৪.৪: বাতাসের বাধা ও প্রক্ষেপণের গতি

Drag Forces and the Motion of Projectiles

মনেকরো, কাটুশ একটা উঁচু মেঘের ওপর বসে বৃষ্টির ফোঁটা পড়তে দেখছে। মেঘটা মাটি থেকে প্রায় দুই কিলোমিটার ওপরে। এখন যদি আমরা আগের অধ্যায়ের মুক্তপতনের সূত্র ব্যবহার করি, তাহলে একটা ফোঁটা মাটিতে পড়ার সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর হওয়ার কথা প্রায়,

অর্থাৎ প্রায় ঘণ্টায় $713\,\mathrm{km}$! তাহলে তো বৃষ্টির ফোঁটা মাথায় পড়লে ভয়ংকর বিপদ হওয়ার কথা। কিন্তু প্রতিদিন বৃষ্টিতে ভিজেও আমরা দিব্যি বেঁচে আছি। সমস্যা কোথায়?

সমস্যাটা হলো, আমরা বাতাসের বাধা একেবারেই হিসাব করিনি। বাস্তবে বাতাসের মধ্যে কোনো বস্তু চললে বাতাস সেই গতির বিপরীতে বল প্রয়োগ করে। এই বলটাকেই বলা হয় Drag Force।

Drag Force কীভাবে কাজ করে?

ধরো, কাটুশ একটা প্যারাসুট পরে নিচে নামছে। প্রথমে সে দ্রুত নিচে পড়তে শুরু করলো। কিন্তু বেগ যত বাড়ছে, বাতাসের বাধাও তত বাড়ছে। প্যারাসুট খুলে দেওয়ার পর বাতাসের বাধা আরও অনেক বেড়ে যায়। ফলে নিচে নামার বেগ কমে আসে।

এখানে মনে রাখার বিষয় হলো, Drag Force সবসময় বস্তুটির আশপাশের তরল বা গ্যাসের সাপেক্ষে আপেক্ষিক গতির বিপরীত দিকে কাজ করে। বাতাস স্থির থাকলে নিচে পড়া বস্তুর ওপর Drag Force ওপরের দিকে হবে।

Drag Force

কোনো বস্তু বাতাস বা পানির মতো প্রবাহী মাধ্যমে চললে মাধ্যমটি বস্তুর আপেক্ষিক গতির বিপরীতে যে প্রতিরোধী বল প্রয়োগ করে, তাকে Drag Force বলা হয়। বলটির মান সাধারণত বেগের ওপর নির্ভর করে।

বাস্তবে Drag Force-এর রূপ অনেক রকম হতে পারে। আপাতত হিসাবটা সহজ করার জন্য ধরে নিই,

যেখানে $D$ হচ্ছে বাধা বলের মান, $v$ হলো মাধ্যমের সাপেক্ষে বস্তুর বেগের মান, আর $b$ হলো একটা ধ্রুবক। এই $b$ বস্তুটির আকার-আকৃতি আর কোন মাধ্যমে চলছে তার ওপর নির্ভর করে।

এই সরল মডেলটা বিশেষ করে ছোট বস্তু ধীর গতিতে সান্দ্র প্রবাহীর মধ্যে চলার ক্ষেত্রে কাজে লাগে। পরে দেখবো, অনেক বাস্তব অবস্থায় বল বেগের বর্গের সঙ্গেও বাড়ে।

একটা বস্তু নিচে পড়ছে-ত্বরণ কি সবসময় $g$ থাকবে?

ধরো, কাটুশ একটা ছোট বল স্থির অবস্থা থেকে ছেড়ে দিল। সহজ হিসাবের জন্য এবার নিচের দিককে ধনাত্মক y-অক্ষ ধরে নিই।

নিচের দিকে বলের ওজনবিস্তারিত জানতে দেখো:ওজন, ভর ও ওজনহীনতা $mg$, আর ওপরের দিকে বাতাসের বাধা $bv_y$। তাই নিচের দিকে নিট বলবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র,

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রবিস্তারিত জানতে দেখো:নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র থেকে,

অর্থাৎ,

এবার একটু খেয়াল করো। যখন বলটাকে প্রথম ছেড়ে দেওয়া হলো, তখন $v_y=0$। তাই বাতাসের বাধাও শূন্য, আর ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর প্রায় $g$। কিন্তু বলটা যত দ্রুত পড়তে থাকে, $bv_y$ তত বাড়তে থাকে। ফলে নিট ত্বরণ কমতে থাকে।

একসময় বাতাসের বাধা ওজনের সমান হয়ে যায়,

তখন,

এর মানে বলটা থেমে গেছে, এমন কিন্তু নয়! বরং এখন আর বেগ বাড়ছে না। বস্তুটা একটা নির্দিষ্ট ধ্রুব বেগে নিচে পড়তে থাকে। এই বেগের নাম Terminal Velocity বা প্রান্তিক বেগ।

বেগ আর ত্বরণ গুলিয়ে ফেলবে না

প্রান্তিক বেগে পৌঁছালে ত্বরণ শূন্য হয়, কিন্তু বেগ শূন্য হয় না। বস্তুটা তখন ধ্রুব বেগে নিচে পড়ছে।

কিন্তু কতক্ষণে প্রান্তিক বেগের কাছাকাছি পৌঁছাবে?

এই প্রশ্নের উত্তর দিতে এবার একটু ক্যালকুলাস লাগবে। চিন্তার কিছু নেই, ধাপে ধাপে দেখি।

আমরা জানি,

তাই,

ভেরিয়েবলগুলো আলাদা করলে পাই,

শুরুর সময় $t=0$-এ বেগ $v_y=0$। দুই পাশে ইন্টিগ্রেশন করলে,

সমাধান করে পাই,

এখন $v_y$-এর জন্য সাজালে,

এখানে $e$ হলো প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি। সমীকরণটা দেখতে একটু জটিল লাগলেও এর অর্থ খুব সুন্দর।

শুরুর দিকে $t$ খুব ছোট হলে,

ফলে,

অর্থাৎ প্রথমদিকে বস্তুটা প্রায় সাধারণ মুক্তপতনের মতোই চলছে।

অনেক সময় পরে $e^{-bt/m}$ প্রায় শূন্য হয়ে যায়। তখন,

একই সমীকরণ থেকে ত্বরণও বের করা যায়,

আর শুরুর অবস্থান $y(0)=0$ হলে ইন্টিগ্রেশন করে অবস্থান পাই,

এখানে $y$ নিচের দিকে মাপা হয়েছে। বইয়ের চিত্র ৪-১১-এ এই তিনটি গ্রাফ দেখানো আছে। সেখানে ত্বরণ প্রথমে $g$ থেকে কমতে কমতে শূন্যের দিকে যায়, বেগ শূন্য থেকে বাড়তে বাড়তে $v_T$-এর দিকে যায়, আর অবস্থানের গ্রাফ শেষ দিকে প্রায় সোজা রেখার মতো হয়ে যায়।

বিভিন্ন বস্তুর প্রান্তিক বেগ

একটা পালক আর একটা ধাতব বল কি বাতাসে একই রকম বেগে পড়বে? না। তাদের ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা, আকার আর বাতাসে বাধা পাওয়ার ধরন আলাদা। এই কারণেই বাস্তবে বিভিন্ন বস্তুর প্রান্তিক বেগ আলাদা হয়।

বইয়ের সারণি ৪-১-এ বাতাসে কয়েকটি বস্তুর আনুমানিক প্রান্তিক বেগ ও সেই বেগের ৯৫ শতাংশে পৌঁছানোর জন্য প্রয়োজনীয় পতনের দূরত্ব দেওয়া হয়েছে।

এই মানগুলো আনুমানিক, বস্তুর অবস্থান ও পরিবেশ বদলালে আলাদা হতে পারে। যেমন স্কাইডাইভার শরীর গুটিয়ে ফেললে আর হাত-পা ছড়িয়ে দিলে বাতাসের বাধা একই থাকে না।

সবসময় কি Drag Force বেগের সমানুপাতিক?

না। আমরা $D=bv$ ধরেছিলাম হিসাব শেখার সুবিধার জন্য। অনেক বড় বস্তু বা দ্রুতগতির চলাচলের ক্ষেত্রে বাধা বল আনুমানিক বেগের বর্গের সমানুপাতিক হতে পারে,

এই ধরনের বাধাকে প্রায়ই Aerodynamic Drag বলা হয়। বিমান, গাড়ি, ফুটবল কিংবা বেসবলের জন্য বাস্তব হিসাব করতে গেলে এমন প্রভাব খুব গুরুত্বপূর্ণ।

বাতাস থাকলে প্রক্ষেপণের গতিপথ কি পরাবৃত্তই থাকবে?

এবার কাটুশ একটা বেসবল ছুড়লো। আগের পরিচ্ছেদে বলেছিলাম, বাতাসের বাধা না থাকলে গতিপথ পরাবৃত্তাকার হয়, আর একই উচ্চতায় পড়লে ওঠা-নামার গতি সামঞ্জস্যপূর্ণ থাকে। কিন্তু এবার বাতাস আছে।

ধরো, একটা বেসবল প্রায় $45\,\mathrm{m/s}$ বেগে চলছে। বইয়ের সরল রৈখিক Drag মডেলে বেসবলের ওজন প্রায় $1.4\,\mathrm N$ আর প্রান্তিক বেগ $42\,\mathrm{m/s}$ হলে,

তাই $45\,\mathrm{m/s}$ বেগে বাধা বলের আনুমানিক মান,

দেখছো, এই আনুমানিক বাধা বল বেসবলের ওজনের চেয়েও একটু বেশি! সুতরাং বাতাসকে উপেক্ষা করলে গতিপথের হিসাবে বড় ভুল হতে পারে।

বইয়ের চিত্র ৪-১৩-এ $45\,\mathrm{m/s}$ বেগে $60^\circ$ কোণে ছোড়া একটা প্রক্ষেপণের জন্য দুটি গতিপথের তুলনা করা হয়েছে। বাতাসের বাধা না থাকলে পাল্লা প্রায় $179\,\mathrm m$ আর সর্বোচ্চ উচ্চতা প্রায় $78\,\mathrm m$। বাধা বিবেচনা করা মডেলে পাল্লা নেমে এসেছে প্রায় $72\,\mathrm m$ আর সর্বোচ্চ উচ্চতা প্রায় $48\,\mathrm m$। এমনকি নামার পথটাও ওঠার পথের তুলনায় বেশি খাড়া।

কোন সূত্র কখন ব্যবহার করবে?

বাতাসের বাধা উল্লেখযোগ্য হলে ত্বরণ সাধারণত ধ্রুবক নয়। তাই $x=x_0+v_0t+\frac12at^2$-এর মতো ধ্রুব ত্বরণের সূত্র পুরো গতির জন্য সরাসরি ব্যবহার করা যাবে না। তখন নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র থেকে পরিবর্তনশীল ত্বরণের সমীকরণ সমাধান করতে হবে-কখনো ক্যালকুলাস দিয়ে, কখনো কম্পিউটারের সাহায্যে।

সুতরাং বাস্তব পৃথিবীতে বলটা শুধু কোথা থেকে ছুড়লাম আর কত বেগে ছুড়লাম, তাতেই সব শেষ নয়। বাতাসও গতিপথ নির্ধারণে বড় ভূমিকা রাখে।