বিষয়সমূহ › ক্লাসিক্যাল মেকানিক্স › অধ্যায় ৮: ঘূর্ণনগতিবিদ্যা › ৮.৬ রৈখিক ও কৌণিক রাশির ভেক্টর সম্পর্ক (ঐচ্ছিক) এই পৃষ্ঠায়
৮.৬ রৈখিক ও কৌণিক রাশির ভেক্টর সম্পর্ক (ঐচ্ছিক)
বল তো, বেগের দিকটা কোথায়?
আগের অংশে আমরা লিখেছি, v T = ω r v_T=\omega r v T = ω r মানের সম্পর্ক। চাকার ওপর একটা বিন্দু কোথায় যাচ্ছে-ডানে, বাঁয়ে, ওপরে, না নিচে-সেটা জানতে চাইলে ভেক্টর লাগবে।
ধরো, কাটুশ একটা ঘূর্ণায়মান চাকায় ছোট একটি বিন্দু চিহ্নিত করল। বিন্দুটি ঘুরতে ঘুরতে সব সময়বিস্তারিত জানতে দেখো: সময়ের মানদণ্ড কেন্দ্র থেকে একই দূরত্বে থাকছে, কিন্তু তার বেগের দিক প্রতিনিয়ত বদলাচ্ছে। এ জন্য দুটো বিশেষ একক ভেক্টরবিস্তারিত জানতে দেখো: ভেক্টরের ধর্ম ও উপাংশ কাজে লাগে।
দুটি ঘূর্ণায়মান একক ভেক্টর
u ^ r \hat{\mathbf u}_r u ^ r বাইরের দিকে নির্দেশ করে। একে রেডিয়াল একক ভেক্টর বলি।u ^ θ \hat{\mathbf u}_{\theta} u ^ θ স্পর্শক বরাবর , θ \theta θ
x y xy x y i ^ \hat{\mathbf i} i ^ j ^ \hat{\mathbf j} j ^
u ^ r = cos θ i ^ + sin θ j ^ , \boxed{\hat{\mathbf u}_r=\cos\theta\,\hat{\mathbf i}+\sin\theta\,\hat{\mathbf j}}, u ^ r = cos θ i ^ + sin θ j ^ , u ^ θ = − sin θ i ^ + cos θ j ^ . \boxed{\hat{\mathbf u}_{\theta}=-\sin\theta\,\hat{\mathbf i}+\cos\theta\,\hat{\mathbf j}}. u ^ θ = − sin θ i ^ + cos θ j ^ . দুই ভেক্টর পরস্পর লম্ব। কিন্তু i ^ , j ^ \hat{\mathbf i},\hat{\mathbf j} i ^ , j ^ এদের দিকও ঘুরছে (চিত্র ৮-১০)।
বেগ থেকে ত্বরণ বের করি
বেগবিস্তারিত জানতে দেখো: অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর স্পর্শক বরাবর, তাই
v ⃗ = v T u ^ θ . \vec v=v_T\hat{\mathbf u}_{\theta}. v = v T u ^ θ . এবার সময়ের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ নিলে প্রোডাক্ট রুল ব্যবহার করতে হবে:
a ⃗ = d v ⃗ d t = d v T d t u ^ θ + v T d u ^ θ d t . \vec a=\frac{d\vec v}{dt}
=\frac{dv_T}{dt}\hat{\mathbf u}_{\theta}
+v_T\frac{d\hat{\mathbf u}_{\theta}}{dt}. a = d t d v = d t d v T u ^ θ + v T d t d u ^ θ . কেন দ্বিতীয় পদটা বাদ দিইনি? কারণ u ^ θ \hat{\mathbf u}_{\theta} u ^ θ দিকও সময়ের সঙ্গে বদলাচ্ছে ।
আগের দুটি একক ভেক্টর সমীকরণ থেকে পাওয়া যায়,
d u ^ θ d t = − ω u ^ r . \frac{d\hat{\mathbf u}_{\theta}}{dt}
=-\omega\hat{\mathbf u}_r. d t d u ^ θ = − ω u ^ r . ফলে,
a ⃗ = a T u ^ θ − ω v T u ^ r . \boxed{\vec a=a_T\hat{\mathbf u}_{\theta}-\omega v_T\hat{\mathbf u}_r}. a = a T u ^ θ − ω v T u ^ r . যেহেতু v T = ω r v_T=\omega r v T = ω r
a ⃗ = a T u ^ θ − v T 2 r u ^ r = a ⃗ T + a ⃗ R . \boxed{\vec a=a_T\hat{\mathbf u}_{\theta}-\frac{v_T^2}{r}\hat{\mathbf u}_r
=\vec a_T+\vec a_R}. a = a T u ^ θ − r v T 2 u ^ r = a T + a R . এখানে ঋণাত্মক চিহ্ন বোঝায়, কেন্দ্রাভিমুখী ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো: সমদ্রুতিতে বৃত্তাকার গতি বাইরের দিকে নয়-কেন্দ্রের দিকে ।
ক্রস প্রোডাক্ট দিয়ে আরও সংক্ষিপ্ত লেখা
এবার একটু বেশি সুন্দর ভেক্টর ভাষা শিখি। দুটি ভেক্টরের ক্রস প্রোডাক্ট A ⃗ × B ⃗ \vec A\times\vec B A × B A B sin ϕ AB\sin\phi A B sin ϕ
A ⃗ × B ⃗ = − B ⃗ × A ⃗ . \vec A\times\vec B=-\vec B\times\vec A. A × B = − B × A . ধরো, ঘূর্ণন অক্ষের ওপর নয় এমন কোনো মূলবিন্দু থেকে বিন্দুটির অবস্থান R ⃗ \vec R R ω ⃗ \vec\omega ω r r r ω ⃗ × R ⃗ \vec\omega\times\vec R ω × R ω r \omega r ω r
v ⃗ = ω ⃗ × R ⃗ . \boxed{\vec v=\vec\omega\times\vec R}. v = ω × R . এবার আবার ডেরিভেটিভ নিই। ক্রস প্রোডাক্টের ক্রম অক্ষুণ্ণ রেখে,
a ⃗ = d d t ( ω ⃗ × R ⃗ ) = d ω ⃗ d t × R ⃗ + ω ⃗ × d R ⃗ d t . \begin{aligned}
\vec a
&=\frac{d}{dt}(\vec\omega\times\vec R)\\
&=\frac{d\vec\omega}{dt}\times\vec R
+\vec\omega\times\frac{d\vec R}{dt}.
\end{aligned} a = d t d ( ω × R ) = d t d ω × R + ω × d t d R . α ⃗ = d ω ⃗ / d t \vec\alpha=d\vec\omega/dt α = d ω / d t d R ⃗ / d t = v ⃗ d\vec R/dt=\vec v d R / d t = v
a ⃗ = α ⃗ × R ⃗ + ω ⃗ × v ⃗ . \boxed{\vec a=\vec\alpha\times\vec R+\vec\omega\times\vec v}. a = α × R + ω × v . এখানে প্রথম পদটি স্পর্শকীয় ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো: অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর , দ্বিতীয় পদটি কেন্দ্রাভিমুখী ত্বরণ (চিত্র ৮-১১)। এই সমীকরণ দুটোতে মান ও দিক-দুই তথ্যই রয়েছে।
একটা গুরুত্বপূর্ণ সাবধানতা
ω ⃗ \vec\omega ω v ⃗ \vec v v ঘূর্ণন অক্ষ বরাবর নয় -সেটা প্রতিটি বিন্দুতে তার চলার বৃত্তের স্পর্শক বরাবর।
এই পার্থক্য মাথায় থাকলে ক্রস প্রোডাক্টের সূত্রগুলোর মানে অনেক পরিষ্কার হয়ে যাবে।