে দুটি বাক্সকে একসঙ্গে দেখলে মনে হবে, $m_1+m_2$ ভরের একটা বড় বাক্স টানছো। কিন্তু মাঝের দড়ির টান জানতে হলে প্রত্যেক বাক্সকে আলাদা করে দেখতে হবে।

একটা মজার প্রশ্ন: দড়ির মাঝখানে একটা spring balance বসালে সেটা কি $T$ দেখাবে, নাকি $2T$? দুই দিক থেকেই তো $T$ করে টান আছে!

উত্তর $T$। কারণ spring balance টানের মান মাপে; দুই প্রান্তের বল যোগ করে $2T$ দেখায় না।

উদাহরণ ৫.১: তিন দড়িতে ঝুলছে একটা বস্তু

একটা $15.0\,\mathrm{kg}$ ভরের বস্তু নিচের একটি উল্লম্ব দড়িতে ঝুলছে। দড়িটি একটা গিঁটে এসে যুক্ত হয়েছে ওপরের দুটি দড়ির সঙ্গে। ওপরের দড়ি দুটো অনুভূমিকের সঙ্গে যথাক্রমে $30^\circ$ আর $45^\circ$ কোণ তৈরি করে। তিনটি দড়ির টান কত?

প্রথমে নিচের দড়িটা দেখি। বস্তুটি স্থির, তাই নিচের দড়ির টান তার ওজনের সমান:

এবার গিঁটটাকে আলাদা করে কল্পনা করো। গিঁটও স্থির, তাই দুই দিকেই মোট বল শূন্য।

অনুভূমিক দিকে:

উল্লম্ব দিকে:

দুটি সমীকরণ একসঙ্গে সমাধান করলে,

খেয়াল করো, তিনটি দড়ির টান সমান নয়। কোন দড়ি কতটা তির্যক, তার ওপর টানের মান নির্ভর করছে।

উদাহরণ ৫.২: লিফট ওপরে উঠলে দড়ির টান বাড়ে কেন?

লিফটের ছাদ থেকে $2.4\,\mathrm{kg}$ ভরের একটা প্যাকেট দড়িতে ঝুলছে। প্যাকেটটার ওপর মাত্র দুটি বল কাজ করছে-উপরের দিকে টান $T$, নিচের দিকে ওজনবিস্তারিত জানতে দেখো:ওজন, ভর ও ওজনহীনতা $mg$। ওপরের দিককে ধনাত্মক ধরে,

অবস্থা (ক): লিফট সমবেগে নিচে নামছে। সমবেগ মানে ত্বরণ শূন্য, $a_y=0$। তাই

অবস্থা (খ): লিফট $3.2\,\mathrm{m/s^2}$ ত্বরণে ওপরে উঠছে। তখন

অর্থাৎ লিফট ওপরে ত্বরিত হলে দড়িকে শুধু প্যাকেটের ওজন সামলালেই হয় না, তাকে ওপরে ত্বরিতও করতে হয়। তাই টান বেশি লাগে। আবার লিফট নিচে নামতে নামতে ব্রেক করলেও ত্বরণ ওপরের দিকে-সে ক্ষেত্রেও টান একইভাবে বাড়বে।

আর যদি লিফট মুক্তপতনে থাকে? $a_y=-g$ বসিয়ে দেখো, $T=0$।

টেবিল বইটাকে ওপরের দিকে ঠেলে দেয়!

একটা বই টেবিলের ওপর রেখে দাও। পৃথিবী বইটাকে $mg$ বল দিয়ে নিচের দিকে টানছে। কিন্তু বইটা তো টেবিল ভেদ করে নিচে চলে যাচ্ছে না! তাহলে নিশ্চয়ই ওপরের দিকে একটা বল কাজ করছে।

টেবিল বইয়ের ওপর যে বল প্রয়োগ করে, সেটিই অভিলম্ব বল বা Normal force, চিহ্ন $N$। এখানে normal মানে সাধারণ নয়; মানে লম্বভাবে। বলটি স্পর্শতলের লম্ব দিকে কাজ করে।

বই স্থির থাকলে,

কিন্তু সাবধান! $N$ আর $mg$ নিউটনের তৃতীয় সূত্রের action–reaction জোড়া নয়। দুটোই বইয়ের ওপর কাজ করছে। ওজনের প্রতিক্রিয়া হলো বইয়ের মহাকর্ষীয় আকর্ষণে পৃথিবীর ওপর প্রয়োগ করা বল। আর অভিলম্ব বলের প্রতিক্রিয়া হলো টেবিলের ওপর বইয়ের নিচের দিকে প্রয়োগ করা বল।

এবার বইটার ওপর হাত রেখে আরও $P$ বল দিয়ে নিচের দিকে চাপ দাও। বই না নড়লে,

তার মানে, অভিলম্ব বল সবসময় ওজনের সমান নয়। তুমি কত জোরে চাপ দিচ্ছো, তাও গুরুত্বপূর্ণ। অবশ্য চাপ খুব বেশি হলে টেবিল ভেঙেও যেতে পারে-কারণ বস্তুর পরমাণুগুলোর পারস্পরিক বন্ধনেরও সীমা আছে।

উদাহরণ ৫.৩: স্লেজ সোজা টানবে, নাকি একটু ওপরে তুলে?

ধরো, ঘর্ষণবিহীন সমতলে $7.5\,\mathrm{kg}$ ভরের একটি স্লেজ $21.0\,\mathrm{N}$ বল দিয়ে টানছো।

(ক) দড়ি অনুভূমিক হলে:

(খ) দড়িটি অনুভূমিকের সঙ্গে $15^\circ$ কোণে ওপরের দিকে হলে: এবার তোমার টানের কিছু অংশ ওপরের দিকে কাজ করছে। তাই অনুভূমিক দিকে বল $P\cos15^\circ$, আর ওপরের দিকে $P\sin15^\circ$।

আর অনুভূমিক ত্বরণ,

দেখো, ওপরের দিকে একটু টানলে টেবিল বা মেঝের চাপ কমে, কিন্তু অনুভূমিক ত্বরণও কিছুটা কমে। এখানে ঘর্ষণ নেই বলে অভিলম্ব বল কমার কোনো বাড়তি সুবিধা পাইনি। পরে যখন ঘর্ষণ যোগ করব, তখন ছবিটা আরও মজার হবে।

উদাহরণ ৫.৪: ঢালু তলে বাক্স, তারপর দড়ি কেটে দেওয়া

$18.0\,\mathrm{kg}$ ভরের একটা বাক্সকে $27^\circ$ ঢালু, ঘর্ষণবিহীন তলে দড়ি দিয়ে আটকে রাখা হয়েছে।

এ ধরনের অঙ্কে একটা ছোট্ট কৌশল কাজে দেয়: $x$ অক্ষ ঢালের সমান্তরাল আর $y$ অক্ষ ঢালের লম্ব দিকে নাও। তখন ওজনকে দুই অংশে ভাগ করা যায়:

বাক্স স্থির থাকলে,

সুতরাং,

এবার দড়ি কেটে দিলে? টান আর থাকবে না। বাক্স ঢাল বরাবর নিচের দিকে নামতে শুরু করবে।

ঋণাত্মক চিহ্নের মানে আমরা ধনাত্মক দিক ধরেছিলাম ঢালের ওপরের দিকে, অথচ বাক্স যাচ্ছে নিচের দিকে। অভিলম্ব বল কিন্তু একই থাকবে-প্রায় $157\,\mathrm{N}$।

নিজে ভেবে দেখো: ঢাল $0^\circ$ হলে কী হবে? আর ঢাল $90^\circ$ হলে? সমীকরণগুলো কি তোমার প্রত্যাশার সঙ্গে মিলে যায়?

একাধিক বস্তু, কিন্তু তাদের গতি আলাদা নয়

অনেক সমস্যায় দুটি বস্তুকে আলাদা করে নিউটনের সূত্র প্রয়োগ করতে হয়, কিন্তু তাদের গতি একে অপরের সঙ্গে যুক্ত থাকে। যেমন, প্রসারণহীন দড়ি দিয়ে যুক্ত দুটি বস্তুর ত্বরণের মান সমান। তাই একটা বস্তুর অঙ্ক শেষ করার আগে অন্যটার অঙ্কও লিখে ফেলতে হয়।

উদাহরণ ৫.৫: কপিকলের দুই পাশে দুটি ভর-Atwood’s machine

একটা আদর্শ কপিকলের দুই পাশে $m_1$ ও $m_2$ ভর ঝুলছে, যেখানে $m_2>m_1$। ভারী বস্তু নিচে নামবে, হালকা বস্তু ওপরে উঠবে-এটা বোঝাই যাচ্ছে। কিন্তু ত্বরণ কত?

ওপরের দিককে ধনাত্মক ধরলে,

কারণ প্রথম বস্তু ওপরে উঠছে আর দ্বিতীয়টি নিচে নামছে। সমাধান করলে,

দুটো ভর সমান হলে $a=0$-খুব স্বাভাবিক। আর $m_1$ খুব ছোট হয়ে গেলে ভারী বস্তুটা প্রায় মুক্তপতনের মতো নেমে আসবে।

এই যন্ত্রের নাম Atwood’s machine। ১৭৮৪ সালে George Atwood এটি তৈরি করেন ত্বরণযুক্ত গতির নিয়ম পরীক্ষা করার জন্য। দুটি ভরের পার্থক্য ছোট রাখলে পতন ধীর হয়-ফলে গতি মাপা সহজ হয়।

উদাহরণ ৫.৬: একটা বাক্স টেবিলে, আরেকটা ঝুলছে

এবার $m_1$ ভরের বাক্স ঘর্ষণবিহীন টেবিলে আছে, তার সঙ্গে দড়িতে যুক্ত $m_2$ ভরের বাক্স ঝুলছে টেবিলের কিনারায়।

প্রথম বাক্স অনুভূমিক দিকে চলছে, তাই

দ্বিতীয় বাক্স নিচে নামছে:

দুটি যোগ করে পাই,

এখানেও বাইরে থেকে পুরো ব্যবস্থাটির গতি চালাচ্ছে ঝুলন্ত বস্তুর ওজন, $m_2g$; কিন্তু ত্বরিত করতে হচ্ছে দুটি ভরকেই।

উদাহরণ ৫.৭: ঢালু তল আর ঝুলন্ত বস্তু একসঙ্গে

আগের দুই পরিস্থিতি এবার এক করে ফেলি। $m_1=9.5\,\mathrm{kg}$ ভরের বস্তু আছে $34^\circ$ ঢালে। দড়ি ও কপিকলের অপর পাশে ঝুলছে $m_2=2.6\,\mathrm{kg}$ ভরের বস্তু। ঘর্ষণ নেই।

প্রথমে আন্দাজ করি, ঝুলন্ত বস্তু নিচে নামবে আর ঢালের বস্তু ওপরে উঠবে। এমন ধরে সমীকরণ লিখলে,

অতএব,

এখন মান বসিয়ে দেখি,

ওহ! ত্বরণ ঋণাত্মক এসেছে। তার মানে প্রথমে গতির দিক ভুল আন্দাজ করেছিলাম। বাস্তবে ঢালের বাক্স নিচে নামবে, ঝুলন্ত বস্তু ওপরে উঠবে।

এখানে ভুল আন্দাজে সমস্যা হয়নি-সমীকরণের চিহ্নই আমাদের ঠিক দিক জানিয়ে দিয়েছে। তবে ঘর্ষণের ক্ষেত্রে আরও সাবধান হতে হবে, কারণ ঘর্ষণের দিক নির্ভর করে বস্তুর আপেক্ষিক গতির ওপর।