৯.৭ ঘূর্ণন ও সরণ গতির সমন্বয় (Combined Rotational and Translational Motion)

সাইকেলের চাকা ঘোরে, আবার সামনেও যায়-দুটো গতি একসঙ্গে কীভাবে হয়?

ধরো, একটা সাইকেলের চাকা মাটিতে গড়াচ্ছে। চাকার কেন্দ্র সামনে এগোচ্ছে। একই সঙ্গে চাকার প্রতিটি শলাকা ঘুরছে। তাহলে চাকার উপরের বিন্দু আর নিচের বিন্দু কি মাটির তুলনায় একই বেগে চলবে?

মোটেই না! আসলে চাকার উপরের বিন্দুটা কেন্দ্রের চেয়েও দ্রুত চলে, আর মাটিতে লাগা নিচের বিন্দুটি আদর্শ অবস্থায় এক মুহূর্তের জন্য স্থির থাকে। ব্যাপারটা প্রথমে অবাক লাগলেও ঘূর্ণন আর সরণ গতিবিস্তারিত জানতে দেখো:৭.১ জটিল বস্তুর গতি যোগ করলেই পরিষ্কার হয়ে যায়।

আলাদা করে দুটো গতি চিনে নাও

একটা বরফের উপর রাখা হকি-পাক (puck) কল্পনা করো। তুমি চাইলে শুধু সামনে ঠেলে দিতে পারো, আবার একই জায়গায় ঘুরিয়েও দিতে পারো। দুটো একসঙ্গে ঘটাতেও পারো।

• সরণ গতি (translation): ভরকেন্দ্র সামনের দিকে চলে।
• ঘূর্ণন গতিবিস্তারিত জানতে দেখো:৭.১ জটিল বস্তুর গতি (rotation): বস্তুটি নিজের ভরকেন্দ্র দিয়ে যাওয়া অক্ষের চারপাশে ঘোরে।

যখন ঘূর্ণন অক্ষের দিক স্থির থাকে, তখন দুটি গতি আলাদা করে বিশ্লেষণ করা যায়:

প্রথমটি ভরকেন্দ্রের সরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর, দ্বিতীয়টি ভরকেন্দ্রকে কেন্দ্র করে ঘূর্ণন বর্ণনা করে।

সাইক্লয়েড-চাকার ধারেকার একটি বিন্দুর মজার পথ

ধরো, চাকার কিনারায় একটা ছোট লাল বাতি লাগানো। চাকা সামনের দিকে গড়ালে মাটিতে দাঁড়ানো তুমি বাতিটাকে গোল পথে ঘুরতে দেখবে না। বাতিটি উঠবে, সামনে এগোবে, নিচে নামবে, মাটি ছোঁয়ার সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড প্রায় থামবে, আবার উঠবে। এমন বক্ররেখার নাম সাইক্লয়েড (cycloid)।

মূল বইয়ের চিত্র ৯-২৮-এ এক্সপোজার ফটোগ্রাফির সাহায্যে চাকার কেন্দ্রে আর কিনারায় লাগানো বাতির পথ দেখানো হয়েছে। কেন্দ্রে লাগানো বাতি প্রায় সরল রেখা আঁকে, কিনারার বাতিটি আঁকে সাইক্লয়েড।

পিছলানো ছাড়া গড়ানো (Rolling Without Slipping)

ধরো, চাকার ব্যাসার্ধ $R$ এবং কৌণিক দ্রুতিবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর $\omega$। ভরকেন্দ্রের সামনের দিকের বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর $v_{\rm cm}$।

চাকার একেবারে নিচের বিন্দু $B$-এর বেগ দুটো অংশের সমষ্টি:

• সরণের জন্য সামনে $v_{\rm cm}$।
• ঘূর্ণনের জন্য পিছনে $\omega R$।

ফলে মাটির তুলনায় নিচের বিন্দুটির বেগ,

পিছলানো ছাড়া গড়ানো মানে সংস্পর্শের বিন্দুটি মাটির তুলনায় ওই মুহূর্তে স্থির। তাই $v_B=0$ এবং,

এটাই মূল বইয়ের সমীকরণ (৯-৩৬)। অক্ষের দিক একই থাকলে এর সঙ্গে ত্বরণের সম্পর্কও হয়,

(এখানে আমরা সংশ্লিষ্ট মানগুলো ব্যবহার করছি; দিকসহ ভেক্টর আকারে চিহ্ন আলাদা হতে পারে।)

কিন্তু এই সম্পর্ক সব গড়ানো বা ঘূর্ণনে সত্য নয়! চাকা বরফে ঘুরছে, অথচ গাড়ি খুব আস্তে এগোচ্ছে-তখন $v_{\rm cm}\ne\omega R$।

নিচের বিন্দু স্থির, উপরেরটা দ্বিগুণ দ্রুত কেন?

চাকার উপরের বিন্দু $T$-তে সরণ আর ঘূর্ণন দুই বেগই সামনে:

পিছলানো না থাকলে $\omega R=v_{\rm cm}$, তাই,

এবার বোঝা যায়, চলন্ত সাইকেলের চাকার ওপরের শলাকাগুলো নিচের শলাকার চেয়ে বেশি ঝাপসা দেখায় কেন (মূল বইয়ের চিত্র ৯-২৯)।

এটাকে আরেকভাবে ভাবতে পারো: মাটির সংস্পর্শের বিন্দুটা হচ্ছে ক্ষণস্থায়ী ঘূর্ণন অক্ষ (instantaneous axis)। এই অক্ষ থেকে কেন্দ্র $R$ দূরে, আর একেবারে উপরের বিন্দু $2R$ দূরে। তাই উপরের বেগ কেন্দ্রের দ্বিগুণ।

পিছলানো ছাড়া গড়ানোর সময় সংস্পর্শে স্থিতি ঘর্ষণবিস্তারিত জানতে দেখো:৫.৩ ঘর্ষণ বল (static friction) কাজ করতে পারে। বস্তুর কেন্দ্র চললেও সংস্পর্শের মুহূর্তে দুই পৃষ্ঠের আপেক্ষিক স্খলন নেই।

উদাহরণ ৯.১১: ঢালু তলে সিলিন্ডার গড়িয়ে নামছে

একটি সমসত্ত্ব নিরেট সিলিন্ডারের ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা $M$, ব্যাসার্ধ $R$। এটি $L$ দৈর্ঘ্যের এবং $h$ উচ্চতার ঢালু তলের উপর থেকে স্থির অবস্থা থেকে পিছলানো ছাড়া গড়িয়ে নামছে (মূল বইয়ের চিত্র ৯-৩২)। নিচে পৌঁছানোর সময় ভরকেন্দ্রের বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:৭.২ দুই-কণা ব্যবস্থা কত হবে?

ঢালের কোণ $\theta$ হলে $\sin\theta=h/L$। ঢালের দিকে ধনাত্মক ধরো। সিলিন্ডারের উপর ওজনের ঢাল-বরাবর উপাংশ $Mg\sin\theta$ নিচের দিকে; স্থিতি ঘর্ষণ $f$ ঢালের উপরে। তাই,

ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে ওজনবিস্তারিত জানতে দেখো:ওজন, ভর ও ওজনহীনতা ও অভিলম্ব বলের টর্কবিস্তারিত জানতে দেখো:৯.১ টর্ক শূন্য। ঘর্ষণই ঘোরানোর টর্ক তৈরি করে:

নিরেট সিলিন্ডারের $I_{\rm cm}=\tfrac12MR^2$ এবং পিছলানো ছাড়া গড়ানোর জন্য $a_{\rm cm}=\alpha R$। ফলে,

আগের বলের সমীকরণে বসিয়ে,

অর্থাৎ,

দেখো, পিছলিয়ে নামলে ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর হতো $g\sin\theta$; গড়িয়ে নামলে একটু কম, কারণ ঘূর্ণনও বাড়াতে হচ্ছে।

এবার $v^2=v_0^2+2as$। শুরুতে স্থির, তাই,

সুতরাং নিচে পৌঁছানোর সময়,

ঘর্ষণের প্রয়োজনীয় মানও পেয়ে যাই,

এতটা স্থিতি ঘর্ষণ পাওয়া না গেলে সিলিন্ডারটি পিছলাতে শুরু করবে, তখন ওপরের $a=\alpha R$ সম্পর্ক আর ব্যবহার করা যাবে না।

উদাহরণ ৯.১২: ঘুরন্ত সিলিন্ডার মেঝেতে নামালে কী হয়?

ধরো, $R=0.12\ \mathrm m$ ব্যাসার্ধের একটি নিরেট সিলিন্ডারকে $\omega_0=15\ \mathrm{rev/s}$ দ্রুতিতে ঘুরিয়ে সমতল মেঝেতে ছেড়ে দিলে। প্রথমে সিলিন্ডারের কেন্দ্রের সামনের বেগ শূন্য, কিন্তু এটি ঘুরছে। ফলে শুরুতে পিছলানো হবে। গতীয় ঘর্ষণ সহগবিস্তারিত জানতে দেখো:৫.৩ ঘর্ষণ বল $\mu_k=0.21$। কতক্ষণ পরে পিছলানো ছাড়া গড়ানো শুরু হবে? তখন কেন্দ্রের বেগ কত? (মূল বইয়ের চিত্র ৯-৩৩)।

মেঝের ঘর্ষণ সিলিন্ডারের কেন্দ্রকে ত্বরণ দেয়,

অন্যদিকে একই ঘর্ষণ কেন্দ্রের সাপেক্ষে টর্ক দিয়ে ঘূর্ণন কমায়। সরলীকরণ করলে (বইয়ের একই সমীকরণ অনুসারে), প্রথম পিছলানোর সময়টা $t$ এবং পিছলানো শেষের বেগ $v_{\rm cm}$-এর জন্য,

$\omega_0$-কে অবশ্যই $\mathrm{rad/s}$-এ নিতে হবে:

তাই,

এবার $a=\mu_kg=v_{\rm cm}/t$ থেকে,

এখানে শুরুতে ঘর্ষণ সরণ গতি বাড়ায়, কিন্তু ঘূর্ণন গতি কমায়-যতক্ষণ না দুটো ঠিক $v_{\rm cm}=\omega R$ শর্তে মিলে যায়।

উদাহরণ ৯.১৩: ইয়ো-ইয়ো নিচে নামলে কেন আরও দ্রুত ঘোরে?

একটি খেলনা ইয়ো-ইয়োতে দুটি চাকতি আছে, প্রত্যেকটির ব্যাসার্ধ $R=2.8\ \mathrm{cm}$; মাঝখানের সরু অক্ষের ব্যাসার্ধ $R_0=0.25\ \mathrm{cm}$। মোট ভর $M=0.24\ \mathrm{kg}$। $L=1.2\ \mathrm m$ লম্বা সুতো অক্ষের চারপাশে প্যাঁচানো। ইয়ো-ইয়োটাকে শুরুতে $v_0=1.4\ \mathrm{m/s}$ বেগে নিচে ছুড়ে দিলে, সুতো পুরো খুলে যাওয়ার সময় কৌণিক বেগ কত? (মূল বইয়ের চিত্র ৯-৩৪)।

নিচের দিক ধনাত্মক ধরলে ইয়ো-ইয়োর বলের সমীকরণ,

মাঝখানের অক্ষকে ঘোরায় সুতোর টান,

সুতো পিছলায় না, তাই $a=\alpha R_0$। ফলে,

ধরো, মাঝখানের অক্ষের নিজের জড়তাবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের প্রথম গতিসূত্র ও জড়তা খুব কম। তখন দুটি চাকতির মোট জড়তা প্রায় $I=\frac12MR^2$। ফলে,

সুতো খুলতে মোট কোণ,

শুরুর কৌণিক বেগ,

ধ্রুব কৌণিক ত্বরণের সূত্রে,

ধনাত্মক সমাধান $t\approx0.82\ \mathrm s$। তাই,

এখানে একই সঙ্গে সুতো খুলছে, ইয়ো-ইয়ো নিচে নামছে, আর চাকতি আরও দ্রুত ঘুরছে-সরণ ও ঘূর্ণনের সমন্বয়ের দারুণ উদাহরণ!

মনে রেখো

গড়ানোর অঙ্কে সবচেয়ে আগে পরীক্ষা করো পিছলানো হচ্ছে কি না। পিছলানো ছাড়া গড়ালে $v_{\rm cm}=\omega R$ ও $a_{\rm cm}=\alpha R$ কাজে লাগে। কিন্তু ঘূর্ণন ও সরণের মিল নেই এমন পরিস্থিতিতে (যেমন বরফে চাকা ঘুরে যাওয়া) এই শর্তগুলো জোর করে বসানো যাবে না।