২.৫: সমত্বরণে গতি

Motion with Constant Acceleration

মনেকরো, কাটুশ একটা সোজা রাস্তা দিয়ে স্পেসশীপ চালাতে শুরু করলো। প্রথমে স্পেসশীপটা একদম স্থির ছিল। তারপর প্রতি সেকেন্ডে এর বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর সমান পরিমাণে বাড়তে থাকলো। ধরো, প্রথম সেকেন্ড শেষে বেগ হলো $2\,\mathrm{m/s}$, দ্বিতীয় সেকেন্ডে $4\,\mathrm{m/s}$, তৃতীয় সেকেন্ডে $6\,\mathrm{m/s}$।

একটু খেয়াল করো, প্রতি সেকেন্ডে বেগ $2\,\mathrm{m/s}$ করে বাড়ছে। অর্থাৎ ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর সবসময় একই,

এই ধরনের গতিকে বলে সমত্বরণে গতি (Motion with Constant Acceleration)।

পৃথিবীর কাছে বাতাসের বাধাবিস্তারিত জানতে দেখো:বাতাসের বাধা ও প্রক্ষেপণের গতি উপেক্ষা করে একটা পাথর পড়লে প্রায় একই রকম ত্বরণ পাওয়া যায়। আবার কোনো গাড়ি সমান হারে ব্রেক করে গতি কমালেও নির্দিষ্ট সময়ের জন্য সমত্বরণের নিয়ম ব্যবহার করা যায়। তবে দোলকের গতি, বাতাসের বাধার মধ্যে বৃষ্টির ফোঁটার পতন কিংবা উৎক্ষেপণের পুরো সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড একটি রকেটের গতি সাধারণত এই সরল নিয়মে চলে না।

প্রথম সমীকরণ: নির্দিষ্ট সময় পরে বেগ কত?

এবার ধরি, বস্তুটি $x$-অক্ষ বরাবর চলছে। $t=0$ সময়ে তার বেগ $v_{0x}$, আর স্থির ত্বরণ $a_x$। আমাদের জানতে হবে $t$ সময় পরে বেগ $v_x$ কত হবে।

আমরা জানি,

যেহেতু ত্বরণ ধ্রুবক, তাই এই সময়ের গড় ত্বরণ আর তাৎক্ষণিক ত্বরণ একই। অর্থাৎ,

এবার একটু সাজিয়ে লিখলেই পাই,

এটাই সমত্বরণে গতির প্রথম গুরুত্বপূর্ণ সমীকরণ। এর মানে, শেষ বেগ = শুরুর বেগ + ত্বরণের কারণে বেগের পরিবর্তন।

ধরো, $v_{0x}=3\,\mathrm{m/s}$ আর $a_x=2\,\mathrm{m/s^2}$। পাঁচ সেকেন্ড পরে,

এখানে $a_x$ ঋণাত্মকও হতে পারে। যেমন সামনে চলা গাড়ি ব্রেক করলে বেগ সময়ের সাথে কমতে পারে।

দ্বিতীয় সমীকরণ: কতদূর গেল?

শুধু বেগ জানলেই তো হবে না। স্পেসশীপটা কতদূর গেল, সেটাও বের করতে হবে।

সমত্বরণের ক্ষেত্রে $v$–$t$ গ্রাফ একটা সরলরেখা হয়। তাই শুরুর বেগ $v_{0x}$ আর শেষের বেগ $v_x$ হলে ওই সময়ের গড় বেগ হবে,

এই সূত্রটা কেবল ত্বরণ ধ্রুবক থাকলে সরাসরি ব্যবহার করতে পারি।

আমরা জানি, গড় বেগ হচ্ছে সরণকে সময় দিয়ে ভাগ করলে যা পাওয়া যায়। তাই,

এখন প্রথম সমীকরণ থেকে $v_x=v_{0x}+a_xt$ বসালে,

অর্থাৎ,

এই সমীকরণ দিয়ে যেকোনো সময়ে বস্তুর অবস্থান বের করতে পারবো, যদি শুরুর অবস্থান, শুরুর বেগ আর ত্বরণ জানা থাকে।

সমত্বরণ

কোনো বস্তুর বেগ সমান সমান সময়ের ব্যবধানে সমান পরিমাণে পরিবর্তিত হলে, অর্থাৎ ত্বরণ ধ্রুবক থাকলে, সেই গতিকে সমত্বরণে গতি বলা হয়।

বইয়ের চিত্র ২-২৩-এ সমত্বরণের তিনটি গ্রাফ দেখানো হয়েছে। $a$–$t$ গ্রাফ অনুভূমিক রেখা, $v$–$t$ গ্রাফ সমান ঢালের সরলরেখা, আর $x$–$t$ গ্রাফ সাধারণত একটা প্যারাবোলা।

সমীকরণ ব্যবহারের আগে যেটা ঠিক করবে

ধরো, কাটুশ সামনে চলা শুরু করলো, কিন্তু আমরা ইচ্ছা করলে সামনের দিককে $+x$ অথবা $-x$-যেকোনোটা ধরতে পারি। দুটো পদ্ধতিতেই ঠিক ফল পাওয়া যাবে, যদি শুরু থেকে শেষ পর্যন্ত একই নিয়ম মেনে চলি।

তাই অংক করার সময় প্রথমে ঠিক করবে কোথায় কেন্দ্রবিন্দু এবং কোন দিক ধনাত্মক। তারপর $x_0$, $v_{0x}$ আর $a_x$-এর চিহ্ন ঠিক করে বসাবে। মাঝপথে হঠাৎ দিক বদলে দিলে বিপদ!

সতর্কতা

$v_x=v_{0x}+a_xt$ এবং $x=x_0+v_{0x}t+\tfrac12a_xt^2$-এই দুটি সমীকরণ এই রূপে ব্যবহার করবে ত্বরণ ধ্রুবক থাকলে। ত্বরণ সময়ের সাথে বদলালে সাধারণভাবে ডিফারেনশিয়াল বা ইন্টেগ্রাল ক্যালকুলাসের সাহায্য নিতে হবে।

ক্যালকুলাস দিয়ে একই সূত্র বের করা (ঐচ্ছিক)

যদি ডেরিভেটিভ আর ইন্টেগ্রেশন সম্পর্কে ধারণা থাকে, তাহলে দেখো কত সহজে একই সমীকরণ বের করা যায়।

ত্বরণের সংজ্ঞা থেকে,

অর্থাৎ,

দুই পাশে ইন্টেগ্রেশন করলে,

ত্বরণ ধ্রুবক বলে $a_x$-কে ইন্টেগ্রালের বাইরে আনতে পারি। তাই,

এখন $t=0$ সময়ে বেগ $v_{0x}$। সুতরাং $C=v_{0x}$, অর্থাৎ,

এই বেগের সমীকরণ থেকে অবস্থান বের করবো। যেহেতু,

তাই,

শুরুতে $t=0$ সময়ে অবস্থান $x_0$ বলে $C'=x_0$। ফলে,

অর্থাৎ আগের সূত্রটাই ফিরে পেলাম। যদি এখনও ইন্টেগ্রেশন শেখা না হয়ে থাকে, কোনো সমস্যা নেই। আপাতত আগের সহজ ব্যাখ্যাটা বুঝলেই চলবে।

উদাহরণ ২-৭: কণা ত্বরকের নলের ভেতরে

মনেকরো, একটা Alpha Particle কণা ত্বরকের একটি সোজা, বায়ুশূন্য নলে ঢুকেছে। নলটির দৈর্ঘ্যবিস্তারিত জানতে দেখো:দৈর্ঘ্যের মানদণ্ড $2.0\,\mathrm{m}$। ঢোকার সময় কণাটির বেগ ছিল $9.5\times10^5\,\mathrm{m/s}$। আর নল থেকে বের হতে সময় লেগেছে $8.0\times10^{-7}\,\mathrm{s}$।

ধরে নাও, নলের ভেতরে ত্বরণ ধ্রুবক। তাহলে কণাটির ত্বরণ এবং বের হওয়ার সময় বেগ কত?

প্রথমে নলের শুরুকে $x_0=0$ এবং সামনের দিকে $+x$ ধরলাম। আমরা জানি,

এখান থেকে,

মান বসালে,

সংখ্যাটা দেখে ভয় পেলে নাকি? মানুষের গাড়িতে এমন ত্বরণ হওয়ার কথা নয়, কিন্তু খুব ক্ষুদ্র কণার জন্য কণা ত্বরকে অত্যন্ত বড় ত্বরণ পাওয়া সম্ভব।

এবার বের হওয়ার সময়ের বেগ,

ফলাফল

ত্বরণ $\approx3.9\times10^{12}\,\mathrm{m/s^2}$ এবং নলের শেষে বেগ $\approx4.1\times10^6\,\mathrm{m/s}$।

উদাহরণ ২-৮: গাড়িতে ব্রেক করলে কতদূর যায়?

এবার ধরো, তুমি গাড়ি নিয়ে যাচ্ছো $23.6\,\mathrm{m/s}$ বেগে। ব্রেক করে $105\,\mathrm{m}$ যাওয়ার পর বেগ নেমে এলো $12.5\,\mathrm{m/s}$-এ। ত্বরণ পুরো সময় একই। জানতে চাই, এই পরিবর্তনে কতক্ষণ লেগেছে, ত্বরণ কত এবং একই হারে ব্রেক চালিয়ে গেলে পুরোপুরি থামতে আর কত সময় ও দূরত্ব লাগবে।

প্রথমে সময়। সমত্বরণ বলে গড় বেগ,

তাই,

এবার ত্বরণ।

এখানে মাইনাস চিহ্নটা স্বাভাবিক। গাড়িটি ধনাত্মক দিকে চলছে, কিন্তু ব্রেক করার ফলে বেগ কমছে।

সবশেষে সম্পূর্ণ থামতে কত সময়? শুরুতে বেগ $23.6\,\mathrm{m/s}$ আর শেষে $0$। তাই ব্রেক শুরুর পর মোট সময়,

অর্থাৎ প্রথম $105\,\mathrm{m}$ যাওয়ার পর আরও প্রায়,

লাগবে। ব্রেক শুরুর পর মোট দূরত্ব,

তাহলে প্রথম $105\,\mathrm{m}$-এর পর বাড়তি দূরত্ব,

একটু খেয়াল করো, ব্রেক চাপার পরে বেগ কমলেও গাড়ি সঙ্গে সঙ্গে থেমে যায় না। এ কারণেই নিরাপদ দূরত্ব বজায় রাখা খুব গুরুত্বপূর্ণ।

এতক্ষণ আমরা সাধারণ সমত্বরণ দেখলাম। এবার প্রকৃতির সবচেয়ে পরিচিত একটা সমত্বরণের ঘটনা-মহাকর্ষের কারণে মুক্তভাবে পড়ে যাওয়া-নিয়ে আলোচনা করবো।