৪.৩: প্রক্ষেপণের গতি

Projectile Motion

মনেকরো, কাটুশ মঙ্গলগ্রহ থেকে পৃথিবীতে ফিরে একটা খোলা মাঠে দাঁড়িয়ে বল ছুড়ছে। প্রথমে সে বলটা সোজা ওপরের দিকে ছুড়লো। বলটা কিছুক্ষণ ওপরে উঠে আবার নিচে নেমে এলো। এটা আমরা আগের অধ্যায়ে শিখেছি।

এবার কাটুশ একটু বুদ্ধি করে বলটাকে সোজা ওপরে না ছুড়ে সামনের দিকে তির্যকভাবে ছুড়লো। বলটা সামনের দিকে এগোতে এগোতে ওপরে উঠলো, তারপর আবার নিচের দিকে নেমে এলো। অর্থাৎ বলটা একই সঙ্গে অনুভূমিক আর উল্লম্ব দুই দিকে চলছে।

এই ধরনের গতিকে বলা হয় প্রক্ষেপণের গতি (Projectile Motion)। পৃথিবীর মাঠে ফুটবল কিক করলে, বাস্কেটবল ছুড়লে, কিংবা ওপর থেকে কোনো বস্তু সামনের দিকে ছেড়ে দিলেও এই গতি দেখতে পাবে।

আমরা আপাতত বাতাসের বাধা বাদ দিয়ে শুধু মহাকর্ষের প্রভাব হিসাব করবো। আর $g\approx9.8\,\mathrm{m/s^2}$ ধরে পৃথিবীর কাছাকাছি প্রক্ষেপণের হিসাব করবো।

একসঙ্গে দুই দিকে চললেও হিসাব আলাদা কেন?

ধরো, কাটুশ একটা বল $v_0$ বেগে অনুভূমিকের সঙ্গে $\theta_0$ কোণে ছুড়লো। শুরুর জায়গাটাকেই কেন্দ্রবিন্দু ধরলাম। x-অক্ষ অনুভূমিক ডানদিকে, y-অক্ষ ওপরের দিকে।

এখন প্রাথমিক বেগকে দুই উপাংশে ভাগ করি,

\boxed{v_{0x}=v_0\cos\theta_0,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta_0} \tag{4-6}

বলটা বাতাসে উড়তে থাকলে এর ওপর নিচের দিকে পৃথিবীর মহাকর্ষীয় বল $mg$ কাজ করছে। অনুভূমিক দিকে আপাতত কোনো বল নেই। তাই,

\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=-mg.

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র থেকে,

\boxed{a_x=0,\qquad a_y=-g} \tag{4-8}

এই ছোট্ট ফলটা খুব গুরুত্বপূর্ণ। x-অক্ষে ত্বরণ নেই, কিন্তু y-অক্ষে নিচের দিকে ধ্রুব ত্বরণ আছে। তাই,

\boxed{v_x=v_{0x}} \, ,\qquad \boxed{v_y=v_{0y}-gt} \tag{4-9}

আর শুরুর অবস্থান $x_0=y_0=0$ ধরলে,

\boxed{x=v_{0x}t},\qquad \boxed{y=v_{0y}t-\frac12gt^2} \tag{4-10}

দেখো, অনুভূমিক গতি একেবারেই সমবেগে চলছে, আর উল্লম্ব গতি হচ্ছে মুক্তপতনের মতো। অথচ দুটো মিলিয়ে বলটার গতিপথ বাঁকানো।

প্রক্ষেপণের গতির মূল কথা
বাতাসের বাধা উপেক্ষা করলে প্রক্ষেপণের সময় অনুভূমিক বেগ অপরিবর্তিত থাকে। উল্লম্ব দিকে মহাকর্ষজ ত্বরণ $-g$ কাজ করে। এই দুটি স্বাধীন উপাংশ একসঙ্গে মিলে বস্তুর গতিপথ তৈরি করে।

বলটা বাঁকা পথে যাচ্ছে কেন?

এবার কাটুশ জানতে চায়, বলটার গতিপথ দেখতে কেমন হবে? আমরা জানি,

x=(v_0\cos\theta_0)t.

সেখান থেকে,

t=\frac{x}{v_0\cos\theta_0}.

এই $t$ -এর মান উল্লম্ব গতির সমীকরণে বসাই,

\begin{aligned} y&=(v_0\sin\theta_0)t-\frac12gt^2\\ &=x\tan\theta_0-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta_0}x^2. \end{aligned}

অর্থাৎ,

\boxed{y=x\tan\theta_0-\frac{g x^2}{2v_0^2\cos^2\theta_0}} \tag{4-13}

একটু খেয়াল করো, $\theta_0$ , $v_0$ আর $g$ নির্দিষ্ট থাকলে সমীকরণটা হচ্ছে,

y=bx-cx^2,

যেখানে $b$ আর $c$ ধ্রুবক। এটাই পরাবৃত্ত (Parabola)-এর সমীকরণ। তাই বাতাসের বাধা বাদ দিলে ছুড়ে দেওয়া বস্তুর গতিপথ হয় পরাবৃত্তাকার। বইয়ের চিত্র ৪-৫-এ এরকম একটা বাঁকা গতিপথ দেখানো আছে।

কতদূর যাবে? - অনুভূমিক পাল্লা (Range)

ধরো, কাটুশ বলটা মাঠ থেকে ছুড়ে আবার একই উচ্চতার মাঠে পড়তে দিল। বলটা অনুভূমিক দিকে যতদূর গিয়ে পড়লো, সেই দূরত্বকে বলি Range বা অনুভূমিক পাল্লা, প্রতীক $R$ ।

বলটা মাটিতে পড়ার সময় আবার $y=0$ । তাই উল্লম্ব সমীকরণ থেকে,

0=v_{0y}t-\frac12gt^2.

$t=0$ হলো ছোড়ার মুহূর্ত। অন্য সমাধানটি হচ্ছে মাটিতে ফেরার সময়,

t_{\mathrm{flight}}=\frac{2v_{0y}}{g} =\frac{2v_0\sin\theta_0}{g}.

তাহলে অনুভূমিক পাল্লা,

\begin{aligned} R&=v_{0x}t_{\mathrm{flight}}\\ &=(v_0\cos\theta_0)\frac{2v_0\sin\theta_0}{g}\\ &=\frac{v_0^2\sin2\theta_0}{g}. \end{aligned}

সুতরাং,

\boxed{R=\frac{v_0^2\sin2\theta_0}{g}} \tag{4-14}

বেশ মজার একটা ফল পেলাম। শুরুর বেগ একই থাকলে $45^\circ$ কোণে ছুড়লে পাল্লা সবচেয়ে বেশি হবে, কারণ তখন $\sin(2\theta_0)=1$ । অবশ্য এই কথাটা ঠিক যখন বলটা ছোড়া ও পড়ার উচ্চতা সমান এবং বাতাসের বাধা উপেক্ষণীয়।

একই সঙ্গে একটা বল ফেলে আরেকটা ছুড়লে কোনটা আগে পড়বে?

মনেকরো, কাটুশ একটা টেবিলের ওপর দুইটা সমান বল রেখেছে। একই মুহূর্তে প্রথম বলটাকে সরাসরি নিচে পড়তে দিল আর দ্বিতীয়টাকে অনুভূমিক দিকে ছুড়ে দিল।

এবার তোমার মনে হতে পারে, সামনের দিকে ছোড়া বলটা বেশি পথ যাবে বলে মাটিতে পড়তেও বেশি সময় নেবে। কিন্তু না। দুটোই একই সময়ে মাটিতে পড়বে, যদি একই উচ্চতা থেকে শুরু করে এবং বাতাসের বাধা উপেক্ষা করি।

কারণ দুটো বলেরই প্রথমে উল্লম্ব বেগ $v_{0y}=0$ । তাই উল্লম্ব গতির সমীকরণ একই,

y=-\frac12gt^2.

অনুভূমিক বেগ উল্লম্ব গতিতে কোনো পরিবর্তন ঘটাচ্ছে না। বইয়ের চিত্র ৪-৭-এ দুই বলের অবস্থানকে সমান সময়ের ব্যবধানে দেখানো হয়েছে।

উদাহরণ ৪-৩: চলন্ত বিমান থেকে প্যাকেট ফেলতে হবে

ধরো, কাটুশ একটা বিমানে করে ত্রাণসামগ্রী নিয়ে যাচ্ছে। নিচে একটা নির্দিষ্ট জায়গায় প্যাকেট ফেলতে হবে। বিমানটা $225\,\mathrm m$ উচ্চতায় $155\,\mathrm{km/h}$ অনুভূমিক বেগে চলছে। প্রশ্ন হচ্ছে, ঠিক জায়গায় ফেলতে বিমান লক্ষ্যবস্তুর কতটা আগে প্যাকেট ছাড়বে? আর ছাড়ার মুহূর্তে লক্ষ্যবস্তুর দিকে তাকালে নিচের দিকের দৃষ্টিরেখাটি অনুভূমিকের সঙ্গে কত কোণ করবে?

প্যাকেট ছাড়ার সময় এর অনুভূমিক বেগও বিমানের সমান,

v_{0x}=155\,\mathrm{km/h}\approx43.1\,\mathrm{m/s}.

উল্লম্ব শুরুর বেগ শূন্য। শুরুর উচ্চতাকেই $y=0$ ধরলে মাটি $y=-225\,\mathrm m$ । তাই,

-225=-\frac12(9.8)t^2.

অর্থাৎ,

t=\sqrt{\frac{2(225)}{9.8}}\approx6.78\,\mathrm s.

এই সময়ে প্যাকেট অনুভূমিক দিকে যাবে,

\begin{aligned} x&=v_{0x}t\\ &=(43.1)(6.78)\approx292\,\mathrm m. \end{aligned}

সুতরাং লক্ষ্যবস্তুর প্রায় $292\,\mathrm m$ আগে প্যাকেট ছাড়তে হবে। বইয়ের চিত্র ৪-৮ অনুযায়ী অনুভূমিকের নিচে দৃষ্টির কোণ $\alpha$ হলে,

\tan\alpha=\frac{225}{292} \quad\Longrightarrow\quad \alpha\approx37.6^\circ.

কিন্তু বইয়ে দেখানো উল্লম্ব রেখার সঙ্গে কোণটি $\beta$ হলে,

\beta=90^\circ-\alpha =\tan^{-1}\!\left(\frac{292}{225}\right) \approx52^\circ.

অর্থাৎ চিত্রের সংজ্ঞা অনুযায়ী দৃষ্টির কোণ প্রায় $52^\circ$ উল্লম্ব থেকে, অথবা অনুভূমিকের নিচে প্রায় $38^\circ$ ।

খেয়াল করো
বিমান যত দ্রুত চলুক, একই উচ্চতা থেকে প্যাকেট পড়ার সময় বদলাবে না-এই আদর্শ হিসাবের মধ্যে। তবে অনুভূমিক বেগ বেশি হলে প্যাকেট আরও দূরে গিয়ে পড়বে।

উদাহরণ ৪-৪: ফুটবলটা কত ওপরে উঠলো?

এবার ধরো, কাটুশ একটা ফুটবলকে $15.5\,\mathrm{m/s}$ বেগে অনুভূমিকের সঙ্গে $36^\circ$ কোণে কিক করলো। বলটা একই উচ্চতার মাঠে ফিরে আসছে, বাতাসের বাধা নেই। আমাদের চারটি বিষয় বের করতে হবে-সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছানোর সময়, সর্বোচ্চ উচ্চতা, মোট উড়ন্ত সময় ও পাল্লা, আর মাটিতে পড়ার মুহূর্তের বেগ।

প্রথমে প্রাথমিক বেগকে ভাগ করি।

\begin{aligned} v_{0x}&=15.5\cos36^\circ\approx12.5\,\mathrm{m/s},\\ v_{0y}&=15.5\sin36^\circ\approx9.1\,\mathrm{m/s}. \end{aligned}

(ক) সর্বোচ্চ উচ্চতায় কখন?

সর্বোচ্চ উচ্চতায় $v_y=0$ । তাই,

0=v_{0y}-gt \quad\Longrightarrow\quad t_1=\frac{9.1}{9.8}\approx0.93\,\mathrm s.

(খ) কতটা ওপরে উঠবে?

\begin{aligned} y_{\max}&=v_{0y}t_1-\frac12gt_1^2\\ &=(9.1)(0.93)-\frac12(9.8)(0.93)^2\\ &\approx4.2\,\mathrm m. \end{aligned}

(গ) মোট উড়ন্ত সময় আর পাল্লা

বলটা একই উচ্চতায় ফেরত এসেছে। তাই মোট সময় ওপরে ওঠার সময়ের দ্বিগুণ,

t_2=2t_1\approx1.86\,\mathrm s.

অনুভূমিক পাল্লা,

R=v_{0x}t_2\approx(12.5)(1.86)\approx23.3\,\mathrm m.

(ঘ) মাটিতে পড়ার সময় বেগ

অনুভূমিক বেগ আগের মতোই,

v_x\approx12.5\,\mathrm{m/s}.

কিন্তু উল্লম্ব বেগ,

\begin{aligned} v_y&=v_{0y}-gt_2\\ &=9.1-9.8(1.86)\approx-9.1\,\mathrm{m/s}. \end{aligned}

তাহলে মোট বেগের মান,

v=\sqrt{12.5^2+(-9.1)^2}\approx15.5\,\mathrm{m/s}.

অর্থাৎ বলের শেষ বেগের মান শুরুর মতোই $15.5\,\mathrm{m/s}$ , তবে দিকটা অনুভূমিকের নিচে প্রায় $36^\circ$ । বাতাসের বাধা না থাকায় ওঠা আর নামার গতি এখানে সুন্দরভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

পড়তে থাকা লক্ষ্যবস্তুকে লক্ষ্য করে ছুড়লে কী হবে?

মনেকরো, কাটুশ একটা উঁচু জায়গায় ঝুলে থাকা লক্ষ্যবস্তুর দিকে বল ছুড়তে যাচ্ছে। ঠিক বল ছোড়ার মুহূর্তেই লক্ষ্যবস্তুটা ছেড়ে দেওয়া হলো, ফলে সেটাও নিচে পড়তে শুরু করলো। কাটুশ যদি লক্ষ্যবস্তুটার শুরুর অবস্থানের দিকে সোজাসুজি নিশানা করে, তাহলে কি বলটা লক্ষ্যভ্রষ্ট হবে?

আশ্চর্য হলেও সত্যি, আদর্শ অবস্থায় লক্ষ্যবস্তুটার সঙ্গে সংঘর্ষ ঘটবে, যদি বলটি লক্ষ্যবস্তুর উচ্চতায় পৌঁছানোর আগেই লক্ষ্যবস্তু মাটিতে না পড়ে। কারণ বল আর লক্ষ্যবস্তু-দুটোই একই সময়ের মধ্যে মহাকর্ষের কারণে একই পরিমাণ নিচে নেমে যায়।

যদি লক্ষ্যবস্তুর শুরুর অবস্থান $\vec r_{0T}$ আর ছোড়া বলের শুরুর বেগ $\vec v_{0P}$ হয়, তাহলে,

\vec r_P=\vec v_{0P}t+\frac12\vec g t^2,

আর লক্ষ্যবস্তু স্থির অবস্থা থেকে পড়লে,

\vec r_T=\vec r_{0T}+\frac12\vec g t^2.

সংঘর্ষের সময় $\vec r_P=\vec r_T$ । দুই পাশের মহাকর্ষ-সংক্রান্ত পদ বাদ দিলে,

\boxed{\vec v_{0P}t=\vec r_{0T}}.

অর্থাৎ বলের প্রাথমিক বেগ লক্ষ্যবস্তুটার শুরুর অবস্থান বরাবর হতে হবে। বইয়ের চিত্র ৪-৯-এ এই বিষয়টা দেখানো হয়েছে।

নিজে ভেবে দেখো
সমান উচ্চতা থেকে একটা বল আলতো করে ছেড়ে দিলে আর আরেকটা বল অনেক বেশি অনুভূমিক বেগে ছুড়ে দিলে তারা একই সময়ে মাটিতে পড়ে। তাহলে দ্বিতীয় বলটা আরও দূরে গিয়ে পড়লো কেন? পড়ার সময় আর অনুভূমিক দূরত্ব-দুটোকে আলাদা করে চিন্তা করো।