১.৬: পরিমাপের নির্ভুলতা ও তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যা

Precision and Significant Figures

মনেকরো, তোমার কাছে একটা মাপার ফিতা আছে। সেটা দিয়ে টেবিলের দৈর্ঘ্যবিস্তারিত জানতে দেখো:দৈর্ঘ্যের মানদণ্ড মেপে বললে ৩ মিটার। এবার তোমার বন্ধু আরও সূক্ষ্ম একটা যন্ত্র এনে মেপে বললো ৩.১৪১৫৯ মিটার।

এখন কি বলবে, তোমার বন্ধুর পরিমাপটাই বেশি ভালো? হতে পারে, কিন্তু তার যন্ত্রটা সত্যিই এতগুলো দশমিক ঘর পর্যন্ত নির্ভুলভাবে মাপতে পারে কি না, সেটাও জানতে হবে। কারণ ক্যালকুলেটরে অনেকগুলো অঙ্ক দেখালেই সবগুলো অঙ্ককে পরিমাপের ফলাফল হিসেবে লিখে দেওয়া যায় না।

এই যে কোনো পরিমাপবিস্তারিত জানতে দেখো:ভৌত রাশি, মানদণ্ড এবং একক কতটা সূক্ষ্মভাবে করা হয়েছে, সেটা বোঝাতে আমরা Precision শব্দটি ব্যবহার করি। আর পরিমাপের মানে কতটুকু সন্দেহ বা সম্ভাব্য তারতম্য থাকতে পারে, সেটাকে বলা হয় Uncertainty বা অনিশ্চয়তা।

সংখ্যার শেষ অঙ্কগুলো কতটা বিশ্বাস করবে?

ধরো, তুমি লিখলে,

$x=3\,\mathrm{m}$

এর মাধ্যমে বোঝালে যে দৈর্ঘ্যটি মোটামুটি তিন মিটার। মূল বইয়ের উদাহরণের ভাষায়, সেই পরিমাপের প্রকৃত মান দুই থেকে চার মিটারের আশপাশে হতে পারে-অর্থাৎ এর নির্ভুলতা খুব বেশি নয়।

কিন্তু যদি লেখো,

$x=3.14159\,\mathrm{m}$

তাহলে তুমি দাবি করছো সংখ্যাটির অনেক দূর পর্যন্ত দশমিক ঘরের মান সম্পর্কে তোমার ধারণা আছে। বইয়ের ব্যাখ্যায় এর সম্ভাব্য মান প্রায় $3.14158$ থেকে $3.14160\,\mathrm{m}$-এর মধ্যে ধরা হয়েছে। তবে প্রকৃত অনিশ্চয়তা জানতে যন্ত্রের বৈশিষ্ট্যও জানা প্রয়োজন।

তাই তুমি যতটা জানো, ফলাফলে ঠিক ততটাই তথ্য প্রকাশ করা উচিত। কম জানা সত্ত্বেও বেশি দশমিক ঘর লিখে দেওয়া ঠিক নয়। আবার খুব ভালো পরিমাপ করেও অকারণে অঙ্ক বাদ দেওয়া উচিত নয়।

তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যা

পরিমাপের ফলাফলে যেসব অঙ্ক অর্থপূর্ণ তথ্য দেয়, তাদেরকে Significant Figures বা তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যা বলা হয়। প্রচলিত পদ্ধতিতে নিশ্চিত অঙ্কগুলোর সাথে প্রথম অনিশ্চিত অঙ্কটিও লেখা হয়।

এবার তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যা ব্যবহারের তিনটি নিয়ম দেখি।

নিয়ম ১: শুরুতে থাকা শূন্য কি তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যা?

মনেকরো, একটা বস্তুর দৈর্ঘ্য তুমি লিখলে $3\,\mathrm{m}$। আবার মিটারকে কিলোমিটারে প্রকাশ করলে,

এখন কি $0.003$-এ চারটি তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক রয়েছে? মোটেও না! শুরুর শূন্যগুলো শুধু দশমিকের জায়গা ঠিক করে দিচ্ছে। তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক মাত্র একটি-৩।

কিন্তু তুমি যদি লেখো,

তাহলে এখানে দুটি তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যা আছে। শেষের শূন্যটি লিখে তুমি বোঝালে, দশমিকের পরের ঘরটি সম্পর্কেও তোমার পরিমাপের তথ্য রয়েছে।

ধরো, কোনো দূরত্ব $300\,\mathrm{m}$ লেখা আছে। এখানে কয়টি তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক? একটা, দুটো, নাকি তিনটা? শুধু এভাবে লিখলে বুঝতে অসুবিধা হতে পারে। তাই Scientific Notation ব্যবহার করে লিখতে পারো,

এগুলো যথাক্রমে এক, দুই ও তিনটি তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যা প্রকাশ করছে।

মনে রেখো

ক্যালকুলেটরে ১০টা দশমিক ঘর দেখালেও তোমার মাপার যন্ত্র যদি মাত্র দুই তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যা পর্যন্ত নির্ভরযোগ্য হয়, তাহলে ফলাফলে ১০টা অঙ্ক লেখার দরকার নেই।

নিয়ম ২: গুণ ও ভাগের সময় তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যা

এবার ধরো, দুটো পরিমাপ গুণ করবে। একটা পরিমাপে মাত্র দুটি তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যা আর অন্যটাতে ছয়টি। তাহলে গুণফলকে ছয়টি তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যাে প্রকাশ করা ঠিক হবে? না। কারণ প্রথম পরিমাপটাই তো এতটা সূক্ষ্ম নয়।

যেমন,

এখানে $2.3$-এর তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যা দুটি। তাই সাধারণ নিয়মে ফলাফলকেও দুই তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যাে প্রকাশ করবো,

অবশ্য কিছু পরিস্থিতিতে ফলাফলকে রাউন্ড করার সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড একটু বিচারবুদ্ধি দরকার হয়। মূল বইয়ে দেওয়া আরেকটি উদাহরণ হলো,

বইয়ের লেখক এখানে বিশেষ বিবেচনায় তিন তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যা রেখেছেন। তবে গুণের সাধারণ নিয়ম কঠোরভাবে প্রয়োগ করলে দুই তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যাে $1.0\times10^1$ পাওয়া যাবে। অর্থাৎ কোন তথ্য কতটা নির্ভরযোগ্য, সেটা না বুঝে শুধু নিয়ম মুখস্থ করে হিসাব করলে কখনো বিভ্রান্তি হতে পারে।

নিয়ম ৩: যোগ-বিয়োগে দশমিকের ঘর দেখতে হবে

মনেকরো, তোমার কাছে তিনটি বস্তু আছে। বস্তু তিনটির ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা মেপে পেলে,

এবার তিনটার ভর যোগ করলে,

কিন্তু একটু খেয়াল করো, প্রথম বস্তুর ভর তুমি দশমিকের পরে মাত্র এক ঘর পর্যন্ত জানো। তাহলে তিনটি ভর যোগ করে হঠাৎ তিন ঘর পর্যন্ত নির্ভুল ফল পাবে কীভাবে? তাই ফলাফল লিখতে হবে,

কারণ যোগ বা বিয়োগের ক্ষেত্রে মোট তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যাের চেয়ে সবচেয়ে কম নির্ভুল দশমিক অবস্থান গুরুত্বপূর্ণ।

সতর্কতা

গুণ-ভাগে সাধারণত কম তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কসংখ্যাবিশিষ্ট পরিমাপের সীমা মানতে হয়। কিন্তু যোগ-বিয়োগে দশমিকের কোন ঘর পর্যন্ত পরিমাপ নির্ভরযোগ্য, সেটা দেখতে হয়।

উদাহরণ ১-৩: বিড়ালটার ভর কত?

মনেকরো, তোমার বাসায় একটা পোষা বিড়াল আছে। বিড়ালটাকে স্কেলে দাঁড় করাতে গেলেই লাফিয়ে পালিয়ে যায়! কী করবে? তুমি একটা বুদ্ধি বের করলে। প্রথমে নিজে স্কেলে দাঁড়ালে, তারপর বিড়ালটাকে কোলে নিয়ে আবার দাঁড়ালে।

তোমার নিজের ভর দেখালো $119\,\mathrm{lb}$। আর বিড়ালসহ ভর দেখালো $128\,\mathrm{lb}$। তাহলে বিড়ালের ভর,

এই স্কেলটা শুধু পূর্ণ পাউন্ডে মান দেখায়। বইয়ের উদাহরণে পরিমাপের অনিশ্চয়তা আনুমানিক $1\,\mathrm{lb}$ ধরা হয়েছে। তাহলে তোমার নিজের ভর পরিমাপের আপেক্ষিক অনিশ্চয়তা (Relative Uncertainty),

আর বিড়ালের ভরের আপেক্ষিক অনিশ্চয়তা,

দেখলে ব্যাপারটা? একই স্কেলে মেপেছো। অনিশ্চয়তার মানও প্রায় একই। কিন্তু তোমার ভর পরিমাপের শতকরা অনিশ্চয়তা যেখানে $0.8\%$, বিড়ালের ক্ষেত্রে সেটা প্রায় $11\%$!

এবার বিড়ালটার জায়গায় যদি এক পাউন্ড ভরের ছোট্ট একটা বিড়ালছানা থাকতো, তাহলে একই পদ্ধতিতে অনিশ্চয়তা প্রায় $100\%$ হয়ে যেত। তাই কাছাকাছি দুটি বড় সংখ্যা বিয়োগ করে খুব ছোট একটি ফল বের করলে আপেক্ষিক অনিশ্চয়তা অনেক বেড়ে যেতে পারে।

পরিমাপের এই সীমাবদ্ধতাটা জানা জরুরি। কারণ একটা হিসাবের সংখ্যাগুলো দেখতে যতই সুন্দর হোক, মূল পরিমাপ নির্ভরযোগ্য না হলে শেষ ফলও নির্ভরযোগ্য হবে না।