অধ্যায় ১২: শক্তি ২: স্থিতিশক্তি

১২-২: স্থিতিশক্তি

Potential Energy

আগের উদাহরণগুলোতে স্প্রিং আর ব্লক মিলে একটা সিস্টেম, আবার বল আর পৃথিবী মিলে আরেকটা সিস্টেম তৈরি করেছে। স্প্রিংয়ের দৈর্ঘ্যবিস্তারিত জানতে দেখো:দৈর্ঘ্যের মানদণ্ড বদলালে প্রথম সিস্টেমের ভেতরে শক্তির বণ্টন বদলায়। একইভাবে বলটি পৃথিবী থেকে কতটা উচ্চতায় আছে, তার উপর দ্বিতীয় সিস্টেমের শক্তি নির্ভর করে। সিস্টেমের অংশগুলো পরস্পরের সাপেক্ষে কোথায় বা কীভাবে সাজানো আছে, সেটাকেই এখানে configuration বলছি।

কোনো সিস্টেমে সংরক্ষণশীল বল কাজ করলে তার configuration বদলায়, আর সেই সঙ্গে বদলায় স্থিতিশক্তি $U$। এই শক্তির পরিবর্তনকে আমরা সংজ্ঞায়িত করি,

এখানে $W$ হচ্ছে সিস্টেমের অভ্যন্তরে সংশ্লিষ্ট সংরক্ষণশীল বলের করা কাজ। অর্থাৎ, বলটি ধনাত্মক কাজ করলে স্থিতিশক্তি কমে; আর ঋণাত্মক কাজ করলে স্থিতিশক্তি বাড়ে।

একটা ব্যাপার মনে রেখো: স্থিতিশক্তি আসলে একটি সিস্টেমের বৈশিষ্ট্য, শুধু কোনো এককবিস্তারিত জানতে দেখো:ভৌত রাশি, মানদণ্ড এবং একক বস্তুর নয়। আমরা সুবিধার জন্য বলি ‘বলটির মহাকর্ষীয় স্থিতিশক্তি’ বা ‘স্প্রিংয়ের স্থিতিশক্তি’। কিন্তু পুরোপুরি নির্ভুলভাবে বললে প্রথমটি বল-পৃথিবী সিস্টেমের, আর দ্বিতীয়টি ব্লক-স্প্রিং সিস্টেমের শক্তি।

অবস্থান থেকে স্থিতিশক্তি বের করা

ধরো, কোনো বস্তু শুধু $x$ অক্ষ বরাবর চলতে পারে এবং তার ওপর অবস্থাননির্ভর একটি সংরক্ষণশীল বল $F_x(x)$ কাজ করছে। কাজের সংজ্ঞা ব্যবহার করলে,

এবার একটি সুবিধাজনক অবস্থান $x_0$ বেছে নিয়ে সেখানে স্থিতিশক্তি $U(x_0)$ ধরলে যেকোনো অবস্থানের স্থিতিশক্তি পাওয়া যায়,

এখানে ইচ্ছা করে $x'$ ব্যবহার করেছি, যাতে সমাকলনের চলক আর শেষ অবস্থান $x$ আলাদা করে বোঝা যায়।

তুমি চাইলে $x_0$-তে স্থিতিশক্তি শূন্য ধরতে পারো, আবার অন্য কোনো মানও নিতে পারো। এতে আলাদা অবস্থানে $U$-এর মান বদলাতে পারে, কিন্তু দুই অবস্থানের স্থিতিশক্তির পার্থক্য বদলায় না। পদার্থবিজ্ঞানে বাস্তবে সেই পার্থক্যটাই গুরুত্বপূর্ণ।

সমীকরণ (১২-৬)-কে ডিফারেনশিয়েট করলে একটি খুব দরকারি সম্পর্ক পাওয়া যায়,

অর্থাৎ, স্থিতিশক্তি অবস্থানের সঙ্গে কীভাবে বদলাচ্ছে, সেটা জানলে বলও বের করা যায়। একইভাবে বল জানা থাকলে সমাকলনবিস্তারিত জানতে দেখো:৫.৫ সময়নির্ভর বল (ঐচ্ছিক) করে স্থিতিশক্তি পাওয়া যায়। আর এই সম্পর্ক ঘর্ষণের মতো অসংরক্ষণশীল বলের জন্য একইভাবে ব্যবহার করা যায় না।

স্প্রিংয়ের স্থিতিশক্তি

স্প্রিংটা স্বাভাবিক দৈর্ঘ্যে থাকলে $x=0$ এবং এই অবস্থায় $U(0)=0$ ধরলাম। হুকের সূত্র অনুযায়ী $F_x=-kx$। তাই,

বুঝতে পারছো, স্প্রিংকে $x$ পরিমাণ টেনে লম্বা করো অথবা একই পরিমাণ চেপে ছোট করো, দুই ক্ষেত্রেই শক্তি জমা থাকে $\frac12 kx^2$। কারণ $x$ ধনাত্মক না ঋণাত্মক, সেটা বর্গের কারণে আর গুরুত্বপূর্ণ থাকে না।

একবার যাচাই করেও দেখো,

মহাকর্ষীয় স্থিতিশক্তি

এবার একটা বলকে পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে $y$ উচ্চতায় তুললে কী হয় দেখি। উপরের দিককে ধনাত্মক ধরে, পৃথিবীপৃষ্ঠে $y=0$ এবং $U(0)=0$ নিলাম। পৃথিবীর পৃষ্ঠের কাছাকাছি মহাকর্ষীয় বল প্রায় ধ্রুব, $F_y=-mg$। সুতরাং,

এই হলো পরিচিত $mgh$ সূত্রের উৎস। কোনো বস্তুকে যত উপরে তুলবে, তার সঙ্গে পৃথিবীর সিস্টেমের মহাকর্ষীয় স্থিতিশক্তি তত বাড়বে। তবে এই সূত্রে $g$-কে প্রায় ধ্রুব ধরা হয়েছে; পৃথিবী থেকে অনেক দূরের ক্ষেত্রে মহাকর্ষের আরও সাধারণ সূত্র লাগবে।

উদাহরণ ১২-১। লিফটের স্থিতিশক্তি কত বাড়বে?

ধরো, $920\,\mathrm{kg}$ ভরের একটি লিফট রাস্তার সমতল থেকে $412\,\mathrm{m}$ উপরে উঠলো। লিফট-পৃথিবী সিস্টেমের স্থিতিশক্তি কত বাড়লো?

এই শক্তি প্রায় $1\,\mathrm{kWh}$-এর সমান। উপরে ওঠার সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড মহাকর্ষ লিফটের উপর $-3.7\,\mathrm{MJ}$ কাজ করেছে, কারণ লিফটের সরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর উপরের দিকে, কিন্তু মহাকর্ষ নিচের দিকে।

উদাহরণ ১২-২। ট্রেন থামানোর স্প্রিং

একটা রেলস্টেশনের শেষ প্রান্তে ট্রেনকে থামানোর জন্য শক্ত স্প্রিং লাগানো আছে। স্প্রিংয়ের বলধ্রুবক $k=1.25\times10^8\,\mathrm{N/m}$। ট্রেনটি ধাক্কা দিয়ে স্প্রিংকে $5.6\,\mathrm{cm}$ চেপে থেমে গেল। স্প্রিংয়ে কত স্থিতিশক্তি জমা হলো?

প্রথমে সেন্টিমিটারকে মিটারে নিই: $x=0.056\,\mathrm{m}$। এখন,

অর্থাৎ, প্রায় $196\,\mathrm{kJ}$ শক্তি স্প্রিংয়ে সঞ্চিত হয়েছে।