অধ্যায় ১২: শক্তি ২: স্থিতিশক্তি

১২-৪: ঘূর্ণন গতিতে শক্তির সংরক্ষণ

Energy Conservation in Rotational Motion

এতক্ষণ যেসব বস্তু নিয়ে আলোচনা করেছি, তাদের বেশির ভাগই সরলরেখা বরাবর চলেছে। কিন্তু একটা চাকা যখন রাস্তা দিয়ে গড়িয়ে যায়, তখন কী হয়? চাকার কেন্দ্র সামনে এগোয়, আবার একই সঙ্গে চাকাটি নিজের অক্ষের চারদিকে ঘুরতে থাকে। ফলে এর গতিশক্তিও দুটো অংশে ভাগ করা যায়।

ঘূর্ণনের জন্য আলাদা কোনো ‘যান্ত্রিক শক্তিবিস্তারিত জানতে দেখো:যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ সংরক্ষণ সূত্র’ বানানোর দরকার নেই। আগের $E=K+U$ সূত্রই ব্যবহার করব, শুধু $K$-এর মধ্যে সরণগত এবং ঘূর্ণনগত, দুটো অংশই ধরতে হবে।

উদাহরণ ১২-৭। ঝুলন্ত ব্লক ঘুরিয়ে দিচ্ছে একটি ডিস্ককে

একটা দড়ি একটি ডিস্কের প্রান্তে পেঁচানো, আর দড়ির নিচে $m$ ভরের ব্লক ঝুলছে। ব্লকটি স্থির অবস্থা থেকে $y$ দূরত্ব নিচে নামলে ডিস্কটিও ঘুরতে শুরু করে। ডিস্কের ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা $M$, ব্যাসার্ধ $R$ এবং ঘূর্ণন জড়তা $I=\frac12 MR^2$। দড়ি পিছলায় না, তাই ব্লকের বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর $v$ হলে ডিস্কের কৌণিক বেগ $\omega=v/R$।

এবার ব্লক-পৃথিবী-ডিস্ক সিস্টেমের শক্তি সংরক্ষণ করি,

$\omega=v/R$ আর $I=\frac12 MR^2$ বসালে,

মূল উদাহরণে $m=1.2\,\mathrm{kg}$, $M=2.5\,\mathrm{kg}$ এবং $y=0.56\,\mathrm{m}$। ফলে,

এখানে ব্লকের হারানো মহাকর্ষীয় স্থিতিশক্তির একটা অংশ ব্লকের সরণগত গতিশক্তি হয়েছে, আর বাকি অংশ গেছে ডিস্কের ঘূর্ণনে।

সরণগতি ও ঘূর্ণনগতির মোট গতিশক্তি

মনেকরো, একটা শক্ত চাকাকে অনেক ছোট ছোট কণা দিয়ে তৈরি বলে ভাবছি। পুরো চাকার ভর $M$, ভরকেন্দ্রের বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:৭.২ দুই-কণা ব্যবস্থা $\vec v_{\mathrm{cm}}$, আর ভরকেন্দ্রের চারদিকে ঘোরার কৌণিক বেগ $\omega$। চাকার কোনো একটি $n$-তম কণার ভর $m_n$, অবস্থান $\vec r_n$ এবং ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে তার অবস্থান $\vec r'_n$। তাহলে,

সকল কণার গতিশক্তি যোগ করলে,

বেগের রাশিটা বসিয়ে একটু সাজালে,

এখানে তিনটি অংশ আছে। প্রথম অংশে $\sum m_n=M$ বলে ফল হবে $\frac12 Mv_{\mathrm{cm}}^2$। মাঝের অংশ শূন্য, কারণ ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে সব কণার মোট ভরবেগবিস্তারিত জানতে দেখো:৬.৪ ভরবেগের সংরক্ষণ শূন্য: $\sum m_n\vec v'_n=0$। শেষ অংশটিতে বিশুদ্ধ ঘূর্ণনের জন্য $v'_n=\omega r'_n$ বসিয়ে পাওয়া যাবে $\frac12 I_{\mathrm{cm}}\omega^2$। সব মিলিয়ে,

এই সমীকরণের প্রথম অংশ ভরকেন্দ্রের সরণগত গতিশক্তি; দ্বিতীয় অংশ ভরকেন্দ্রের চারপাশে ঘোরার গতিশক্তি। বইয়ের চিত্র ১২-৭-এ ভরকেন্দ্র এবং একটি কণার অবস্থান ভেক্টরবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর দেখানো হয়েছে।

পিছলে না গিয়ে গড়িয়ে চলা (Rolling Without Slipping)

একটা চাকা মাটির উপর গড়ানোর সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড যদি পিছলে না যায়, তাহলে চাকার ভরকেন্দ্রের বেগ আর কৌণিক বেগের মধ্যে সম্পর্ক থাকে,

এবার এই সম্পর্ক আগের গতিশক্তির সমীকরণে বসালে,

অথবা,

তুমি হয়তো ভাবছো, গড়িয়ে চলার জন্য তো মাটি আর চাকার মধ্যে ঘর্ষণ দরকার। তাহলে যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণ করব কীভাবে? ব্যাপারটা হচ্ছে, আদর্শভাবে পিছলন ছাড়া গড়িয়ে চলার সময় স্থির মাটির সঙ্গে চাকার যে বিন্দুটি মুহূর্তের জন্য স্পর্শে থাকে, সেই বিন্দুটি স্থির থাকে। তাই ঐ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল স্থিতি-ঘর্ষণ চাকার উপর কাজ করে না। তবে চাকা যদি পিছলায়, তাহলে ঘর্ষণ কাজ করতে পারে এবং যান্ত্রিক শক্তির হিসাব বদলে যাবে।

উদাহরণ ১২-৮। ঢালু তলে একটি সিলিন্ডার

ধরো, $M$ ভরের নিরেট সিলিন্ডারটি $\theta$ কোণে হেলানো একটি ঢালু তলের উপর দিয়ে পিছলে না গিয়ে গড়িয়ে নামছে। ঢালু তলবিস্তারিত জানতে দেখো:৫.২ টান ও অভিলম্ব বল বরাবর পথের দৈর্ঘ্যবিস্তারিত জানতে দেখো:দৈর্ঘ্যের মানদণ্ড $L$, তাই উচ্চতার পার্থক্য $h=L\sin\theta$। সিলিন্ডারটি শুরুতে স্থির ছিল।

শুরুর যান্ত্রিক শক্তি $E_i=MgL\sin\theta$। নিচে এসে,

নিরেট সিলিন্ডারের জন্য $I_{\mathrm{cm}}=\frac12 MR^2$। তাহলে,

অতএব,

একই উচ্চতা থেকে একটা ব্লক ঘর্ষণহীনভাবে পিছলে নামলে তার বেগ হবে $\sqrt{2gh}$। কিন্তু সিলিন্ডারের বেগ কম, কারণ তার শক্তির একটা অংশ ঘূর্ণন গতিশক্তি হিসেবে আছে।

উদাহরণ ১২-৯। সুতো খুলতে খুলতে ইয়ো-ইয়ো নিচে নামছে

একটা ইয়ো-ইয়োকে সুতো ধরে ছেড়ে দিলে সেটা নিচে নামে, আবার নিজের অক্ষের চারদিকেও ঘুরতে থাকে। সুতো যেখানে ইয়ো-ইয়োর অক্ষকে স্পর্শ করে সেখানে পিছলন হয় না। অক্ষের ব্যাসার্ধ $R_0$, ইয়ো-ইয়োর ভর $M$ এবং ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে ঘূর্ণন জড়তা $I_{\mathrm{cm}}$। নিচে নামার আগে ভরকেন্দ্রের বেগের মান $v_0$, আর $y$ দূরত্ব নিচে নামার পরে কৌণিক বেগ $\omega$।

যেহেতু $v=\omega R_0$, তাই যান্ত্রিক শক্তির পরিবর্তন লিখতে পারি,

এখন $\omega$-এর মান বের করলে,

$\omega^2-\omega_0^2=2\alpha\theta$ সম্পর্ক ব্যবহার করলে আগের ঘূর্ণন অধ্যায়ে পাওয়া কৌণিক ত্বরণের ফলও পাওয়া যায়।