১০.৩ কৌণিক ভরবেগ ও কৌণিক বেগ (Angular Momentum and Angular Velocity)

ঘূর্ণন অক্ষ যেদিকে, কৌণিক ভরবেগও কি সবসময় সেদিকেই?

ধরো, একটা লম্বা কাঠির এক প্রান্তে ছোট একটা ভারী বল লাগিয়ে সেটাকে উল্লম্ব অক্ষের চারপাশে ঘোরাচ্ছো। বলটা ঘুরছে সমতল একটা বৃত্তে। তুমি জানো, কৌণিক বেগের ভেক্টর $\vec\omega$ ঘূর্ণন অক্ষ বরাবর থাকে।

এখন যদি জিজ্ঞেস করি, বলটার কৌণিক ভরবেগ $\vec\ell$-ও কি ঠিক সেই অক্ষ বরাবর থাকবে?

অবাক হলেও উত্তর-সবসময় নয়। রৈখিক গতিতে $\vec p=m\vec v$, তাই ভরবেগ আর বেগবিস্তারিত জানতে দেখো:অবস্থান, সরণ, বেগ ও ত্বরণের ভেক্টর সমান্তরাল। ঘূর্ণনে $\vec L=I\vec\omega$ দেখতে তেমন হলেও সাধারণভাবে সব অবস্থায় এই ভেক্টর সমীকরণটি লেখা যায় না। বিষয়টা ধীরে ধীরে দেখি।

একটা কণাকে ঘুরিয়ে দেখি

মূল বইয়ের চিত্র ১০-৬-এ একটি কণা উল্লম্ব শ্যাফটের (shaft) সঙ্গে শক্ত বাহু দিয়ে যুক্ত। শ্যাফট $z$-অক্ষ বরাবর ঘোরে। কণার বৃত্তাকার গতিপথের ব্যাসার্ধ $r_\perp$।

কৌণিক বেগ,

অর্থাৎ সরাসরি $z$-অক্ষ বরাবর। কিন্তু কৌণিক ভরবেগ,

যদি কণার অবস্থান ভেক্টরটি উৎসবিন্দু থেকে তির্যকভাবে উঠে কণার দিকে যায়, তাহলে $\vec\ell$-এর মধ্যে $z$-অক্ষ বরাবর অংশের পাশাপাশি $z$-অক্ষের লম্ব অংশও থাকতে পারে। ফলে $\vec\ell$ আর $\vec\omega$ সমান্তরাল হবে না।

এবার শুধু $z$-উপাংশটি দেখো। কণার স্পর্শকীয় বেগ $v=\omega r_\perp$, তাই,

আর কণার ওই অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণন জড়তাবিস্তারিত জানতে দেখো:ঘূর্ণন গতিতে শক্তির সংরক্ষণ,

সুতরাং,

এটি মূল বইয়ের সমীকরণ (১০-১১)।

খেয়াল করো: এখানে $\ell_z$ বলেছি, পুরো ভেক্টর $\vec\ell$ নয়। অক্ষ বরাবর উপাংশের সঙ্গে $I\omega$-এর সম্পর্ক সবসময় সত্য, যখন নির্দিষ্ট অক্ষ ঘিরে ঘূর্ণন হচ্ছে।

দুটো সমান কণা দিলে কী হয়?

একই শ্যাফটের দুপাশে সমান ভরের দুটি কণা বসিয়ে দাও। তারা একে অন্যের ঠিক বিপরীতে, অক্ষ থেকে সমান দূরত্বে ঘুরছে (বইয়ের চিত্র ১০-৭)।

প্রথম কণার কৌণিক ভরবেগের যে অংশটি $z$-অক্ষের লম্ব, দ্বিতীয় কণার সেই অংশটি ঠিক বিপরীত। ফলে লম্ব উপাংশগুলো যোগ করলে শূন্য। কিন্তু $z$ বরাবর উপাংশগুলো একই দিকে হওয়ায় যোগ হয়।

অর্থাৎ মোট $\vec L$ এখন $\vec\omega$-এর সমান্তরাল।

এই ধারণাকে বড় করো। পুরো বস্তুটিই যদি ঘূর্ণন অক্ষের দুই পাশে এমনভাবে ভরবিস্তারিত জানতে দেখো:ভর ও গতির পরিবর্তনের বাধা-বণ্টিত হয় যে প্রতিটি ভরকণার জন্য বিপরীত পাশে সমান ভরকণা থাকে, তখন বস্তুটির অক্ষীয় প্রতিসাম্য (axial symmetry) আছে। এমন প্রতিসম বস্তু নিজের প্রতিসাম্য অক্ষ ঘিরে ঘুরলে,

এটাই বইয়ের সমীকরণ (১০-১২)। এখানে $I$ হচ্ছে ওই অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণন জড়তা।

কিন্তু সব ঘূর্ণনশীল বস্তুর জন্য পুরো ভেক্টর সমীকরণটি ব্যবহার কোরো না। অসমমিত বস্তুর ক্ষেত্রে কৌণিক ভরবেগ এবং কৌণিক বেগের দিক আলাদা হতে পারে। সাধারণ তিন-মাত্রিক ক্ষেত্রে ঘূর্ণন জড়তাকে tensor দিয়ে বর্ণনা করতে হয়-এটা এই অধ্যায়ের মূল আলোচনার বাইরে।

গাড়ির চাকা ব্যালান্স করানো হয় কেন?

ধরো, গাড়ি অনেক দ্রুত চলছে, আর একটা চাকার একপাশে সামান্য বেশি ভর জমে আছে। তখন চাকা যত ঘোরে, অসম ভরবণ্টনের জন্য অক্ষের উপর পার্শ্বিক বলের প্রবণতা তৈরি হতে পারে। তুমি স্টিয়ারিংয়ে কাঁপুনি টের পেতে পারো।

কারণ ভারসাম্যহীন চাকার $\vec L$ আর $\vec\omega$ পুরোপুরি সমান্তরাল নাও হতে পারে। শ্যাফটকে নির্দিষ্ট দিকে ধরে রাখতে বেয়ারিংকে অতিরিক্ত টর্কবিস্তারিত জানতে দেখো:৯.১ টর্ক দিতে হয়। এজন্য টায়ারের রিমে ছোট ছোট balancing weightবিস্তারিত জানতে দেখো:ওজন, ভর ও ওজনহীনতা লাগানো হয়। একই সমস্যা দ্রুত ঘূর্ণনশীল টারবাইনেও গুরুত্বপূর্ণ।

এই অংশটা মনে রাখার সহজ উপায়: চাকা শুধু গোল হলেই হবে না, ঘূর্ণন অক্ষের তুলনায় ভরের বণ্টনও ঠিক থাকা দরকার।

উদাহরণ ১০.২: পৃথিবীর নিজের ঘূর্ণন বনাম সূর্যকে কেন্দ্র করে কক্ষীয় গতি

পৃথিবী একই সঙ্গে দুটো বড় ঘূর্ণনগতিতে অংশ নেয়-নিজের অক্ষের চারপাশে ঘোরে, আবার সূর্যের চারপাশেও প্রদক্ষিণ করে। কোন গতির সঙ্গে যুক্ত কৌণিক ভরবেগ বেশি?

মূল বইয়ে ব্যবহৃত তথ্যগুলো নিচ্ছি:

(ক) নিজের অক্ষের চারপাশে: পৃথিবীকে সুষম নিরেট গোলক ধরে,

তাই,

(খ) সূর্যের চারপাশে কক্ষপথে: পৃথিবীকে সূর্যের তুলনায় বিন্দুকণা ধরি। বইয়ের ব্যবহৃত কক্ষপথের ব্যাসার্ধ $R_{\rm orb}=1.50\times10^{11}\ \mathrm m$ এবং পর্যায় $T_{\rm orb}=3.16\times10^7\ \mathrm s$।

এবার অনুপাত,

অর্থাৎ কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগ প্রায় ৪০ লক্ষ গুণ বড়! দুটো কৌণিক ভরবেগ ভেক্টরবিস্তারিত জানতে দেখো:১০.১ একটি কণার কৌণিক ভরবেগ একই দিকে নয়, কারণ পৃথিবীর ঘূর্ণন অক্ষ কক্ষীয় সমতলের লম্ব দিকের সঙ্গে প্রায় $23.5^\circ$ কোণে হেলে আছে (বইয়ের চিত্র ১০-৮)। এখানে সংখ্যাগুলো মূল বইয়ের আদর্শায়িত মডেলের।

উদাহরণ ১০.৩: ঝুলন্ত ব্লক ও পুলি-নতুন সূত্রে পুরোনো ফল

আগের অধ্যায়ের উদাহরণ ৯.১০ মনে আছে? একটি নিরেট চাকতির ভর $M$, ব্যাসার্ধ $R$। তার প্রান্তে জড়ানো দড়ির সঙ্গে $m$ ভরের একটা ব্লক ঝুলছে। ব্লক নামলে চাকতি ঘুরতে থাকে।

এবার ব্লক আর চাকতি-দুটোকে একই ব্যবস্থা ধরি। পুরো ব্যবস্থার সাপেক্ষে দড়ির টান অভ্যন্তরীণ বলবিস্তারিত জানতে দেখো:৭.২ দুই-কণা ব্যবস্থা। পুলির কেন্দ্রের সাপেক্ষে বাহ্যিক টর্কবিস্তারিত জানতে দেখো:১০.২ কণা-ব্যবস্থা দিচ্ছে ঝুলন্ত ব্লকের ওজন,

একই অক্ষের সাপেক্ষে মোট কৌণিক ভরবেগ,

প্রথম পদটি চাকতির ঘূর্ণনের, দ্বিতীয়টি ঝুলন্ত ব্লকের গতির। দুটোই একই দিকের উপাংশ। তাই,

দড়ি পিছলাচ্ছে না বলে $a=\alpha R$ এবং নিরেট চাকতির জন্য $I=\tfrac12MR^2$। সুতরাং,

$R$ বাদ দিয়ে সাজালে,

অতএব,

একই ফল আমরা আগের অধ্যায়ে বল ও টর্কের দুটি সমীকরণ ব্যবহার করে পেয়েছিলাম। এই পদ্ধতিতে পুরো ব্যবস্থার কৌণিক ভরবেগ ব্যবহার করে সরাসরি পাওয়া গেল। মূল বইয়ের চিত্র ১০-৯-এ এই সেটআপ রয়েছে।

ঐচ্ছিক: অসমমিত ঘূর্ণনে বেয়ারিং কেন টর্ক দেয়?

বইয়ের চিত্র ১০-১০ ও ১০-১১-এ এমন ঘূর্ণন দেখানো হয়েছে, যেখানে কণার $\vec\ell$ বা অসমমিত বস্তুর $\vec L$ অক্ষের সঙ্গে পুরোপুরি সমান্তরাল নয়।

একটি কণা বৃত্তে ঘুরলে তার $\ell_z$ অপরিবর্তিত থাকতে পারে, কিন্তু লম্ব উপাংশ $\vec\ell_\perp$ ঘুরতে থাকে। তাই $d\vec\ell/dt$ শূন্য নয়; বৃত্তীয় গতি বজায় রাখার কেন্দ্রাভিমুখী বলের টর্ক সেই পরিবর্তন ঘটায়।

বইয়ের ঐচ্ছিক গণনায়, $r$ অবস্থান ভেক্টরের দৈর্ঘ্যবিস্তারিত জানতে দেখো:দৈর্ঘ্যের মানদণ্ড, $r_\perp=r\sin\phi$, এবং কণার বেগ $v=\omega r_\perp$ হলে,

অন্যদিকে $\ell_\perp=m\omega r^2\sin\phi\cos\phi$ হওয়ায়,

অতএব সাধারণ সূত্র $\vec\tau=d\vec\ell/dt$ এখানেও ঠিক। শ্যাফট ধরে রাখা বেয়ারিং যে পার্শ্বিক টর্ক দেয়, তা আসলে $\vec L$-এর ঘূর্ণায়মান লম্ব অংশের পরিবর্তন সামলাচ্ছে।

একটু ভেবে দেখো

একটি চাকায় খুব ছোট একটা বাড়তি ভার জুড়ে দিলে সেই চাকার ভর বাড়বে, কিন্তু তারচেয়েও বেশি গুরুত্বপূর্ণ হতে পারে ভারটি কোথায় লাগিয়েছো। কোন অবস্থানে ভার বসালে অক্ষকে বেশি অসমভাবে নাড়ানোর প্রবণতা তৈরি হতে পারে?

মনে রেখো

নির্দিষ্ট অক্ষের জন্য $L_z=I\omega$ সাধারণভাবে কাজে লাগে। কিন্তু পুরো ভেক্টর $\vec L=I\vec\omega$ লিখতে হলে ঘূর্ণনের অক্ষ ও বস্তুর প্রতিসাম্যের সম্পর্ক যাচাই করতে হবে।