৯.৫ ঘূর্ণনের জন্য নিউটনের সূত্রের সাম্যাবস্থা প্রয়োগ (Equilibrium Applications of Newton’s Laws for Rotation)

একটা মই দেয়ালে ঠেস দিয়ে রাখলে সেটা পড়ে যায় না কেন?

ধরো, দেয়ালে একটা লম্বা মই ঠেস দিয়ে রেখেছো। তুমি মইয়ের উপর উঠলে, ওজনবিস্তারিত জানতে দেখো:ওজন, ভর ও ওজনহীনতা নিচের দিকে কাজ করছে। দেয়াল মইকে ঠেলছে, মেঝেও ঠেলছে, আর মেঝের সঙ্গে ঘর্ষণ আছে। এতগুলো বল কাজ করার পরও মইটা স্থির আছে কীভাবে?

কারণ স্থির থাকা মানে শুধু বলের যোগফল শূন্য হওয়া নয়। বস্তুটাকে ঘোরাতে চাওয়া টর্কগুলোর যোগফলও শূন্য হতে হবে।

একই মানের দুটি বিপরীতমুখী বল কোনো বস্তুকে বিপরীত দিক থেকে ঠেললে মোট বল শূন্য হতে পারে। কিন্তু বল দুটি যদি একই সরলরেখায় না থাকে, তাহলে বস্তুটি ঘুরতে পারে। অর্থাৎ $\sum\vec F=0$ হলেই $\sum\vec\tau=0$ হবে, এমন নয়।

সাম্যাবস্থার দুটি শর্ত

একটি দৃঢ় বস্তুর অনুবাদী ও ঘূর্ণন ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর দুটোই শূন্য রাখতে চাইলে,

প্রথম শর্তে ভরকেন্দ্রের ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:৭.২ দুই-কণা ব্যবস্থা শূন্য, দ্বিতীয় শর্তে কৌণিক ত্বরণ শূন্য। বস্তুটি স্থির থাকতে পারে, আবার ধ্রুব বেগেও চলতে বা ঘুরতে পারে; কেবল ত্বরণ থাকবে না। বইয়ে মূলত স্থির বস্তুর ঘটনাগুলো দেখানো হয়েছে।

সব বল যদি $xy$-সমতলে থাকে, আমাদের দরকার মাত্র তিনটি সমীকরণ:

এই তিনটি সমীকরণ থেকেই অনেক বাস্তব অঙ্ক সমাধান হয়ে যায়।

টর্ক কোন বিন্দুর সাপেক্ষে নেবে?

ধরো, বিমের এক প্রান্তে একটি কবজা আছে। কবজার বল আমরা জানি না। যদি কবজাটাকেই টর্কের অক্ষ ধরি, কবজার বলের বলবাহুবিস্তারিত জানতে দেখো:৯.১ টর্ক শূন্য হয়ে যায়। ফলে অজানা বলটিকে টর্কবিস্তারিত জানতে দেখো:৯.১ টর্ক সমীকরণে আর আনতেই হয় না!

এটা কোনো চালাকি নয়; সাম্যাবস্থায় $\sum\vec F=0$ থাকায় টর্কের যোগফল শূন্য হওয়ার শর্তটি যেকোনো নির্বাচিত বিন্দুর সাপেক্ষেই সত্য।

কারণ, $O$ থেকে $P$ বিন্দুতে অক্ষ সরালে,

এখানে $\sum\vec F=0$ হলে দুই জায়গায় মোট টর্ক সমান। তাই যেখানে সবচেয়ে বেশি অজানা বলের বলবাহু শূন্য হয়, সেই বিন্দু বেছে নাও।

অঙ্ক করার ছোট্ট রুটিন

1. System ঠিক করো-কোন কোন বস্তু নিয়ে হিসাব করবে?
2. মুক্ত-বস্তু চিত্র (free-body diagram) আঁকো-শুধু বাইরের বল দেখাও, কোথায় প্রয়োগ হচ্ছে সেটাও চিহ্নিত করো।
3. $x,y$ অক্ষ ও ধনাত্মক দিক বেছে $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$ লেখো।
4. সুবিধাজনক পিভট বেছে $\sum\tau_z=0$ লেখো; ঘড়ির কাঁটার বিপরীত টর্ক ধনাত্মক ধরতে পারো।
5. সমীকরণগুলো সমাধান করো, শেষে চিহ্ন ও এককবিস্তারিত জানতে দেখো:ভৌত রাশি, মানদণ্ড এবং একক মিলিয়ে দেখো।

এবার গল্পের মধ্যে এই নিয়মগুলো কাজে লাগাই।

উদাহরণ ৯.৬: বিমের দুই প্রান্তের ওজন মাপার যন্ত্র

একটা সমসত্ত্ব বিমের ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা $m=1.8\ \mathrm{kg}$; দুই প্রান্তে দুটি ডিজিটাল স্কেল আছে। বিমের বাঁ প্রান্ত থেকে $L/4$ দূরে $M=2.7\ \mathrm{kg}$ ভরের ব্লক রাখা হলো। দুই স্কেল কী দেখাবে? (মূল বইয়ের চিত্র ৯-২২)।

বাঁদিকের স্কেলের ঊর্ধ্বমুখী বল $F_l$, ডানদিকেরটা $F_r$। বিমের ওজন $mg$ কাজ করে মাঝখানে $L/2$ দূরে; ব্লকের ওজন $Mg$ কাজ করে $L/4$ দূরে।

প্রথম ধাপ: উল্লম্ব বলের সমতা

দ্বিতীয় ধাপ: বাঁ প্রান্তের সাপেক্ষে টর্ক

এই অক্ষের সাপেক্ষে $F_l$-এর টর্ক শূন্য। তাই,

$L$ কেটে যায়! ফলে,

এবার প্রথম সমীকরণ থেকে,

ব্লক বাঁদিকে বেশি কাছে, তাই বাঁদিকের স্কেল বেশি দেখাবে। ফলটা বাস্তববোধের সঙ্গেও মিলে গেল।

উদাহরণ ৯.৭: মইয়ের উপর অগ্নিনির্বাপক কর্মী

$L=12\ \mathrm m$ দৈর্ঘ্যের মই একটি দেয়ালে ঠেস দেওয়া। মইয়ের মাথা মাটি থেকে $h=9.3\ \mathrm m$ উঁচুতে। মইয়ের ভর $m=45\ \mathrm{kg}$, তার ভরকেন্দ্র নিচ থেকে মইয়ের এক-তৃতীয়াংশে। $M=72\ \mathrm{kg}$ ভরের একজন কর্মী মইয়ের অর্ধেক উঠেছেন। দেয়াল ঘর্ষণহীন, কিন্তু মেঝেতে ঘর্ষণ আছে। দেয়াল আর মেঝে মইয়ের উপর কী বল দেয়? (মূল বইয়ের চিত্র ৯-২৩)।

প্রথমে দেয়াল থেকে মইয়ের পাদদেশের অনুভূমিক দূরত্ব,

দেয়াল মইকে অনুভূমিক $F_w$ বল দেয়; মেঝে দেয় ঊর্ধ্বমুখী অভিলম্ব $N$ এবং অনুভূমিক ঘর্ষণ $f$।

বলের সমতা:

সুতরাং,

টর্কের সমতা: মই যেখানে মাটিতে ঠেকেছে, সেই বিন্দুকে পিভট ধরি। তাহলে $N$ ও $f$-এর টর্ক শূন্য। বাকি,

এখান থেকে,

অতএব $f=F_w\approx410\ \mathrm N$। অর্থাৎ মেঝের ঘর্ষণ না থাকলে মইয়ের পা পিছলে যেত।

উদাহরণ ৯.৮: দেয়ালে কবজায় লাগানো বিম আর তার

এবার একটু কঠিন দৃশ্য। $L=3.3\ \mathrm m$, $m=8.5\ \mathrm{kg}$ ভরের একটি সমসত্ত্ব বিমের এক প্রান্ত দেয়ালে কবজায় লাগানো। বিমটি অনুভূমিকের সঙ্গে $\theta=30^\circ$ কোণ করে আছে। অন্য প্রান্তটি দেয়ালে কবজা থেকে $d=2.1\ \mathrm m$ উঁচু একটি বিন্দুর সঙ্গে তার দিয়ে যুক্ত। বিমের মাথায় $M=56\ \mathrm{kg}$ ভরের একটা বস্তু ঝুলছে। তারের টান ও কবজার প্রতিক্রিয়া কত? (মূল বইয়ের চিত্র ৯-২৪)।

তারের টানকে $\vec T$ বলি; এর অনুভূমিক উপাংশের মান $T_h$, উল্লম্ব উপাংশ $T_v$। কবজার বলের উপাংশ $F_h,F_v$।

বলের সমতা,

টর্ক বিমের উপরের প্রান্তের সাপেক্ষে নিলে তারের টান আর ঝুলন্ত বস্তুর ওজনের টর্ক শূন্য হয়। তখন,

তারের জ্যামিতি থেকে উল্লম্ব-অনুভূমিক উপাংশের অনুপাত,

এই চারটি সমীকরণ একসঙ্গে সমাধান করলে বইয়ের ফল,

তাই তারের মোট টান,

আর কবজার প্রতিক্রিয়ার মান,

কবজার বল অনুভূমিকের সঙ্গে প্রায় $\tan^{-1}(506/804)\approx32.2^\circ$ কোণ করে। মজার ব্যাপার, তার আর কবজার বল দুটোই বিম ও ঝুলন্ত বস্তুর মোট ওজনের চেয়ে বড় হতে পারে। কারণ ভারসাম্য রাখতে বলের সঙ্গে বলবাহু-ও ঠিকভাবে মেলাতে হয়।

সব অজানা বল কি তিনটি সমীকরণ দিয়েই বের করা যাবে?

সবসময় নয়। একই সমতলে কেবল তিনটি স্বাধীন সাম্য-সমীকরণ আছে। কিন্তু চারটি অজানা প্রতিক্রিয়া থাকলে আরেকটি স্বাধীন ভৌত সম্পর্ক প্রয়োজন। যেমন তার কেবল নিজের দৈর্ঘ্যবিস্তারিত জানতে দেখো:দৈর্ঘ্যের মানদণ্ড বরাবর টান নিতে পারে। বাস্তব কাঠামো সামান্য বিকৃত হয়; প্রয়োজনে স্থিতিস্থাপকতার সূত্রও কাজে লাগে।

আরেকটি টর্কের অক্ষ বেছে নিলেই চতুর্থ স্বাধীন সমীকরণ তৈরি হয় না-কারণ তার তথ্য আগের তিনটি সমীকরণেই নিহিত।

মনে রেখো

কঠিন সাম্যাবস্থার অঙ্কে প্রথম কাজ মুক্ত-বস্তু চিত্র। তারপর এমন পিভট বেছে নাও, যেখানে অজানা বলগুলোর টর্ক কম বা শূন্য হয়। আর উত্তর নেগেটিভ এলে ভয় পেও না-সম্ভবত তুমি যে দিক ধনাত্মক ধরেছিলে, বলটি আসলে তার উল্টো দিকে কাজ করছে।