৮.২ ঘূর্ণন রাশিসমূহ (The Rotational Variables)

কতটা ঘুরল, কত দ্রুত ঘুরল?

ধরো, কাটুশ একটা ঘূর্ণায়মান চাকার গায়ে সাদা চক দিয়ে দাগ টানল। এক সেকেন্ড পরে দাগটা কোথায় গেল? দুই সেকেন্ড পরে কত দূর ঘুরল? চাকা আস্তে আস্তে দ্রুত ঘুরছে, নাকি থেমে যাচ্ছে?

এতদিন সরলরেখার গতিতে আমরা অবস্থান $x$, বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর $v$ আর ত্বরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর $a$ ব্যবহার করেছি। ঘূর্ণনের ক্ষেত্রেও অনুরূপ তিনটি রাশি দরকার: কৌণিক অবস্থান $\theta$, কৌণিক বেগ $\omega$, আর কৌণিক ত্বরণ $\alpha$।

কৌণিক অবস্থান এবং রেডিয়ান

ঘূর্ণন অক্ষ থেকে $r$ দূরে থাকা বিন্দু $P$ ঘুরে বৃত্তের চাপ বরাবর $s$ দৈর্ঘ্যবিস্তারিত জানতে দেখো:দৈর্ঘ্যের মানদণ্ড অতিক্রম করল। অক্ষ থেকে $P$-তে টানা রেখাটি যে কোণ ঘুরল, সেটা $\theta$ হলে-

এখানে কোণ মাপার এককবিস্তারিত জানতে দেখো:ভৌত রাশি, মানদণ্ড এবং একক রেডিয়ান (radian)। $s=r$ হলে কোণ $1\ \mathrm{rad}$। গোটা বৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্য $2\pi r$, কাজেই একবার পুরো পাক দিলে-

অর্থাৎ $1\ \mathrm{rad}\approx57.3^\circ$। মনে রেখো, $s=r\theta$ কিংবা $v=\omega r$-এর মতো রৈখিক এবং কৌণিক রাশি একসঙ্গে থাকা সূত্রে কোণ অবশ্যই রেডিয়ানে নিতে হবে।

কৌণিক সরণ ও কৌণিক বেগ

ধরো, প্রথম মুহূর্তে দাগটি $\theta_1$ কোণে আছে, পরে $\theta_2$ কোণে পৌঁছাল। তাহলে কৌণিক সরণবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর-

সময়বিস্তারিত জানতে দেখো:সময়ের মানদণ্ড লেগেছে $\Delta t=t_2-t_1$। গড় কৌণিক বেগ-

একটা নির্দিষ্ট মুহূর্তের কৌণিক বেগ চাইলে সময়ের ব্যবধান খুব ছোট করতে হবে:

আমরা এখানে ধনাত্মক ঘূর্ণনের দিক ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ধরব, যখন ঘূর্ণন অক্ষের ধনাত্মক দিক থেকে দেখি। সে ক্ষেত্রে $\omega>0$ মানে ওই দিকে ঘুরছে, আর $\omega<0$ মানে বিপরীত দিকে। কৌণিক বেগের মান (দিক বাদ দিয়ে) হলো কৌণিক দ্রুতিবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর (angular speed)। সাধারণ একক $\mathrm{rad/s}$, $\mathrm{rev/s}$ বা $\mathrm{rpm}$।

দৃঢ় বস্তুর সব বিন্দু একই সময়ে একই কোণ ঘোরে। তাই সব বিন্দুর কৌণিক বেগও একই-যদিও তাদের রৈখিক বেগ এক নাও হতে পারে।

কৌণিক ত্বরণ

এবার চাকা আরও জোরে ঘুরতে শুরু করল। কৌণিক বেগ কত দ্রুত বদলাচ্ছে, সেটার নাম কৌণিক ত্বরণ।

কৌণিক ত্বরণের একক $\mathrm{rad/s^2}$। $\omega$ ধনাত্মক অথচ $\alpha$ ঋণাত্মক হলে চাকা সাধারণত ধীরে ঘুরছে। তবে চাকার ঘূর্ণনের দিক উল্টো হলে শুধু $\alpha$-এর চিহ্ন দেখে গতি বাড়ছে না কমছে বলা যায় না-$\omega$-র চিহ্নও দেখতে হবে।

উদাহরণ ৮.১: ফ্যান থামার সময়

একটা ফ্যান শুরুতে $48.6\ \mathrm{rpm}$ কৌণিক দ্রুতিতে ঘুরছে। বিদ্যুৎ বন্ধের পর $32\ \mathrm{s}$-এ থেমে যায়। এই সময় মোট $8.8$ পাক ঘোরে। গড় কৌণিক বেগ ও গড় কৌণিক ত্বরণ কত?

(ক) গড় কৌণিক বেগ

(খ) গড় কৌণিক ত্বরণ

প্রথমে $48.6\ \mathrm{rev/min}=0.81\ \mathrm{rev/s}$। শেষে $\omega_f=0$। সুতরাং,

ঋণাত্মক চিহ্নটি বলছে, আমরা ধনাত্মক যেদিকে ধরেছি, তার তুলনায় কৌণিক বেগ কমছে।

উদাহরণ ৮.২: সময়ের সঙ্গে কৌণিক বেগ বদলালে

একটি চাকার কৌণিক বেগ সময়ের সঙ্গে বদলায় এভাবে-

যেখানে $A=6.2\ \mathrm{rad/s^2}$, $B=8.7\ \mathrm{rad/s^3}$, আর $t=0$-তে $\theta=0$।

(ক) $2.0\ \mathrm{s}$ পরে কৌণিক অবস্থান কত?

$\omega=d\theta/dt$, তাই ইন্টিগ্রেশন করলে,

এটি প্রায় $35.6/(2\pi)\approx5.7$ পাক।

(খ) $0.50\ \mathrm{s}$-এ কৌণিক ত্বরণ কত?

খেয়াল করো, কৌণিক অবস্থান পেতে ইন্টিগ্রেশন, কৌণিক ত্বরণ পেতে ডেরিভেটিভ-এটাও সরলরেখার গতিবিদ্যার মতোই।