⚛ Science in Minutes

৭.২ দুই-কণা ব্যবস্থা (Two-Particle Systems)

লাঠির এক প্রান্ত ভারী হলে ভরকেন্দ্র কোথায় যাবে?

আগের গল্পের লাঠিটাকে এবার একটু সহজ করি। ধরো, এর দুই প্রান্তে দুটি ছোট বল লাগানো আছে। প্রথম বলটির ভর m1=mm_1=m, আর দ্বিতীয়টির ভর m2=2mm_2=2m। বল দুটিকে জোড়া দেওয়া আছে দৈর্ঘ্য LL-এর একটা হালকা, শক্ত দণ্ড দিয়ে। দণ্ডের ভর এত কম যে আপাতত উপেক্ষা করতে পারি।

লাঠিটাকে এবার আকাশে না ছুড়ে ঘর্ষণহীন টেবিলের ওপর ঠেলে দিলাম। এটি সামনে এগোতে এগোতে ঘুরতেও পারে। অথচ একটা বিশেষ বিন্দু CC সোজা রেখায় সমবেগে চলে। মূল বইয়ের চিত্র ৭-৩-এ এই পার্থক্য দেখা যায়।

তুমি যদি এমন একটা চলমান জায়গা থেকে লাঠিটাকে দেখো, যেটা CC-এর সঙ্গে একই বেগে চলছে, তাহলে CC স্থির দেখাবে-শুধু দণ্ডের দুই প্রান্ত তার চারদিকে ঘুরবে (চিত্র ৭-৪)।

আগে ঠিক করি, আমাদের ‘ব্যবস্থা’ কোনটা

এবার নিউটনের সূত্র কাজে লাগানোর আগে একটা গুরুত্বপূর্ণ সিদ্ধান্ত নিতে হবে: আমরা কোন কোন বস্তুকে একসঙ্গে হিসাব করবো?

ধরো, দুই বল এবং তাদের সংযোগকারী দণ্ড-সবকিছু মিলিয়ে একটি ব্যবস্থা (system)। এই ব্যবস্থার বাইরে যা আছে, সেটা তার পরিবেশ (environment)।

ব্যবস্থার মধ্যে এক অংশ অন্য অংশের ওপর যে বল দেয়, তার নাম অভ্যন্তরীণ বল (internal force)। আর ব্যবস্থার বাইরের কোনো বস্তু থেকে যে বল আসে, তার নাম বাহ্যিক বল (external force)।

যেমন, দণ্ড প্রথম বলটিকে টানলে সেটা অভ্যন্তরীণ বল। কিন্তু টেবিল থেকে অভিলম্ব বল কিংবা টেবিলের ঘর্ষণ থাকলে সেই ঘর্ষণ হলো বাহ্যিক বল।

এই পার্থক্যটা খুব জরুরি। কারণ পুরো ব্যবস্থার গতি নির্ধারণে শেষ পর্যন্ত লব্ধি বাহ্যিক বলই ভূমিকা রাখে।

দুই কণার ভরকেন্দ্রের অবস্থান

ধরো, প্রথম বলটির অবস্থান ভেক্টর r⃗1\vec r_1, দ্বিতীয়টির r⃗2\vec r_2। তাহলে ভরকেন্দ্রের অবস্থান ভেক্টর সংজ্ঞায়িত করি-

r⃗cm=m1r⃗1+m2r⃗2m1+m2.\boxed{\vec r_{\mathrm{cm}}=\frac{m_1\vec r_1+m_2\vec r_2}{m_1+m_2}}.

এখানে cm\mathrm{cm} মানে center of mass। ভর যত বেশি, সেই কণার অবস্থানের প্রভাবও তত বেশি। তাই ভারী কণার কাছে ভরকেন্দ্র থাকে।

দুই মাত্রায় হিসাব করতে চাইলে সমীকরণটা দুটি অংশে লিখতে পারি:

xcm=m1x1+m2x2m1+m2,ycm=m1y1+m2y2m1+m2.\boxed{x_{\mathrm{cm}}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}}, \qquad \boxed{y_{\mathrm{cm}}=\frac{m_1y_1+m_2y_2}{m_1+m_2}}.

এভাবে xx আর yy-এর হিসাব আলাদাভাবে করা যায়। ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রেও একই নিয়মে zcmz_{\mathrm{cm}} পাওয়া যাবে।

ভরকেন্দ্রের বেগ আর ত্বরণ

ভরকেন্দ্রের অবস্থান সময়ের সঙ্গে বদলালে তার বেগ হবে অবস্থানের সময়ের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ:

v⃗cm=dr⃗cmdt=m1v⃗1+m2v⃗2m1+m2.\vec v_{\mathrm{cm}}=\frac{d\vec r_{\mathrm{cm}}}{dt} =\boxed{\frac{m_1\vec v_1+m_2\vec v_2}{m_1+m_2}}.

আরেকবার ডেরিভেটিভ নিলে পাই ত্বরণ:

a⃗cm=m1a⃗1+m2a⃗2m1+m2.\boxed{\vec a_{\mathrm{cm}}=\frac{m_1\vec a_1+m_2\vec a_2}{m_1+m_2}}.

এখানে আমরা কণাগুলোর ভর ধ্রুব ধরেছি।

অভ্যন্তরীণ বল কি ভরকেন্দ্রকে ত্বরণ দিতে পারে?

ধরো, বল দুটির ওপর দণ্ড থেকে আসা অভ্যন্তরীণ বল যথাক্রমে F⃗1,int\vec F_{1,\mathrm{int}} ও F⃗2,int\vec F_{2,\mathrm{int}}। নিউটনের তৃতীয় সূত্র অনুযায়ী,

F⃗1,int+F⃗2,int=0.\vec F_{1,\mathrm{int}}+\vec F_{2,\mathrm{int}}=0.

এখন প্রতিটি বলের জন্য নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র ব্যবহার করি:

m1a⃗1=F⃗1,ext+F⃗1,int,m2a⃗2=F⃗2,ext+F⃗2,int.\begin{aligned} m_1\vec a_1&=\vec F_{1,\mathrm{ext}}+\vec F_{1,\mathrm{int}},\\ m_2\vec a_2&=\vec F_{2,\mathrm{ext}}+\vec F_{2,\mathrm{int}}. \end{aligned}

দুটি সমীকরণ যোগ করলে অভ্যন্তরীণ বলগুলো একে অপরকে বাতিল করে দেবে। আর বামপাশে থাকবে (m1+m2)a⃗cm(m_1+m_2)\vec a_{\mathrm{cm}}। কাজেই,

∑F⃗ext=(m1+m2)a⃗cm.\boxed{\sum\vec F_{\mathrm{ext}}=(m_1+m_2)\vec a_{\mathrm{cm}}}.

এটা দেখতে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রের মতোই, তবে এবার পুরো ব্যবস্থার মোট ভরকে ভরকেন্দ্রে কেন্দ্রীভূত কল্পনা করছি।

  • লব্ধি বাহ্যিক বল শূন্য হলে a⃗cm=0\vec a_{\mathrm{cm}}=0। ভরকেন্দ্র স্থির থাকবে কিংবা সমবেগে চলবে।
  • লব্ধি বাহ্যিক বল থাকলে ভরকেন্দ্র সেই বলের কারণে ত্বরণ পাবে।

বস্তুর ভেতরে কত টানাটানি বা ঘোরাঘুরি চলছে, সেগুলো ভরকেন্দ্রের এই সমীকরণ বদলায় না।

উদাহরণ ৭.১: ভরকেন্দ্র খুঁজে বের করি

একটা দণ্ডের দুই প্রান্তে mm ও 2m2m ভরের কণা আছে। ভারী কণাটির অবস্থান xx, হালকা কণাটির অবস্থান x+Lx+L। ভরকেন্দ্র কোথায়?

সূত্রে বসাই:

xcm=(m)(x+L)+(2m)xm+2m=x+L3.\begin{aligned} x_{\mathrm{cm}} &=\frac{(m)(x+L)+(2m)x}{m+2m}\\ &=x+\frac{L}{3}. \end{aligned}

অর্থাৎ ভরকেন্দ্র ভারী কণাটির কাছ থেকে দণ্ডের দৈর্ঘ্যের এক-তৃতীয়াংশ দূরে। মাঝখানে নয়।

এবার দণ্ডটি 45∘45^\circ কোণে রাখা হলো, আর ভারী কণাটিকে স্থানাঙ্কের মূলবিন্দুতে রাখলাম। তখন হালকা কণাটির স্থানাঙ্ক,

x1=L2,y1=L2.x_1=\frac{L}{\sqrt2},\qquad y_1=\frac{L}{\sqrt2}.

ভারী কণার স্থানাঙ্ক শূন্য। তাই,

xcm=ycm=L32.\boxed{x_{\mathrm{cm}}=y_{\mathrm{cm}}=\frac{L}{3\sqrt2}}.

অবস্থান বদলেছে, কিন্তু দণ্ডের ওপর ভরকেন্দ্রের আপেক্ষিক জায়গা বদলায়নি-এখনও ভারী প্রান্ত থেকে L/3L/3 দূরে।

মনে রেখো

ভরকেন্দ্র হলো ভর দিয়ে ওজন করা গড় অবস্থান। আর পুরো ব্যবস্থার ভরকেন্দ্রের গতি বোঝার সময় অভ্যন্তরীণ বল নয়, লব্ধি বাহ্যিক বল হিসাব করতে হয়। পরের অংশে দুইটির বদলে শত, হাজার কিংবা লক্ষ কণার জন্য একই ধারণা ব্যবহার করবো।