⚛ Science in Minutes

১.৭: মাত্রিক বিশ্লেষণ

Dimensional Analysis

মনেকরো, তুমি একটা অংক কষছো। হঠাৎ লিখে ফেললে,

দূরত্ব=বেগ+সময়\text{দূরত্ব}=\text{বেগ}+\text{সময়}

এখন একটু চিন্তা করে দেখো, এই সমীকরণটা কি ঠিক হতে পারে? বেগের একক মিটার/সেকেন্ড, সময়ের একক সেকেন্ড। মিটার/সেকেন্ডের সাথে সেকেন্ড যোগ করলে কি কখনো দূরত্ব পাওয়া যায়?

অবশ্যই না। এই যে একক কিংবা রাশির মাত্রা (Dimension) দেখে সমীকরণ ঠিক আছে কি না পরীক্ষা করা, এটাকেই বলা হয় মাত্রিক বিশ্লেষণ (Dimensional Analysis)।

এখানে একটা বিষয় মনে রাখতে হবে। একক আর মাত্রা কিন্তু পুরোপুরি একই ব্যাপার নয়। ধরো, তোমার ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল 100 ft2100\,\mathrm{ft^2}। তুমি চাইলে সেটাকে বর্গমিটারে কিংবা একরে প্রকাশ করতে পারবে। একক বদলাবে, কিন্তু রাশিটা সবসময়ই ক্ষেত্রফল থাকবে। শব্দ শোষণের sabin বা পারমাণবিক বিক্রিয়ার barn নামের এককগুলোর সঙ্গেও ক্ষেত্রফলের মাত্রা জড়িত।

মৌলিক মাত্রা কী?

যান্ত্রিক রাশির মাত্রা বোঝাতে আমরা সাধারণত তিনটি মৌলিক প্রতীক ব্যবহার করি।

রাশিমাত্রার প্রতীক
ভরMM
দৈর্ঘ্যLL
সময়TT

কোনো রাশির মাত্রা বোঝাতে রাশিটির প্রতীকের চারপাশে বর্গাকার বন্ধনী ব্যবহার করবো। যেমন অবস্থান xx হলে,

[x]=L[x]=L

আর সময় tt হলে,

[t]=T[t]=T

এবার ধরো, একটি বস্তু tt সময়ে xx দূরত্ব অতিক্রম করেছে। তার গড় দ্রুতি হিসাব করার জন্য দূরত্বকে সময় দিয়ে ভাগ করি। সুতরাং দ্রুতি বা বেগের মাত্রা,

[v]=[x][t]=LT=LT−1[v]=\frac{[x]}{[t]}=\frac{L}{T}=LT^{-1}

একইভাবে ত্বরণ হচ্ছে একক সময়ে বেগের পরিবর্তন। তাই,

[a]=LT−1T=LT−2[a]=\frac{LT^{-1}}{T}=LT^{-2}

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র F=maF=ma থেকে বলের মাত্রা,

[F]=M×LT−2=MLT−2[F]=M\times LT^{-2}=MLT^{-2}
মাত্রিক সমতা

একটি ভৌত সমীকরণের বাম পাশ ও ডান পাশের মাত্রা একই হতে হবে। একে Dimensional Consistency বলা হয়।

এবার একটা ছোট উদাহরণ দেখি। স্থির অবস্থা থেকে সমত্বরণে চলা কোনো বস্তুর tt সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব,

x=12at2x=\frac12at^2

ডানপাশের মাত্রা হবে,

[at2]=LT−2×T2=L[at^2]=LT^{-2}\times T^2=L

অর্থাৎ বামপাশের দৈর্ঘ্যের মাত্রার সাথে মিলে যাচ্ছে। কিন্তু ভুল করে যদি x=12atx=\frac12at লিখতে, তাহলে ডানপাশে মাত্রা হতো LT−1LT^{-1}-দৈর্ঘ্যের মাত্রা নয়। তাই সমীকরণটা ভুল, সেটা হিসাব শেষ করার আগেই বুঝে ফেলতে পারবে।

একটা গুরুত্বপূর্ণ কথা

মাত্রা না মিললে সমীকরণ অবশ্যই ভুল। তবে মাত্রা মিললেই যে সমীকরণ পুরোপুরি ঠিক, এমন নয়। 12\tfrac12 কিংবা 2π2\pi-এর মতো মাত্রাহীন সংখ্যার মান মাত্রিক বিশ্লেষণ দিয়ে বের করা যায় না।

উদাহরণ ১-৪: কেন্দ্রাভিমুখী বলের সূত্র

মনেকরো, তুমি একটা বলকে দড়িতে বেঁধে মাথার ওপর দিয়ে বৃত্তাকারে ঘোরাচ্ছো। বলটা ঘুরছে, কিন্তু সে তো সোজা পথে চলে যেতে চাইবে। তাকে বৃত্তাকার পথে রাখতে কেন্দ্রের দিকে একটা বল কাজ করতে হয়। সেই বলটাকেই আমরা বলি কেন্দ্রাভিমুখী বল (Centripetal Force)।

এবার ধরো, কেন্দ্রাভিমুখী বলের সূত্র তোমার মনে নেই। কিন্তু তুমি জানো বলটা ঘূর্ণায়মান বস্তুর ভর mm, দ্রুতি vv আর বৃত্তাকার পথের ব্যাসার্ধ rr-এর ওপর নির্ভর করে। তাহলে এই তিনটি রাশি দিয়ে সূত্রের গঠন বের করার চেষ্টা করতে পারি।

মনেকরো,

F∝mavbrcF\propto m^a v^b r^c

এখানে aa, bb আর cc কত হবে সেটা এখনও জানি না। মাত্রা বিশ্লেষণ করে বের করবো। আমরা জানি,

[F]=MLT−2,[m]=M,[v]=LT−1,[r]=L[F]=MLT^{-2},\quad[m]=M,\quad[v]=LT^{-1},\quad[r]=L

এবার উপরের সমীকরণের দুই পাশে মাত্রা বসিয়ে পাই,

MLT−2=Ma(LT−1)bLcMLT^{-2}=M^a(LT^{-1})^bL^c

ঘাতগুলো একসাথে করলে,

MLT−2=MaLb+cT−bMLT^{-2}=M^aL^{b+c}T^{-b}

দুই পাশে MM-এর ঘাত তুলনা করলে পাই a=1a=1। একইভাবে TT-এর ঘাত থেকে,

−b=−2⇒b=2-b=-2\quad\Rightarrow\quad b=2

আর LL-এর ঘাত থেকে,

b+c=1⇒c=−1b+c=1\quad\Rightarrow\quad c=-1

সুতরাং a=1a=1, b=2b=2 আর c=−1c=-1 বসিয়ে পাই,

F∝m1v2r−1F\propto m^1v^2r^{-1}

অর্থাৎ,

F∝mv2r\boxed{F\propto\frac{mv^2}{r}}

নিউটনের সূত্র আর বৃত্তাকার গতির জ্যামিতি ব্যবহার করে প্রকৃত সম্পর্ক পাওয়া যায়,

F=mv2rF=\frac{mv^2}{r}

দেখলে? শুধু মাত্রা বিশ্লেষণ করেই প্রায় পুরো সূত্রটা বের করে ফেললে! এখানে সমানুপাতিক ধ্রুবকটির মান 11 হওয়াটা কাকতালীয়। এটা যদি 22 বা π\pi হতো, তাহলে শুধু মাত্রা বিশ্লেষণ করে সংখ্যাটা জানতে পারতে না।

একটু ভেবে দেখো

একই ভর ও ব্যাসার্ধ রেখে বলটাকে দ্বিগুণ দ্রুতি দিয়ে ঘোরালে কেন্দ্রাভিমুখী বল কত গুণ হবে? F∝v2F\propto v^2, তাই বল চার গুণ হবে।

উদাহরণ ১-৫: প্ল্যাঙ্ক সময় কত ছোট?

এবার একটা বেশ মজার জায়গায় যাই। মনেকরো, তুমি মহাবিশ্বের জন্মের ঠিক পরের মুহূর্তগুলোর কথা জানতে চাও। এত ছোট সময়ের কথা বলতে গিয়ে পদার্থবিদরা যে বিশেষ সময়ের পরিসর ব্যবহার করেন, তার নাম প্ল্যাঙ্ক সময় (Planck Time)।

মূল বইয়ের উদাহরণে এই সময় বের করার জন্য তিনটি ধ্রুবক ব্যবহার করা হয়েছে-আলোর বেগ cc, নিউটনের মহাকর্ষীয় ধ্রুবক GG এবং প্ল্যাঙ্ক ধ্রুবক hh। বইয়ে দেওয়া আনুমানিক মানগুলো হলো,

c=3.00×108 m/sG=6.67×10−11 m3/(kg s2)h=6.63×10−34 kg m2/s\begin{aligned} c&=3.00\times10^8\,\mathrm{m/s}\\ G&=6.67\times10^{-11}\,\mathrm{m^3/(kg\,s^2)}\\ h&=6.63\times10^{-34}\,\mathrm{kg\,m^2/s} \end{aligned}

এই ধ্রুবকগুলোর মাত্রা হচ্ছে,

[c]=LT−1[G]=L3T−2M−1[h]=ML2T−1\begin{aligned} [c]&=LT^{-1}\\ [G]&=L^3T^{-2}M^{-1}\\ [h]&=ML^2T^{-1} \end{aligned}

এবার মনেকরো, আমরা এমন একটা সময়ের রাশি তৈরি করতে চাই, যা এই তিনটি ধ্রুবকের ওপর নির্ভর করছে। তাহলে লিখতে পারি,

tP∝ciGjhkt_P\propto c^iG^jh^k

এখানে ii, jj, kk-এর মান বের করতে পারলেই কাজ অনেকটা হয়ে যাবে। দুই পাশে মাত্রা বসাই,

T=(LT−1)i(L3T−2M−1)j(ML2T−1)kT=(LT^{-1})^i(L^3T^{-2}M^{-1})^j(ML^2T^{-1})^k

এবার একই মাত্রার ঘাতগুলো একসাথে করি,

T=Li+3j+2kT−i−2j−kM−j+kT=L^{i+3j+2k}T^{-i-2j-k}M^{-j+k}

বামপাশে শুধু T1T^1 রয়েছে। সুতরাং ডানপাশের দৈর্ঘ্য ও ভরের ঘাত শূন্য আর সময়ের ঘাত এক হতে হবে। অর্থাৎ,

i+3j+2k=0−i−2j−k=1−j+k=0\begin{aligned} i+3j+2k&=0\\ -i-2j-k&=1\\ -j+k&=0 \end{aligned}

এই তিনটি সমীকরণ সমাধান করলে পাই,

i=−52,j=12,k=12i=-\frac52,\qquad j=\frac12,\qquad k=\frac12

সবগুলো মান বসিয়ে পাই,

tP∝c−5/2G1/2h1/2t_P\propto c^{-5/2}G^{1/2}h^{1/2}

অর্থাৎ,

tP∝Ghc5\boxed{t_P\propto\sqrt{\frac{Gh}{c^5}}}

এবার বইয়ের দেওয়া সংখ্যাগুলো বসিয়ে হিসাব করলে,

(6.67×10−11)(6.63×10−34)(3.00×108)5≈1.35×10−43 s\sqrt{\frac{(6.67\times10^{-11})(6.63\times10^{-34})}{(3.00\times10^8)^5}} \approx1.35\times10^{-43}\,\mathrm{s}

এই সংখ্যাটা কত ছোট, সেটা কল্পনা করাও কঠিন! তবে একটা বিষয় খেয়াল করো। আমরা এখন পর্যন্ত শুধু মাত্রা থেকে সূত্রের গঠন বের করেছি, সমানুপাতিক ধ্রুবকের মান বের করিনি।

প্রচলিত প্ল্যাঙ্ক সময়ের সংজ্ঞায় hh-এর বদলে Reduced Planck Constant, অর্থাৎ ℏ=h/(2π)\hbar=h/(2\pi) ব্যবহার করা হয়। ফলে,

tP=Gℏc5=Gh2πc5≈5.4×10−44 s\begin{aligned} t_P&=\sqrt{\frac{G\hbar}{c^5}}\\ &=\sqrt{\frac{Gh}{2\pi c^5}}\\ &\approx5.4\times10^{-44}\,\mathrm{s} \end{aligned}

এখানে 2π2\pi-এর মতো সংখ্যাগত গুণক মাত্রা বিশ্লেষণ থেকে পাওয়া যায় না। একই পদ্ধতিতে প্ল্যাঙ্ক দৈর্ঘ্য ও প্ল্যাঙ্ক ভর-এর গাণিতিক গঠনও বের করা যায়।

মূল বইয়ের হিসাব সম্পর্কে

বইয়ের শেষ পাতায় Gh/c5\sqrt{Gh/c^5}-এর মান 1.35×10−45 s1.35\times10^{-45}\,\mathrm{s} দেওয়া আছে। কিন্তু সেখানে ব্যবহৃত GG, hh ও cc-এর সংখ্যাগুলো বসিয়ে গণনা করলে 1.35×10−43 s1.35\times10^{-43}\,\mathrm{s} পাওয়া যায়। ওপরের হিসাবে গণনাগতভাবে সঠিক মানটি ব্যবহার করা হয়েছে; প্রচলিত প্ল্যাঙ্ক সময়ের মান আবার ℏ\hbar ব্যবহার করায় ভিন্ন।

শেষ কথা

এতক্ষণে নিশ্চয়ই বুঝতে পারছো, পদার্থবিজ্ঞানের হিসাব শুধু সংখ্যার খেলা নয়। সংখ্যার সাথে একক থাকতে হবে, পরিমাপের অনিশ্চয়তা মাথায় রাখতে হবে, আর সমীকরণে যে রাশিগুলো ব্যবহার করছো তাদের মাত্রাও ঠিক থাকতে হবে।

পরের পরিচ্ছেদগুলোতে যখন আমরা অবস্থান, সরণ, বেগ, ত্বরণ কিংবা বলের হিসাব করবো, তখন এই পরিমাপ, একক ও মাত্রা-র ধারণাগুলোই বারবার আমাদের কাজে লাগবে।